2024-2025学年高中数学上学期第11周 3.1.2用二分法求方程的近似解教学实录

2024-2025学年高中数学上学期第11周3.1.2用二分法求方程的近似解教学实录学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课旨在通过二分法求解方程的近似解，帮助学生掌握数学建模和算法设计的基本方法。结合课本例题，引导学生从实际问题出发，逐步构建二分法求解方程的数学模型，并通过实际操作体验算法的迭代过程，提高学生的数学思维能力和实践能力。核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过二分法求解方程的近似解，学生能够理解数学模型与实际问题的联系，提升解决实际问题的能力；同时，通过算法的迭代过程，锻炼学生的逻辑推理和数学运算能力，培养严谨的数学思维。教学难点与重点1.教学重点

-明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。

-掌握二分法的原理和步骤，理解迭代过程。

-能够根据方程的特点选择合适的初始区间。

-运用二分法求解方程的近似解，并能解释其误差。

2.教学难点

-识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。

-理解二分法收敛的必要条件，即函数在区间端点处的符号相反。

-正确判断迭代过程中区间的变化，避免陷入无限循环。

-掌握如何根据迭代次数和误差要求确定近似解的精度。

-将二分法应用于解决实际问题，如求函数零点等。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板

-课程平台：学校数学教学平台

-信息化资源：数学软件（如MATLAB、Mathematica等）

-教学手段：多媒体课件、教学视频、练习题库教学流程1.导入新课

-详细内容：首先，通过提问学生“如何找到方程的解？”引入话题，引导学生回顾已学过的解方程方法。然后，展示一些实际问题，如求解方程f(x)=0的解，强调在实际应用中解方程的重要性。最后，简要介绍二分法的基本思想，引出新课内容。

2.新课讲授

-第一条：讲解二分法的原理

-详细内容：首先，介绍二分法的定义和基本步骤，通过动画演示或实物教具展示二分法的迭代过程。接着，分析二分法收敛的必要条件，即函数在区间端点处的符号相反。举例说明如何选择合适的初始区间，如f(a)*f(b)<0。

-第二条：讲解二分法的迭代过程

-详细内容：详细讲解二分法的迭代公式，即x_n=(a_n+b_n)/2，其中a_n和b_n分别为迭代过程中的左右端点。通过实例演示，让学生理解迭代过程中区间的变化，以及如何根据迭代次数和误差要求确定近似解的精度。

-第三条：讲解二分法的应用

-详细内容：结合实际应用，如求解函数的零点、求解方程的根等，引导学生运用二分法解决实际问题。通过实例分析，让学生体会二分法在实际问题中的应用价值。

3.实践活动

-第一条：计算机辅助教学

-详细内容：利用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）进行二分法的演示，让学生直观地看到迭代过程和近似解的收敛情况。通过软件操作，让学生亲身体验二分法的应用。

-第二条：小组合作探究

-详细内容：将学生分成小组，每组选择一个实际问题，运用二分法求解方程的近似解。在小组讨论中，引导学生分析问题、设计算法、实现程序，并分享解题过程和结果。

-第三条：课堂练习

-详细内容：布置一些练习题，让学生巩固二分法的应用。练习题包括不同类型的方程，如线性方程、非线性方程等。通过练习，让学生熟练掌握二分法的使用。

4.学生小组讨论

-第一方面：问题分析

-举例回答：小组讨论如何根据实际问题选择合适的初始区间，如何判断迭代过程中区间的变化，以及如何确定近似解的精度。

-第二方面：算法设计

-举例回答：小组讨论如何将实际问题转化为二分法的数学模型，如何实现二分法的迭代过程，以及如何编写相应的程序代码。

-第三方面：结果分析

-举例回答：小组讨论如何分析二分法的迭代结果，如何判断近似解的可靠性，以及如何改进算法以提高精度。

5.总结回顾

-详细内容：首先，回顾本节课所学内容，强调二分法的原理、步骤和应用。然后，总结二分法的优点和局限性，如收敛速度、适用范围等。最后，鼓励学生在课后继续探索二分法的应用，并尝试解决实际问题。

用时：导入新课（5分钟）、新课讲授（15分钟）、实践活动（15分钟）、学生小组讨论（10分钟）、总结回顾（5分钟）学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解与掌握二分法原理

-学生能够清晰地理解二分法的定义和基本步骤，认识到二分法是一种有效的求解方程近似解的方法。

-学生能够解释二分法收敛的必要条件，即函数在区间端点处的符号相反，并能应用于实际问题中。

2.运用二分法求解方程

-学生能够根据方程的特点选择合适的初始区间，并正确判断迭代过程中区间的变化。

-学生能够运用二分法求解不同类型的方程，如线性方程、非线性方程等，并能得到较为精确的近似解。

3.数学建模与算法设计能力

-学生能够将实际问题转化为二分法的数学模型，设计相应的算法，并实现程序代码。

-学生能够分析算法的迭代过程，理解迭代公式的作用，并能根据迭代次数和误差要求确定近似解的精度。

4.实践操作与问题解决能力

-学生能够利用计算机软件进行二分法的演示，直观地看到迭代过程和近似解的收敛情况。

-学生能够在小组合作中，通过讨论、分析和实践，解决实际问题，提高问题解决能力。

5.数学思维与逻辑推理能力

-学生在运用二分法求解方程的过程中，培养了数学思维和逻辑推理能力。

-学生能够分析二分法的优点和局限性，如收敛速度、适用范围等，提高对数学问题的认识。

6.团队合作与交流能力

-学生在小组讨论中，学会了如何与他人合作，共同解决问题。

-学生能够表达自己的观点，倾听他人的意见，提高交流能力。

7.自主学习与探究能力

-学生在课后能够自主探究二分法的应用，尝试解决实际问题。

-学生能够通过查阅资料、思考和实践，提高自主学习能力。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第X页的例题，通过实际操作掌握二分法的步骤和原理。

2.选择一个实际问题，如求解函数的零点或方程的根，运用二分法进行求解，并记录迭代过程和结果。

3.编写一个简单的二分法程序，输入方程和初始区间，输出近似解和迭代次数。

4.阅读课本中关于二分法优缺点的相关内容，总结二分法的适用场景和局限性。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保每个学生都能得到反馈。

2.检查学生是否正确理解二分法的原理和步骤，是否能够根据方程的特点选择合适的初始区间。

3.分析学生在运用二分法求解方程时的误差，指导学生如何根据迭代次数和误差要求确定近似解的精度。

4.评估学生在编写程序时的编程能力，指出代码中存在的问题，如逻辑错误、变量命名不规范等，并提供改进建议。

5.针对学生在小组讨论和实践活动中的表现，给予评价和反馈，鼓励学生积极参与、主动思考。

6.对于作业中普遍存在的问题，组织课堂讲解或辅导，帮助学生理解和掌握相关知识。

7.鼓励学生之间互相批改作业，提高学生的自我评价和自我纠正能力。

8.定期收集学生的作业反馈，了解学生的学习进度和困难，调整教学策略，确保教学效果。

具体反馈示例：

-对于例题完成情况，指出学生是否正确应用了二分法，是否理解了迭代过程。

-对于实际问题求解，评估学生的解题思路是否清晰，是否能够正确选择初始区间，是否能够合理分析迭代结果。

-对于程序编写，检查学生的代码是否能够正常运行，是否存在逻辑错误，是否能够正确输出结果。

-对于阅读总结，评估学生对二分法优缺点的理解程度，是否能够结合实际例子进行分析。

-对于小组讨论和实践活动，评价学生的团队合作能力、问题解决能力和创新思维。课后拓展1.拓展内容

-阅读材料：《数值分析》中的“二分法”章节，深入理解二分法的理论基础和应用背景。

-视频资源：《数学之美》系列视频中关于二分法在计算机科学中的应用实例。

2.拓展要求

-鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，拓宽对二分法的认识。

-学生可以通过观看视频资源，了解二分法在现实生活中的应用，如算法设计、数据搜索等。

-教师可推荐以下阅读材料：

-《数值分析》由理查德·L·布兰查德等著，详细介绍了二分法及其在数值分析中的应用。

-《算法导论》由托马斯·H·考尔等著，其中包含二分法的详细介绍和实例分析。

-学生在阅读过程中遇到疑问，教师应及时解答，并提供进一步的学习资源。

-鼓励学生撰写读书笔记或心得体会，分享对二分法的理解和感悟。

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