2023九年级数学下册 第二章 二次函数4 二次函数的应用第2课时 利用二次函数解决利润问题教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教学实录（新版）北师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课以“利用二次函数解决利润问题”为主题，结合北师大版九年级数学下册第二章二次函数的相关知识，引导学生通过实际案例分析，运用二次函数模型解决实际问题。通过小组合作探究、师生互动等形式，提升学生的数学应用能力和创新能力，实现数学知识与生活实践的紧密结合。二、核心素养目标1.提升数学建模能力，通过二次函数解决实际问题。

2.培养逻辑推理能力，理解函数与实际问题的关系。

3.强化数据分析意识，学会从数据中提取信息，进行问题解决。

4.增强应用意识，认识到数学在生活中的广泛应用。三、教学难点与重点1.教学重点，

①理解二次函数与利润问题之间的关系，能够根据实际情况建立二次函数模型。

②掌握求解二次函数最值的方法，并能将其应用于解决利润最大化或最小化问题。

③培养学生分析问题和解决问题的能力，能够将实际问题转化为数学模型。

2.教学难点，

①正确识别利润问题的核心变量，如销售价格、成本、需求量等，并建立合适的二次函数模型。

②理解二次函数图象的开口方向、顶点坐标与利润之间的关系，并能据此分析利润变化趋势。

③在实际情境中，能够灵活运用二次函数解决复杂利润问题，包括考虑多种因素对利润的影响。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版九年级数学下册教材，以便查阅相关章节内容。

2.辅助材料：准备与二次函数相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以增强直观教学效果。

3.教学工具：准备计算器、投影仪等教学工具，便于展示解题过程和结果。

4.教室布置：布置教室环境，包括分组讨论区，确保学生能够进行有效互动和合作学习。五、教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示实际生活中的利润问题案例，如商家打折促销等，引导学生思考如何用数学方法解决。

-回顾旧知：简要回顾二次函数的基本性质，如开口方向、顶点坐标等，以及如何求解二次函数的最值。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解二次函数在解决利润问题中的应用，包括如何建立二次函数模型，如何求解最大利润或最小成本等。

-举例说明：通过具体案例，如某商品的销售价格与销售量之间的关系，展示如何根据实际情况建立二次函数模型，并求解最大利润。

-互动探究：分组讨论，让学生尝试解决类似的问题，如不同成本和销售价格下的利润最大化问题。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：学生独立完成练习题，包括计算最大利润、最小成本等实际问题。

-教师指导：巡视课堂，针对学生的解答提供反馈和指导，纠正错误，帮助学生理解解题思路。

4.拓展延伸（约10分钟）

-提出更高难度的练习题，如考虑市场饱和度、成本变化等因素的利润问题。

-引导学生思考如何将二次函数应用于更广泛的生活和经济问题。

5.总结反思（约5分钟）

-学生总结：让学生分享在课堂上的学习体会，总结二次函数在解决利润问题中的应用方法。

-教师总结：回顾本节课的重点内容，强调二次函数模型在解决实际问题中的重要性，并鼓励学生在生活中继续运用所学知识。

6.课后作业（约10分钟）

-布置与利润问题相关的课后作业，要求学生独立完成，并鼓励学生尝试解决生活中的实际问题。六、知识点梳理1.二次函数的基本形式

-标准形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

-抛物线性质：抛物线开口方向由a的符号决定，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

2.二次函数的图像

-抛物线的开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下。

-顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

-对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。

3.二次函数的最值

-当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的y坐标。

-当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的y坐标。

4.二次函数与实际应用

-利润问题：通过建立二次函数模型，求解最大利润或最小成本。

-物理问题：抛物线运动轨迹、物体运动规律等。

-经济问题：成本函数、需求函数等。

5.二次函数的图像变换

-平移：抛物线沿x轴或y轴平移，改变顶点坐标。

-伸缩：抛物线沿x轴或y轴伸缩，改变开口大小和顶点坐标。

6.二次函数与一元二次方程

-二次函数的图像与x轴的交点对应一元二次方程的解。

-通过解一元二次方程，可以找到二次函数与x轴的交点坐标。

7.二次函数与一元二次不等式

-二次函数的图像与x轴的关系可以用来解决一元二次不等式问题。

-通过分析二次函数的图像，可以确定不等式的解集。

8.二次函数与极值问题

-二次函数的极值点对应抛物线的顶点。

-通过求解二次函数的导数，可以找到极值点。

9.二次函数与实际问题

-将实际问题转化为二次函数模型，求解实际问题。

-分析二次函数模型在实际问题中的应用，如优化生产、工程设计等。

10.二次函数与其他数学知识的联系

-与代数知识的联系：二次函数是代数中的一个重要内容，与一元二次方程、一元二次不等式等知识紧密相关。

-与几何知识的联系：二次函数的图像是抛物线，与几何图形的性质、关系等知识相联系。七、教学反思今天上了“利用二次函数解决利润问题”这一课，我觉得整体上效果还不错，但也有些地方需要反思和改进。

首先，我觉得课堂氛围营造得还可以。我通过引入生活中的实例，比如商场打折促销，让学生们感受到了数学与生活的紧密联系，激发了他们的学习兴趣。学生们在讨论和互动中表现得非常积极，这让我很高兴。

但是，在讲解二次函数与利润问题的关系时，我发现部分学生对这个概念的理解还不够深入。我在课堂上多次强调了二次函数图像的顶点坐标和开口方向对利润的影响，但有些学生还是有些迷茫。这说明我在讲解过程中可能没有做到让学生充分理解，或者我没有用足够直观的方式去展示这个概念。

在课堂互动环节，我发现有些学生参与度不高，可能是由于他们对这个话题不太感兴趣，或者是对数学本身就不太感冒。为了提高他们的参与度，我打算在今后的教学中尝试更多样的教学方法，比如小组合作、角色扮演等，让每个学生都能在课堂上找到自己的位置。

此外，我还发现了一些学生在解题过程中的错误。比如，有些学生在建立二次函数模型时，没有正确识别变量和系数，导致最终结果错误。这说明我在讲解二次函数模型建立的过程中，可能没有让学生充分理解每个变量的含义和系数的确定方法。因此，我需要在今后的教学中，更加注重细节的讲解，确保学生能够准确掌握。

最后，我觉得自己在课堂管理上还有待提高。有些学生在课堂上分心，或者与同学交头接耳，这影响了课堂秩序和教学效果。我需要在今后的教学中，更加关注课堂纪律，确保每个学生都能集中注意力听讲。八、重点题型整理1.**题型一：求最大利润或最小成本**

-**题目**：某商品的成本函数为C(x)=-0.02x^2+2x+10（x为销售数量），求该商品的最大利润。

-**解题过程**：

-利润函数为P(x)=收入-成本=(销售价格)x-成本函数=(销售价格)x-(-0.02x^2+2x+10)。

-设销售价格为p，则P(x)=px-(-0.02x^2+2x+10)。

-求解P(x)的最大值，即求解P'(x)=p-0.04x+2=0。

-解得x=(p-2)/0.04。

-将x代入成本函数，得C(x)=-0.02((p-2)/0.04)^2+2((p-2)/0.04)+10。

-化简得C(x)=-0.02(p^2-4p+4)/0.0016+(p-2)/0.04+10。

-最终求得最大利润P_max。

2.**题型二：求解销售数量与销售价格的关系**

-**题目**：某商品的利润函数为P(x)=-0.02x^2+4x-20，求当利润为0时的销售数量。

-**解题过程**：

-利润为0时，P(x)=-0.02x^2+4x-20=0。

-解一元二次方程-0.02x^2+4x-20=0，得x=10或x=-10。

-因为销售数量不能为负数，所以销售数量x=10。

3.**题型三：分析价格变动对利润的影响**

-**题目**：某商品的利润函数为P(x)=-0.02x^2+6x-20，求当销售价格上升10%时，利润如何变化。

-**解题过程**：

-原销售价格为p，上升10%后的销售价格为1.1p。

-新的利润函数为P_new(x)=-0.02x^2+1.1p*x-20。

-比较新旧利润函数的顶点坐标，判断利润变化。

4.**题型四：考虑市场需求影响利润**

-**题目**：某商品的销售量为x，需求函数为Q(x)=-0.001x^2+0.05x+10，求当销售量达到多少时，总收入达到最大。

-**解题过程**：

-总收入函数为R(x)=Q(x)*x=(-0.001x^2+0.05x+10)x。

-求解R(x)的最大值，即求解R'(x)=-0.002x+0.05=0。

-解得x=25。

-当销售量x=25时，总收入达到最大。

5.**题型五：综合应用二次函数解决实际问题**

-**题目**：某工厂生产一种产品，成本函数为C(x)=-0.0005x^2+0.4x+10（x为产量），市场需求函数为D(x)=-0.002x^2+0.1x+20（x为售