2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系（3）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（3）教学教学实录新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课将围绕同角三角函数的基本关系（3）展开教学，旨在帮助学生深入理解三角函数之间的关系，通过实例分析、公式推导等方法，让学生掌握正弦、余弦、正切函数的基本关系，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。教学过程中注重与课本内容紧密结合，强化学生对基本概念的认知，培养学生的逻辑思维和数学素养。二、核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过同角三角函数基本关系的探究，使学生能够从具体情境中抽象出数学模型；提升逻辑推理能力，引导学生通过公式推导过程，理解数学结论的严谨性；增强数学建模意识，让学生学会运用三角函数关系解决实际问题，提高解决实际问题的能力。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦和正切函数的定义，以及它们在直角三角形和单位圆上的表示。此外，学生对特殊角的三角函数值和三角函数的基本性质也有所了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学的学习兴趣因人而异，但普遍对三角函数这类与几何和代数结合的数学内容感兴趣。他们的数学能力从基本的计算到抽象的逻辑推理能力都有所提高。学习风格上，部分学生可能更偏向于直观理解，而另一部分则可能更倾向于通过公式和定理推导来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在理解和应用同角三角函数基本关系时可能遇到的困难包括：对公式推导过程的理解不够深入，难以将理论应用到实际问题中；对函数关系的直观感受不足，难以建立几何直观与代数表达之间的联系；在解决复杂问题时，可能难以选择合适的三角函数关系进行计算。此外，学生可能对三角函数在不同象限中的符号变化感到困惑。四、教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过讲解公式推导过程，引导学生理解同角三角函数基本关系。同时，组织小组讨论，让学生分享自己的理解和解决策略。

2.设计互动式教学活动，如“三角函数关系匹配游戏”，让学生在游戏中巩固知识点，提高学习兴趣。

3.利用多媒体教学手段，展示三角函数在单位圆上的变化，帮助学生建立直观的几何图像，加深对公式的理解。同时，通过动画演示公式推导过程，提高学生的观察能力和逻辑推理能力。五、教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过提问“同学们，我们已经学习了哪些三角函数？它们之间有什么关系？”来激发学生的思考。接着，展示一些生活中的三角函数应用实例，如建筑设计中的三角板、电子设备中的信号处理等，引导学生认识到三角函数在现实生活中的重要性。最后，引出本节课的主题“同角三角函数的基本关系（3）”，并提出学习目标。

用时：5分钟

2.新课讲授

（1）回顾三角函数定义和性质

详细内容：简要回顾正弦、余弦、正切函数的定义和性质，强调它们在直角三角形和单位圆上的表示方法。

（2）推导同角三角函数基本关系

详细内容：通过引导学生观察单位圆上角度变化时，正弦、余弦、正切函数值的变化规律，推导出同角三角函数基本关系式。

（3）举例说明三角函数基本关系在实际问题中的应用

详细内容：结合实际案例，如计算直角三角形各边长、求解三角函数值等，让学生体会三角函数基本关系在实际问题中的运用。

用时：15分钟

3.实践活动

（1）三角函数关系匹配游戏

详细内容：将学生分成小组，每组发放一张包含正弦、余弦、正切函数值的卡片，另一张卡片上则列出相应的角度。要求学生在规定时间内，将卡片上的函数值与对应的角度匹配，以巩固同角三角函数基本关系。

（2）绘制三角函数图像

详细内容：让学生在坐标轴上绘制正弦、余弦、正切函数的图像，观察函数图像的变化规律，加深对函数性质的理解。

（3）解决实际问题

详细内容：给出一些实际问题，如计算直角三角形各边长、求解三角函数值等，让学生运用所学知识解决实际问题。

用时：15分钟

4.学生小组讨论

（1）三角函数基本关系在几何中的应用

举例回答：在计算直角三角形各边长时，可以利用正弦、余弦、正切函数之间的关系，通过已知一个角的正弦值或余弦值，求出其他角的正弦值或余弦值。

（2）三角函数基本关系在物理中的应用

举例回答：在研究简谐振动时，可以利用正弦函数描述物体位移随时间的变化规律，通过三角函数基本关系求解振动周期和振幅。

（3）三角函数基本关系在其他学科中的应用

举例回答：在计算机图形学中，可以利用三角函数计算物体在三维空间中的旋转和变换，实现图形的渲染和动画效果。

用时：10分钟

5.总结回顾

详细内容：对本节课所学内容进行总结，强调同角三角函数基本关系在几何、物理和其他学科中的应用。同时，指出本节课的重难点，如公式推导过程、函数图像的绘制和实际问题的解决。鼓励学生在课后继续巩固所学知识，提高数学素养。

用时：5分钟

总计用时：45分钟六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解和掌握同角三角函数的基本关系

学生在学习本章节后，能够清晰地理解正弦、余弦、正切函数之间的基本关系，包括它们的定义、性质以及相互之间的关系式。学生能够熟练地应用这些关系式来解决实际问题，如计算直角三角形的边长、求解特定角度的三角函数值等。

2.提高数学抽象思维能力

3.增强逻辑推理能力

学生在学习同角三角函数基本关系的过程中，需要通过逻辑推理来推导公式和证明结论。这种训练有助于提高学生的逻辑推理能力，使他们能够更加严谨地思考问题，并学会从多个角度分析问题。

4.提升解决实际问题的能力

本节课的教学设计注重将理论知识与实际问题相结合，学生通过解决实际问题，如计算建筑物的角度、分析物理现象中的振动等，能够将所学知识应用到实际生活中，提高了解决实际问题的能力。

5.培养数学建模意识

学生在学习三角函数基本关系时，需要建立数学模型来描述现实世界中的现象。这种建模意识的培养有助于学生将数学知识与其他学科知识相结合，为未来的学习打下坚实的基础。

6.提高学习兴趣和自主学习能力

7.强化几何直观能力

本节课通过多媒体展示和实际操作，帮助学生建立了三角函数在单位圆上的几何直观形象，使他们能够更好地理解函数图像的变化规律，从而提高了几何直观能力。

8.增强团队合作和沟通能力

在小组讨论和实践活动环节，学生需要与同伴合作，共同解决问题。这有助于培养学生的团队合作精神和沟通能力，使他们能够在团队中发挥自己的优势，共同完成任务。七、课后拓展1.拓展内容：

（1）阅读材料：《三角函数在工程中的应用》

这篇阅读材料可以介绍三角函数在建筑设计、机械工程、航空航天等领域的应用案例，帮助学生理解三角函数在现实世界中的重要性。

（2）视频资源：《三角函数的几何意义》

通过视频资源，学生可以直观地看到三角函数在单位圆上的几何意义，以及它们如何与直角三角形中的边角关系相对应。

（3）在线互动平台：《三角函数练习题库》

学生可以在在线平台上找到大量的三角函数练习题，包括选择题、填空题和解答题，通过练习来巩固所学知识。

2.拓展要求：

（1）鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，了解三角函数在不同领域的应用，提高对数学知识实际意义的认识。

（2）要求学生观看视频资源，通过视觉和听觉的结合，加深对三角函数几何意义的理解。

（3）学生应定期在互动平台上完成一定数量的练习题，通过不断的练习来提高解题技巧和速度。

教师指导与帮助：

（1）教师可以推荐一些与三角函数相关的书籍或在线课程，供学生自主选择学习。

（2）对于学生在拓展学习中遇到的疑问，教师应提供及时的解答和指导，帮助学生克服学习中的困难。

（3）教师可以组织小组讨论，让学生分享他们在拓展学习中的收获和心得，促进知识的交流和深化。八、教学评价与反馈1.课堂表现：

课堂表现的评价将关注学生的参与度、专注力和对知识的掌握程度。教师将观察学生在课堂上的发言情况，是否能够积极回答问题，以及是否能够正确理解和应用三角函数的基本关系。学生的课堂表现将通过以下方式评价：

-举手回答问题的频率和质量。

-对新知识的理解和提问的准确性。

-在小组讨论中的参与度和贡献。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论成果的展示将评估学生在团队合作中的表现，以及他们如何将理论知识应用于实际问题。评价标准包括：

-小组成员之间的沟通和协作。

-小组展示的内容是否清晰、有条理。

-小组是否能够正确应用三角函数的基本关系来解决提出的问题。

3.随堂测试：

随堂测试将设计一系列与课本内容相关的题目，以评估学生对三角函数基本关系的掌握程度。测试将包括：

-选择题，用于检测学生对基础知识的记忆和理解。

-填空题，要求学生填写公式或计算特定角度的三角函数值。

-解答题，要求学生应用三角函数关系式解决实际问题。

4.学生自评与互评：

学生自评将鼓励学生反思自己的学习过程，识别自己的强项和需要改进的地方。互评则允许学生之间相互评价，这有助于学生从他人的视角学习。

-学生自评：学生填写学习反思表，包括对课堂活动的感受、对知识点的理解程度以及个人学习目标的设定。

-学生互评：学生在小组内相互评价，讨论彼此的强项和改进建议。

5.教师评价与反馈：

教师评价将基于学生的课堂表现、随堂测试成绩、小组讨论成果和学生自评互评的结果。教师评价与反馈将针对以下方面：

-针对学生在三角函数基本关系理解上的难点，提供个性化的辅导和练习。

-对学生在应用三角函数解决实际问题时的错误，进行具体分析，并提供正确的解题思路。

-对学生的团队合作精神和沟通能力给予肯定，同时指出可以改进的地方。

-鼓励学生在课后继续学习，提供额外的学习资源和练习题目，帮助学生巩固和提高。教学反思教学反思

今天我们学习了三角函数的基本关系，这节课上下来，我觉得有几个方面值得我反思。

首先，我在导入新课的时候，通过提问的方式激发了学生的兴趣，但是我觉得还可以更加生动一些。比如，我可以在课堂上展示一些实际生活中的三角函数应用实例，让学生直观地感受到三角函数的重要性。比如说，我们可以讨论一下建筑工人如何利用三角板来测量角度，或者讲解一下手机中的导航系统是如何利用三角函数来定位的。这样不仅能够吸引学生的注意力，还能让他们意识到数学知识在实际生活中的应用价值。

其次，在新课讲授环节，我尝试通过讲解公式推导过程来引导学生理解同角三角函数基本关系。但是，我发现有些学生对于公式的推导过程理解起来比较吃力。这可能是因为他们对数学的抽象思维能力还不够强，或者是对几何图形的直观感受不足。因此，我需要在今后的教学中，更加注重培养学生的抽象思维能力和几何直观能力。比如，我可以在课堂上多使用一些图示和动画，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

在实践活动环节，我设计了三角函数关系匹配游戏，让学生在游戏中巩固知识点。这个环节的效果还不错，学生们参与度很高，而且通过游戏，他们能够更加轻松地记住三角函数的基本关系。但是，我也注意到，有些学生在游戏中过于依赖同伴，自己的思考不够。所以，在今后的教学中，我需要更加注重培养学生的独立思考能力，让他们在游戏中也能够学会独立解决问题。

在学生小组讨论环节，我提出了几个问题，让学生们分组讨论并回答。我发现，学生们在讨