2023八年级数学下册 第17章 一元二次方程17.3 一元二次方程根的判别式教学实录 （新版）沪科版

2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式教学实录（新版）沪科版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式教学实录（新版）沪科版教学内容本节课将围绕沪科版八年级数学下册第17章《一元二次方程》中的第17.3节《一元二次方程根的判别式》展开。主要内容包括：一元二次方程的根的判别式的概念，根的判别式的符号与方程根的关系，以及如何运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过探究一元二次方程根的判别式，学生能够理解数学符号语言的表达，提升逻辑推理能力；通过建立方程与几何图形的关系，增强数学建模意识；同时，通过计算和判断，提高数学运算的准确性和效率。重点难点及解决办法重点：

1.一元二次方程根的判别式的概念理解。

2.根的判别式与方程根的关系的掌握。

难点：

1.如何正确运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

2.在复杂的一元二次方程中识别和计算判别式。

解决办法与突破策略：

1.通过实例讲解和互动讨论，帮助学生理解判别式的概念，并建立直观的认识。

2.通过逐步引导，让学生在解决具体问题时，逐步掌握运用判别式的步骤和方法。

3.设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识，提高运用能力。

4.采用小组合作学习，让学生在讨论中互相启发，共同突破难点。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有新版沪科版八年级数学下册教材。

2.辅助材料：准备与一元二次方程根的判别式相关的图表、动画演示视频，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器、白板或投影仪，以便展示解题过程和计算结果。

4.教室布置：设置分组讨论区，安排学生进行小组合作学习，并确保教学环境安静、整洁。教学过程一、导入新课

（教师）：同学们，我们之前学习了如何解一元二次方程，今天我们来探究一个有趣的问题——一元二次方程的根的判别式。请大家拿出教材，翻到第17章《一元二次方程》的第17.3节，我们一起开始今天的探索之旅。

二、新课讲授

1.引入概念

（教师）：首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。接下来，我们要讨论的是方程的根。大家知道，一个一元二次方程最多有两个根。那么，如何判断一个一元二次方程有几个根呢？这就是我们今天要学习的重点。

（学生）：老师，一元二次方程的根有几个，和方程的系数有什么关系呢？

（教师）：非常好，这是一个关键问题。接下来，我们就来探讨这个问题。

2.根的判别式

（教师）：一元二次方程的根的判别式是b²-4ac。这个判别式可以帮助我们判断一元二次方程根的情况。下面，我将通过几个例子来讲解这个判别式的应用。

（教师）：请看第一个例子：方程x²-5x+6=0。首先，我们要计算判别式b²-4ac。在这个方程中，a=1，b=-5，c=6。那么，判别式是多少呢？

（学生）：b²-4ac=(-5)²-4×1×6=25-24=1。

（教师）：很好，判别式是1。根据判别式的值，我们可以判断方程的根的情况。如果判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于0，方程没有实数根。

（教师）：接下来，请同学们自己计算一下这个方程的根。

（学生）：x²-5x+6=0，根据求根公式，我们可以得到方程的两个根：x₁=2，x₂=3。

（教师）：很好，同学们已经成功找到了这个方程的两个实数根。现在，请看第二个例子：方程x²-2x+1=0。

（学生）：x²-2x+1=0，判别式b²-4ac=(-2)²-4×1×1=4-4=0。

（教师）：判别式等于0，这意味着方程有两个相等的实数根。我们可以继续使用求根公式来找到这个方程的根。

（学生）：x²-2x+1=0，根据求根公式，我们可以得到方程的两个相等的实数根：x₁=x₂=1。

（教师）：很好，同学们已经成功找到了这个方程的两个相等的实数根。现在，请看第三个例子：方程x²+2x+1=0。

（学生）：x²+2x+1=0，判别式b²-4ac=2²-4×1×1=4-4=0。

（教师）：判别式等于0，这意味着方程有两个相等的实数根。我们可以继续使用求根公式来找到这个方程的根。

（学生）：x²+2x+1=0，根据求根公式，我们可以得到方程的两个相等的实数根：x₁=x₂=-1。

（教师）：很好，同学们已经成功找到了这个方程的两个相等的实数根。现在，请大家自己尝试计算一下这个方程的根。

（学生）：x²+2x+1=0，根据求根公式，我们可以得到方程的两个相等的实数根：x₁=x₂=-1。

（教师）：同学们做得很好。通过这三个例子，我们已经学会了如何运用判别式来判断一元二次方程根的情况。接下来，我们再来讨论一下一元二次方程没有实数根的情况。

3.无实数根的情况

（教师）：请看第四个例子：方程x²+1=0。

（学生）：x²+1=0，判别式b²-4ac=0²-4×1×1=0-4=-4。

（教师）：判别式小于0，这意味着方程没有实数根。那么，这个方程的根是什么呢？

（学生）：这个方程没有实数根，但是有两个复数根。

（教师）：很好，同学们已经明白了。如果一个一元二次方程的判别式小于0，那么这个方程就没有实数根，而是有两个复数根。

4.总结

（教师）：通过本节课的学习，我们掌握了如何运用一元二次方程的根的判别式来判断方程根的情况。现在，请同学们回顾一下我们学到的内容。

（学生）：老师，我们学到了一元二次方程的根的判别式是b²-4ac，如果判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于0，方程没有实数根。

（教师）：非常好，同学们已经成功掌握了本节课的重点内容。接下来，请大家完成课后作业，巩固所学知识。

三、课堂练习

（教师）：为了检验大家对本节课内容的掌握程度，我将给出几道练习题，请大家认真完成。

（学生）：好的，老师。

四、课堂小结

（教师）：同学们，今天我们学习了如何运用一元二次方程的根的判别式来判断方程根的情况。希望大家通过本节课的学习，能够更好地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

（学生）：谢谢老师，我们一定会努力学习的。

五、布置作业

（教师）：请大家完成以下作业：

1.回顾本节课所学内容，总结一元二次方程的根的判别式的应用。

2.完成教材第17章《一元二次方程》第17.3节的相关练习题。

3.思考：如何将一元二次方程的根的判别式应用于实际问题中？

（学生）：好的，老师。

六、课后反思

（教师）：本节课，我们通过实例讲解、小组讨论和课堂练习，帮助学生掌握了如何运用一元二次方程的根的判别式来判断方程根的情况。在今后的教学中，我将更加注重培养学生的逻辑推理能力和数学建模意识，提高他们的数学运算能力。同时，我会根据学生的学习情况，适时调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。学生学习效果学生学习效果

在本节课的学习过程中，学生们通过一系列的实例讲解、小组讨论和课堂练习，取得了以下效果：

1.知识掌握：学生能够准确理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念，即判别式b²-4ac与方程根的关系。他们能够识别和计算判别式的值，并能够根据判别式的符号判断一元二次方程根的情况。

2.技能提升：学生通过实际操作和练习，提高了运用判别式判断一元二次方程根的能力。他们能够熟练地应用判别式解决实际问题，如确定方程的根的数量和类型。

3.思维发展：学生在学习过程中，通过逻辑推理和数学建模，发展了数学思维能力。他们能够运用数学符号语言进行表达，并能够将实际问题转化为数学模型进行求解。

4.学习兴趣：通过本节课的学习，学生对一元二次方程的根的判别式产生了浓厚的兴趣。他们对于数学知识的探索和应用有了更深的认识，激发了进一步学习数学的热情。

5.团队合作：在小组讨论环节，学生能够积极参与，与同伴共同解决问题。他们学会了倾听、尊重和合作，提高了团队协作能力。

6.问题解决能力：学生在面对复杂的一元二次方程时，能够运用所学知识进行分析和判断，从而找到合适的解题方法。他们的问题解决能力得到了显著提升。

7.学习习惯：学生在本节课的学习过程中，养成了良好的学习习惯。他们能够按时完成作业，认真复习课堂所学内容，为后续学习奠定了基础。

8.自主学习能力：学生在本节课的学习中，逐渐培养了自主学习能力。他们能够独立思考、查找资料、解决问题，为终身学习打下了坚实基础。典型例题讲解1.例题1：给定一元二次方程2x²-4x+1=0，求方程的根。

解答：首先，我们需要计算判别式b²-4ac。在这个方程中，a=2，b=-4，c=1。那么，判别式是多少呢？

b²-4ac=(-4)²-4×2×1=16-8=8。

由于判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。接下来，我们可以使用求根公式来找到这两个根：

x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

将a、b、c的值代入求根公式，我们得到：

x=[4±√8]/(2×2)。

化简后，得到：

x₁=(4+√8)/4=1+√2/2，

x₂=(4-√8)/4=1-√2/2。

所以，方程的根为x₁=1+√2/2和x₂=1-√2/2。

2.例题2：给定一元二次方程x²-6x+9=0，求方程的根。

解答：计算判别式b²-4ac。在这个方程中，a=1，b=-6，c=9。

b²-4ac=(-6)²-4×1×9=36-36=0。

由于判别式等于0，方程有两个相等的实数根。使用求根公式：

x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[6±√0]/(2×1)。

化简后，得到：

x₁=x₂=6/2=3。

所以，方程的根为x₁=x₂=3。

3.例题3：给定一元二次方程x²-3x+2=0，求方程的根。

解答：计算判别式b²-4ac。在这个方程中，a=1，b=-3，c=2。

b²-4ac=(-3)²-4×1×2=9-8=1。

由于判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。使用求根公式：

x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[3±√1]/(2×1)。

化简后，得到：

x₁=2，

x₂=1。

所以，方程的根为x₁=2和x₂=1。

4.例题4：给定一元二次方程x²+2x-3=0，求方程的根。

解答：计算判别式b²-4ac。在这个方程中，a=1，b=2，c=-3。

b²-4ac=2²-4×1×(-3)=4+12=16。

由于判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。使用求根公式：

x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[-2±√16]/(2×1)。

化简后，得到：

x₁=1，

x₂=-3。

所以，方程的根为x₁=1和x₂=-3。

5.例题5：给定一元二次方程4x²-8x+3=0，求方程的根。

解答：计算判别式b²-4ac。在这个方程中，a=4，b=-8，c=3。

b²-4ac=(-8)²-4×4×3=64-48=16。

由于判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。使用求根公式：

x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[8±√16]/(2×4)。

化简后，得到：

x₁=3/2，

x₂=1/2。

所以，方程的根为x₁=3/2和x₂=1/2。内容逻辑关系①核心知识点：

-一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。

-根的判别式：b²-4ac。

-方程根的情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。

②关键词：

-判别式

-不相等的实数根

-相等的实数根

-没有实数根

-求根公式

③逻辑关系阐述：

①判别式的计算

-根据一元二次方程的一般形式，计算判别式b²-4ac的值。

②判别式的符号判断

-如果判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根。

-如果判别式等于0，则方程有两个相等的实数根。

-如果判别式小于0，则方程没有实数根。

③根的情况与判别式的联系

-根据判别式的符号，可以直接判断一元二次方程根的情况。

-使用求根公式求解方程的根时，判别式的值决定了根的数量和类型。

④求根公式的应用

-当判别式大于0时，使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)求解两个不相等的实数根。

-当判别式等于0时，求根公式简化为x=-b/(2a)，求解两个相等的实数根。

-当判别式小于0时，方程没有实数根，需要使用复数根的概念来求解。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解一元二次方程根的判别式时，引入实际生活中的案例，如建筑工程、物理问题等，让学生在具体情境中理解数学概念的应用，提高他们的实际操作能力。

2.互动式教学：通过小组讨论、角色扮演等方式，激发学生的学习兴趣，培养他们的合作精神和沟通能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对数学概念的理解不够深入：部分学生在学习一元二次方程根的判别式时，对概念的理解停留在表面，缺乏对数学原理的深入探究。

2.教学方法单一：目前的教学方法主要以讲授为主，缺乏多样化的教学手段，导致学生的学习积极性不高。

3.评价方式单一：评价方式主要依赖于作业和考试，未能全面评估学生的实际能力和综合素质。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化概念教学：在讲解一元二次方程根的判别式时，注重引导学生从多个角度理解概念，如通过图形、实例等方式，帮助学生建立完整的知识体系。

2.丰富教学手段：结合多媒体技术，如动画、视频等，使教学内容更加生动形象，提高学生的学习兴趣。同时，引入游戏化教学，让学生在轻松愉快的氛围中学习。

3.多元化评价方式：除了传统的作业和考试，增加课堂表现、小组合作、实践操作等评价方式，全面评估学生的能力和素质。

4.加强师生互动：在课堂上，鼓励学生提问、发表观点，教师要及时给予反馈和指导，营造良好的学习氛围。

5.注重个性化教学：针对不同学生的