2023九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理教学实录 （新版）湘教版

2023九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理教学实录（新版）湘教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理教学实录（新版）

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年4月20日星期四第3节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.发展逻辑思维能力：通过探究垂径定理，培养学生运用演绎推理和归纳推理的能力，理解数学证明的过程。

2.培养几何直观：通过直观演示和动手操作，增强学生对圆和垂径定理的理解，提高空间想象能力。

3.培养数学应用意识：将垂径定理应用于实际问题，让学生体会数学在解决生活中的作用，增强数学应用意识。

4.增强合作交流能力：在小组讨论和合作探究中，培养学生倾听、表达和交流的能力，提高团队协作精神。学习者分析1.学生已经掌握的知识：学生在进入九年级数学下册之前，已经学习了平面几何的基础知识，包括点、线、面、角和三角形等概念。他们应该已经熟悉了直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质。这些基础知识对于理解垂径定理是必要的。

2.学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生通常对数学有着较高的学习兴趣，尤其是在解决几何问题时。他们的逻辑思维能力逐渐成熟，能够处理较为复杂的数学问题。学习风格上，部分学生可能更倾向于通过视觉和动手操作来学习，而另一些学生则可能更喜欢通过逻辑推理和公式推导来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在探究垂径定理时，学生可能会遇到以下困难：（1）理解垂径定理的几何意义和证明过程；（2）将定理应用于解决实际问题，特别是涉及复杂图形的问题；（3）在证明过程中，逻辑推理的严密性和正确性；（4）对于空间想象能力较弱的学生，可能难以直观理解垂径定理在空间中的含义。教师需要通过适当的教学方法和练习，帮助学生克服这些困难。教学资源-教材：湘教版九年级数学下册

-练习题集：配套的练习册或习题集

-白板或黑板：用于展示几何图形和证明过程

-直尺、圆规：用于学生动手操作和绘图

-几何模型：圆形教具或模型，帮助学生直观理解

-电脑投影仪：用于展示电子课件和视频资源

-互联网资源：数学教育网站上的相关教学视频和资料

-互动式电子白板：用于动态展示几何图形的变化和证明步骤教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：在课前通过学校的教学平台，发布关于垂径定理的预习PPT，包含定理的基本概念和几个典型例题。

设计预习问题：设计问题如“如何通过实际操作验证垂径定理？”和“垂径定理在生活中的应用有哪些？”

监控预习进度：通过平台上的预习情况报告和学生提交的预习笔记，监控学生的预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读PPT，理解垂径定理的基本概念和证明过程。

思考预习问题：学生通过动手画图或实际操作，思考如何验证定理，并记录自己的观察和想法。

提交预习成果：学生将预习笔记和自己的问题列表提交到教学平台上。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过自主阅读和操作，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用教学平台实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解垂径定理，为课堂学习做好准备。

培养学生的探究能力和解决问题的能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过讲述一个与圆和垂径定理相关的数学历史故事，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解垂径定理的证明过程，并结合几何图形进行演示。

组织课堂活动：设计小组合作，让学生通过实际操作和讨论来发现垂径定理。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，跟随老师的讲解进行思考。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，通过合作解决问题。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过老师的讲解，帮助学生理解垂径定理。

实践活动法：通过小组合作，让学生在实践中应用定理。

合作学习法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解垂径定理的证明过程。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与垂径定理相关的应用题，要求学生独立完成。

提供拓展资源：推荐一些关于几何证明的书籍和在线资源，鼓励学生课后进一步学习。

学生活动：

完成作业：学生根据作业要求，独立完成题目，巩固所学知识。

拓展学习：学生利用推荐资源，进行拓展阅读和练习。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过自主学习，加深对垂径定理的理解。

反思总结法：学生在完成作业和拓展学习后，进行自我反思。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的知识，提高学生的应用能力。学生学习效果学生学习效果

1.理解和掌握垂径定理的基本概念和证明过程：学生能够清晰地理解垂径定理的内容，包括定理的表述、证明的步骤和结论。他们能够熟练地运用垂径定理解决实际问题，如计算圆的直径、半径以及圆心到圆上任意点的距离等。

2.提高逻辑思维和推理能力：在探究垂径定理的过程中，学生需要运用演绎推理和归纳推理，通过观察、分析、比较和综合等方法，逐步推导出定理的结论。这种思维训练有助于提高学生的逻辑思维和推理能力。

3.增强空间想象能力：垂径定理涉及到圆和直线的位置关系，学生需要具备一定的空间想象力才能理解定理的含义。通过本节课的学习，学生的空间想象能力得到了有效提升。

4.提高几何作图能力：在证明垂径定理的过程中，学生需要绘制几何图形，如圆、直径、半径等。通过实际操作，学生能够熟练地运用直尺、圆规等工具进行几何作图，提高作图能力。

5.培养合作学习意识：本节课采用了小组合作的学习方式，学生在讨论、交流和合作中共同解决问题。这种合作学习有助于培养学生的团队协作精神，提高他们的沟通能力和组织能力。

6.拓宽知识视野：通过学习垂径定理及其应用，学生了解了数学在解决实际问题中的重要作用，激发了他们对数学学习的兴趣，拓宽了他们的知识视野。

7.培养解决问题的能力：在探究垂径定理的过程中，学生遇到了各种问题，如如何证明定理、如何将定理应用于实际问题等。通过解决这些问题，学生的解决问题的能力得到了有效提升。

8.培养自主学习能力：本节课采用了自主学习法，学生在课前预习、课堂听讲和课后拓展等环节，都需要自主思考和探究。这种自主学习有助于培养学生的自主学习能力。

9.提高数学表达能力：在课堂讨论和作业提交过程中，学生需要用语言表达自己的观点和思路。通过本节课的学习，学生的数学表达能力得到了有效提升。

10.增强自信心：通过本节课的学习，学生在解决几何问题时取得了较好的成绩，这有助于增强他们的自信心，激发他们继续学习数学的动力。课堂1.课堂提问

课堂提问是评价学生学习效果的重要手段。在讲解垂径定理时，我将通过以下方式进行提问：

-提出关键问题：在讲解定理的基本概念和证明步骤时，提出一些关键问题，如“垂径定理的核心是什么？”“如何通过几何图形证明垂径定理？”等，以引导学生深入思考。

-检查理解程度：在讲解完一个重要步骤后，提出问题检查学生对该步骤的理解程度，例如“谁能解释一下为什么这个步骤是必要的？”

-鼓励学生提问：鼓励学生在课堂上提出自己的疑问，如“如果圆的直径不是垂直于弦，会发生什么？”以激发学生的探究欲望。

2.观察学生参与度

-小组讨论：在小组讨论环节，观察学生的参与情况，包括他们是否积极参与、是否能够提出有见地的观点，以及是否能够倾听其他同学的发言。

-动手操作：在动手操作环节，观察学生是否能够正确使用工具，是否能够按照步骤完成操作，以及是否能够通过操作理解定理。

-课堂互动：通过课堂互动，如提问、回答、讨论等，观察学生的反应速度和准确性，以及他们对数学问题的兴趣和热情。

3.课堂测试

-短暂测验：在课程结束时进行短暂测验，检验学生对垂径定理的理解和应用能力。测验可以包括选择题、填空题和简答题。

-实际应用：设计一些实际问题，让学生运用垂径定理进行解答，以评估他们解决实际问题的能力。

4.课堂反馈

-即时反馈：在课堂上，对于学生的回答和操作，给予即时的正面或建设性的反馈，帮助他们及时纠正错误，巩固正确的方法。

-课堂总结：在课程结束时，进行课堂总结，回顾本节课的重点内容，强调学生的正确理解和应用。

5.学生自评和互评

-自我反思：鼓励学生在课后进行自我反思，思考自己在课堂上的表现，包括参与度、理解程度和问题解决能力。

-互评活动：组织学生进行互评活动，让他们评价同伴的表现，这有助于提高学生的批判性思维和沟通能力。

6.教学评价记录

-记录学生表现：将学生在课堂上的表现记录在案，包括提问、回答、小组讨论和动手操作等。

-定期回顾：定期回顾学生的课堂表现记录，分析学生的学习趋势，调整教学策略。典型例题讲解例题1：已知圆O的半径为5cm，一条直径AB垂直于弦CD，且CD=8cm，求弦CD的中垂线OE的长度。

解答：连接OC和OD，由于AB是直径，所以∠OCD=90°。在直角三角形OCD中，OC=OD=5cm（圆的半径），CD=8cm。根据勾股定理，OE²=OC²-CE²，其中CE是CD的一半，即CE=CD/2=8cm/2=4cm。因此，OE²=5²-4²=25-16=9，所以OE=√9=3cm。

例题2：在圆O中，直径AB与弦CD相交于点E，若AB=10cm，CD=8cm，且∠AED=45°，求圆O的半径。

解答：由于AB是直径，∠AED是圆周角，所以∠AED=∠ACB=45°。在等腰三角形ACB中，AC=BC=AB/2=10cm/2=5cm。连接OA和OC，由于∠AOC是圆心角，所以∠AOC=2∠ACB=2×45°=90°。在直角三角形AOC中，OA是半径，AC=5cm，根据勾股定理，OA=√(AC²+OC²)=√(5²+5²)=√50=5√2cm。

例题3：圆O的直径AB与弦CD相交于点E，若∠OCD=30°，∠OCE=60°，求弦CD的长度。

解答：由于∠OCD和∠OCE是圆心角，所以∠OCD=∠ECD和∠OCE=∠ECB。因此，三角形OCD和三角形ECB是全等的。由于AB是直径，所以∠OCD=90°。在直角三角形OCD中，∠OCD=30°，∠OCE=60°，这意味着CD是OC的一半，因为30°-60°-90°三角形的边长比是1:√3:2。设OC=x，则CD=√3x。由于OC是半径，所以O