湖南省衡阳市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念教学实录 新人教A版必修1

湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念教学实录新人教A版必修1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容是函数的概念，具体包括函数的定义、性质和表示方法。教学内容与学生已有知识的联系密切，主要依托于人教A版必修1第一章中的集合与函数概念部分。具体涉及内容包括集合的概念、集合的运算以及集合与函数之间的关系。通过本节课的学习，学生能够深入理解函数的本质，为后续学习打下坚实基础。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过函数概念的探究，学生能够提升对数学对象本质的理解能力，培养严谨的逻辑思维和抽象思维能力。同时，通过函数的表示方法，学生能够学会运用数学语言描述现实问题，提高数学建模和解决实际问题的能力。此外，通过函数性质的探究，学生能够锻炼数学运算的准确性和效率，增强数学应用意识。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了基本的数学概念，如集合、元素与集合的关系等。此外，学生还具备初步的数学运算能力，能够进行简单的代数运算。在集合与函数概念方面，学生可能已经对集合的运算和性质有所了解，但对函数的概念和表示方法可能还未形成系统的认识。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科的兴趣因人而异，但普遍对函数这一数学概念表现出一定的兴趣，因为函数在现实生活中有广泛的应用。学生的学习能力方面，部分学生具有较强的逻辑思维和抽象能力，能够较快地理解函数的概念。而部分学生可能在抽象思维和逻辑推理上存在困难。学习风格上，学生既有偏重直观理解的学习者，也有偏好符号运算的学习者。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习函数概念时可能遇到的困难包括：理解函数定义中的对应关系，区分函数的不同表示方法（如列表法、解析法、图象法等），以及将函数概念应用于解决实际问题。此外，对于抽象思维能力较弱的学生来说，理解函数的抽象性质和逻辑推理过程可能是一个挑战。教师需要关注这些困难，通过适当的教学策略帮助学生克服。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的人教A版必修1教材，特别是第一章“集合与函数概念”部分。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表和视频等多媒体资源，如函数图象的动态展示、函数性质的实际例子等，以帮助学生直观理解函数概念。

3.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，以及实验操作台，用于演示函数的表示方法。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：教师通过在线平台发布预习PPT，要求学生阅读并理解函数的定义和基本性质。

设计预习问题：例如，提出“如何判断两个函数是否相等？”等问题，引导学生思考函数的性质。

监控预习进度：通过学生提交的预习笔记和问题反馈，监控学生的预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读PPT，理解函数的基本概念。

思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，记录自己的理解。

提交预习成果：学生提交预习笔记和思考的问题。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过自主阅读和思考，建立初步的函数概念。

信息技术手段：利用在线平台进行资源分享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示生活中的函数实例，如温度与时间的关系图，引出函数概念。

讲解知识点：讲解函数的定义、性质和不同表示方法，如解析式、图象等。

组织课堂活动：进行小组讨论，让学生尝试用不同的方式表示同一个函数。

解答疑问：针对学生的疑问，如“函数的定义域和值域如何确定？”进行解答。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考函数的定义和性质。

参与课堂活动：学生在小组活动中，尝试用图象表示函数，并讨论函数的性质。

提问与讨论：学生提出自己的疑问，并与同学讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：教师讲解函数的基本概念和性质。

实践活动法：通过小组活动，让学生在实践中应用函数知识。

合作学习法：通过小组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置关于函数图象的练习题，要求学生独立完成。

提供拓展资源：推荐与函数相关的书籍或在线资源，如函数的性质和应用的详细介绍。

反馈作业情况：批改作业，对学生的理解和应用情况进行反馈。

学生活动：

完成作业：学生完成作业，巩固对函数概念的理解。

拓展学习：学生利用拓展资源，进一步学习函数的应用。

反思总结：学生反思自己的学习过程，总结学习心得。

本节课的重点是函数的概念和性质，难点是函数不同表示方法之间的联系和转换。通过课前预习、课中活动和课后拓展，学生能够逐步掌握函数的基本知识，并学会运用函数解决实际问题。六、知识点梳理1.函数的概念

-函数的定义：给定非空数集D（定义域）和值域Y，如果按照某个确定的对应关系f，使得对于D中的任意一个数x，在Y中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称这个对应关系f是一个从D到Y的函数，记作y=f(x)，x∈D。

-函数的符号表示：函数可以用函数符号、定义域和值域来表示，例如f:D→Y。

-函数的性质：函数具有单射性、满射性和双射性（一一对应）。

2.函数的表示方法

-列表法：通过列出函数的对应关系，例如{(x1,y1),(x2,y2),...}。

-解析法：用数学表达式来表示函数，例如y=f(x)。

-图象法：通过函数图象来表示函数，图象是函数在坐标系中的图形表示。

3.函数的性质

-单调性：如果对于定义域D中的任意两个数x1、x2，当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则称函数f在D上单调递增或单调递减。

-奇偶性：如果对于定义域D中的任意一个数x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f是偶函数；如果对于定义域D中的任意一个数x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f是奇函数。

-周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域D中的任意一个数x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f是周期函数。

4.函数的运算

-函数的加法：两个函数f和g的和定义为f+g，即(f+g)(x)=f(x)+g(x)。

-函数的减法：两个函数f和g的差定义为f-g，即(f-g)(x)=f(x)-g(x)。

-函数的乘法：两个函数f和g的积定义为fg，即(fg)(x)=f(x)g(x)。

-函数的除法：两个函数f和g的商定义为f/g，即(f/g)(x)=f(x)/g(x)，其中g(x)≠0。

5.函数的复合

-复合函数：如果函数f和g满足g的定义域包含f的值域，那么可以定义一个新的函数h=f∘g，称为f和g的复合函数，即h(x)=f(g(x))。

-复合函数的性质：复合函数的单调性、奇偶性和周期性等性质可以通过原函数的性质来确定。

6.函数的应用

-实际问题中的应用：函数可以用来描述各种实际问题，如物理、经济、生物等领域中的变化规律。

-数学研究中的应用：函数是数学研究的重要工具，可以用来解决各种数学问题，如积分、微分、方程等。

7.函数的图像分析

-函数图像的绘制：根据函数的解析式或列表法，可以绘制出函数的图像。

-函数图像的性质：通过观察函数图像，可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

-函数图像的应用：函数图像可以用来直观地表示函数的变化规律，帮助理解和解决问题。七、教学评价与反馈1.课堂表现：

课堂表现是评价学生学习效果的重要方面。在本节课中，我将关注学生的以下表现：

-学生是否能积极参与课堂讨论，提出问题并分享自己的见解。

-学生是否能正确理解并运用函数的概念和性质。

-学生是否能通过实例分析，将函数知识应用于实际问题。

-学生在课堂练习中的表现，包括解题速度和准确性。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论是培养学生合作能力和沟通技巧的有效方式。在课堂结束时，我将评估以下小组讨论成果：

-小组是否能够明确分工，每位成员都参与讨论和任务执行。

-小组讨论是否围绕主题展开，是否能够提出有深度的问题和解决方案。

-小组展示的成果是否清晰、有条理，是否能够引起其他同学的兴趣和思考。

3.随堂测试：

为了评估学生对本节课内容的掌握程度，我将进行随堂测试，测试内容包括：

-判断题：检验学生对函数基本概念的理解。

-选择题：考察学生对函数性质和运算的掌握。

-应用题：通过实际问题，测试学生将函数知识应用于解决实际问题的能力。

4.课后作业反馈：

课后作业是巩固课堂学习内容的重要手段。我将通过以下方式反馈作业情况：

-作业批改：对学生的作业进行批改，指出错误并提供正确的解答。

-作业讲评：在下一节课开始时，对典型作业进行讲评，帮助学生理解和纠正错误。

-作业分析：分析学生的作业情况，了解学生对知识的掌握程度和学习难点。

5.教师评价与反馈：

教师评价与反馈是帮助学生改进学习方法和提高学习效果的关键。针对以下方面，我将给出具体的评价和反馈：

-学习态度：评价学生是否认真对待学习，是否积极参与课堂活动。

-学习进度：根据学生的预习情况、课堂表现和作业完成情况，评估学生的学习进度。

-学习效果：通过随堂测试和作业反馈，评估学生对函数概念的理解和应用能力。

-学习建议：针对学生的个体差异，提出个性化的学习建议，帮助学生克服学习难点，提高学习效率。八、课后作业1.函数概念理解与应用

-作业内容：已知函数f(x)=2x+1，求f(3)的值。

-解答：f(3)=2*3+1=7。

2.函数图像绘制

-作业内容：绘制函数y=x^2在[-2,2]区间内的图像。

-解答：根据函数y=x^2的定义，在坐标系中绘制点(-2,4)，(-1,1)，(0,0)，(1,1)，(2,4)，并连接这些点。

3.函数性质分析

-作业内容：判断函数f(x)=x^3在定义域R上的奇偶性。

-解答：对于任意x∈R，有f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，因此函数f(x)=x^3是奇函数。

4.函数复合与分解

-作业内容：已知函数f(x)=x^2和g(x)=2x+1，求f(g(x))和g(f(x))的值。

-解答：f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1；g(f(x))=g(x^2)=2x^2+1。

5.函数方程求解

-作业内容：解方程2(x-3)^2-5=0。

-解答：将方程展开得2x^2-12x+18-5=0，化简得2x^2-12x+13=0。使用求根公式得x=(12±√(144-4*2*13))/(2*2)，即x=(12±√(144-104))/4，x=(12±√40)/4，x=(12±2√10)/4，x=3±√10/2。

6.函数在实际问题中的应用

-作业内容：一个物体的位移s与时间t的关系为s=5t+4，求物体在第10秒时的位移。

-解答：将t=10代入位移公式得s=5*10+4=50+4=54。

7.函数的单调性分析

-作业内容：判断函数h(x)=x^3-3x^2+4x在区间[-1,2]上的单调性。

-解答：求函数h(x)的导数h'(x)=3x^2-6x+4，令h'(x)=0得x=2或x=2/3。在区间[-1,2]内，检查h'(x)的符号变化，可以得出在区间[-1,2/3]上h(x)单调递减，在区间[2/3,2]上h(x)单调递增。

8.函数极值问题

-作业内容：求函数p(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的极值。

-解答：求函数p(x)的导数p'(x)=3x^2-12x+9，令p'(x)=0得x=1或x=3。在区间[0,3]内，检查p'(x)的符号变化，可以得出在x=1时p(x)取得极大值p(1)=1，在x=3时p(x)取得极小值p(3)=1。板书设计①函数的概念

-定义：给定非空数集D（定义域）和值域Y，按照某个确定的对应关系f，使得对于D中的任意一个数x，在Y中都有唯一确定的数y与之对应。

-符号表示：y=f(x)，x∈D；f:D→Y

-性质：单射性、满射性、双射性（一一对应）

②函数的表示方法

-列表法：{(x1,y1),(x2,y2),...}

-解析法：y=f(x)

-图象法：函数在坐标系中的图形表示

③函数的性质

-单调性：单调递增或单调递减

-奇偶性：偶函数、奇函数

-周期性：存在正数T，使得f(x+T)=f(x)

④函数的运算

-加法：f+g

-减法：f-g

-乘法：fg

-除法：f/g（g(x)≠0）

⑤函数的复合

-复合函数：h=f∘g，即h(x)=f(g(x))

-性质：复合函数的单调性、奇偶性等

⑥函数的应用

-实际问题中的应用

-数学研究中的应用

⑦函数图像分析

-图像的绘制

-图像的性质：单调性、奇偶性、周期性等

⑧函数的其他性质

-函数的连续性

-函数的可导性反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.多媒体辅助教学：在课堂上，我尝试使用多媒体技术展示函数的动态变化过程，让学生更直观地理解函数的性质。这种创新的教学手段提高了学生的兴趣，也增强了课堂的互动性。

2.案例教学：我引入了与实际生活相关的案例，如经