高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用 4.3.1 平面图形的面积教学实录2 北师大版选修2-2

高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用4.3.1平面图形的面积教学实录2北师大版选修2-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课以高中数学选修2-2第四章4.3定积分的简单应用为内容，通过讲解平面图形的面积计算，让学生理解和掌握定积分在解决实际问题中的应用，培养学生的数学思维和解决问题的能力。教学过程中，结合实际案例，引导学生从实际问题中提取数学模型，运用定积分方法解决问题，提高学生的数学素养。二、核心素养目标分析三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在此前已经学习了函数、极限、导数等基本数学概念，具备了一定的数学基础。他们能够理解函数的图像和性质，掌握导数的计算方法，为学习定积分奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学学习普遍持有较高的兴趣，尤其是对解决实际问题感兴趣。他们在数学学习上表现出较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。学习风格上，部分学生偏好通过实例和直观图形来理解抽象概念，而另一部分学生则更倾向于通过公式推导和证明来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习定积分时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对定积分概念的理解不够深入，难以将定积分与导数的概念联系起来；二是计算定积分时，可能会在确定积分区间和积分限上出现错误；三是将定积分应用于解决实际问题时，可能会遇到如何从实际问题中提取数学模型的问题。这些困难和挑战需要教师通过有效的教学策略和方法进行引导和帮助。四、教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，首先通过讲解定积分的概念和性质，帮助学生建立理论框架。随后，组织学生讨论平面图形面积计算的实际案例，激发学生的思考。

2.设计角色扮演活动，让学生分组模拟工程师或设计师，根据实际问题提出解决方案，并运用定积分计算面积，增强学生的实践能力。

3.利用多媒体教学，展示定积分在实际工程中的应用案例，如建筑、工程等领域的面积计算，以直观的方式帮助学生理解定积分的应用价值。同时，使用图形计算器进行实时演示，让学生直观感受定积分的计算过程。五、教学过程1.导入新课

（教师）：同学们，我们之前学习了导数，知道了导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率。今天，我们要学习一个新的概念——定积分，它可以帮助我们计算函数在某个区间内的累积变化量。请大家打开课本，翻到第四章4.3节，我们一起来探究定积分的简单应用。

2.定积分的概念

（教师）：首先，我们来看一下定积分的定义。定积分是微积分学中的一个基本概念，它表示函数在一个区间上的累积变化量。具体来说，定积分是由积分和微分两个基本概念发展而来的。请大家跟读一遍定积分的定义。

（学生）：定积分表示函数在一个区间上的累积变化量。

（教师）：很好，接下来，我们通过一个简单的例子来理解定积分的概念。

3.计算定积分

（教师）：现在，我们来计算一个具体的定积分。请同学们打开课本，跟随我一起计算以下定积分：∫(0到1)x^2dx。

（学生）：首先，我们需要找到被积函数的原函数。x^2的原函数是1/3x^3，所以∫(0到1)x^2dx=1/3x^3|从0到1=1/3。

（教师）：很好，同学们已经成功计算出了这个定积分。接下来，我们再来计算一个稍微复杂一些的定积分。

4.定积分的应用——平面图形的面积

（教师）：在定积分的应用中，一个非常重要的应用就是计算平面图形的面积。请大家回顾一下，我们之前学习的平面图形面积的计算方法。

（学生）：我们可以通过分割图形、计算小图形面积再求和的方法来计算平面图形的面积。

（教师）：非常好。现在，我们用定积分来计算一个平面图形的面积。假设我们有一个矩形，其长为5，宽为4，我们要求这个矩形的面积。

（学生）：我们可以将矩形分割成无数个小矩形，每个小矩形的宽度为dx，长度为4。那么，矩形的面积就可以表示为定积分∫(0到5)4dx。

（教师）：正确。接下来，我们计算这个定积分。

（学生）：∫(0到5)4dx=4x|从0到5=4*5-4*0=20。

（教师）：很好，同学们已经成功用定积分计算出了这个矩形的面积。现在，我们再来看一个更复杂的例子。

5.定积分的应用——不规则图形的面积

（教师）：现在，我们来计算一个不规则图形的面积。假设我们有一个由曲线y=x^2和直线x=1所围成的图形，我们要求这个图形的面积。

（学生）：我们可以将这个图形分割成无数个小梯形，每个小梯形的上底为x^2，下底为x，高为dx。那么，这个图形的面积就可以表示为定积分∫(0到1)(x^2-x)dx。

（教师）：很好，同学们已经提出了正确的思路。接下来，我们计算这个定积分。

（学生）：∫(0到1)(x^2-x)dx=(1/3x^3-1/2x^2)|从0到1=(1/3-1/2)-(0-0)=1/6。

（教师）：很好，同学们已经成功用定积分计算出了这个不规则图形的面积。

6.总结与拓展

（教师）：今天，我们学习了定积分的简单应用，包括计算平面图形的面积和计算不规则图形的面积。希望大家能够通过今天的课程，对定积分的概念和应用有一个更深入的理解。接下来，请同学们完成课本上的练习题，巩固所学知识。

（学生）：好的，老师。

7.课堂小结

（教师）：同学们，今天我们学习了定积分的简单应用，主要包括计算平面图形的面积和计算不规则图形的面积。希望大家能够通过今天的课程，对定积分的概念和应用有一个更深入的理解。在今后的学习中，希望大家能够将所学知识应用到实际问题中，提高自己的数学素养。

（学生）：谢谢老师，我们明白了。六、拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《微积分及其应用》作者：华罗庚

本书详细介绍了微积分的基本概念、定理和应用，对于希望深入了解定积分及其应用的学生来说是一本很好的参考书。

-《高等数学基础教程》作者：张宇

本书以通俗易懂的语言讲解了高等数学的基本概念和理论，包括定积分的相关内容，适合有一定数学基础的学生阅读。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以尝试自己解决以下问题：

-如何使用定积分计算曲线与坐标轴围成的封闭图形的面积？

-定积分在物理学中有哪些具体的应用？例如，如何使用定积分计算功、位移等物理量？

-定积分在经济学中如何应用？例如，如何计算某个时间段内的总收益或总成本？

-学生可以尝试将定积分应用于实际问题，如：

-假设一个物体的位移随时间变化的函数为s(t)，如何使用定积分计算物体在0到t时间内所走的总路程？

-如果一个物体的速度随时间变化的函数为v(t)，如何使用定积分计算物体在0到t时间内的总位移？

-学生可以探索定积分与其他数学分支的关系，如：

-定积分与极限的关系：如何从极限的角度理解定积分的定义？

-定积分与微分的联系：定积分是如何从微分概念发展而来的？

-学生可以尝试自己编写简单的数学模型，并使用定积分进行求解，如：

-假设一个水池的形状为圆柱形，底面半径为r，水面高度为h，如何使用定积分计算水池的体积？

-假设一个物体的质量分布函数为m(x)，如何使用定积分计算物体在x到x+dx区间内的质量？七、板书设计①定积分的概念

-定义：定积分表示函数在一个区间上的累积变化量。

-表示法：∫f(x)dx（表示对f(x)从负无穷到正无穷的积分）

②定积分的计算方法

-不定积分的概念

-原函数与不定积分的关系

-定积分的计算公式：∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)（其中F(x)是f(x)的一个原函数）

③定积分的应用

-计算平面图形的面积

-直线与曲线围成的图形面积

-不规则图形面积

-物理学中的应用：功、位移等

-经济学中的应用：总收益、总成本等

④定积分的几何意义

-直线段上的定积分表示直线段上的面积

-曲线下的定积分表示曲边梯形的面积

⑤定积分的物理意义

-表示力在一段路程上所做的功

-表示物体在一段时间内的位移

⑥定积分的运算性质

-线性性质：k∫f(x)dx=k∫(a到b)f(x)dx

-可加性：∫(a到b)[f(x)+g(x)]dx=∫(a到b)f(x)dx+∫(a到b)g(x)dx

⑦定积分的实际应用举例

-物体运动学中的应用：计算位移、速度、加速度等

-经济学中的应用：计算收益、成本等

-工程学中的应用：计算面积、体积等八、课后作业1.作业题目：计算定积分∫(0到2)x^3dx。

解答：首先找到被积函数x^3的原函数，原函数为(1/4)x^4。然后根据定积分的计算公式：

∫(0到2)x^3dx=[(1/4)x^4]|从0到2=(1/4)*2^4-(1/4)*0^4=4-0=4。

2.作业题目：计算定积分∫(1到3)(3x-2)dx。

解答：首先找到被积函数3x-2的原函数，原函数为(3/2)x^2-2x。然后根据定积分的计算公式：

∫(1到3)(3x-2)dx=[(3/2)x^2-2x]|从1到3=(3/2)*3^2-2*3-(3/2)*1^2+2*1=(27/2)-6-(3/2)+2=14。

3.作业题目：计算由直线x=2，y=1和曲线y=x^2围成的图形的面积。

解答：图形的面积可以通过计算直线和曲线之间的定积分得到。首先找到曲线和直线的交点，即解方程x^2=1，得到x=1（另一个交点x=-1不在考虑范围内）。然后计算定积分：

面积=∫(1到2)(x^2-1)dx=[(1/3)x^3-x]|从1到2=(8/3)-2-(1/3)+1=6/3=2。

4.作业题目：计算物体在t=0到t=2秒内由速度v(t)=4t^2-2t所做的功。

解答：功可以通过计算速度的定积分得到。首先找到速度的原函数，即加速度，v(t)的原函数为(4/3)t^3-t^2。然后计算定积分：

功=∫(0到2)(4t^2-2t)dt=[(4/3)t^3-t^2]|从0到2=(32/3)-4-0+0=32/3。

5.作业题目：一个圆柱形水池的直径为6米，水深为4米，求水池的体积。

解答：水池的体积可以通过计算圆柱的体积公式得到。圆柱的体积公式为V=πr^2h，其中r是底面半径，h是高。水池的底面半径为直径的一半，即3米。计算定积分：

体积=∫(0到4)π(3)^2dh=π*9h|从0到4=9π*4=36π。因此，水池的体积是36π立方米。教学反思与总结今天的课，我们学习了定积分的简单应用，特别是如何计算平面图形的面积。我觉得整体来说，教学效果还是不错的，但也存在一些可以改进的地方。

在教学过程中，我尝试了多种教学方法，比如通过实例讲解、小组讨论和实际操作等，来帮助学生理解和掌握定积分的概念和应用。我发现，学生们对于定积分的理解比较困难，尤其是在从导数过渡到定积分的时候。为了解决这个问题，我特意花了些时间在课堂上进行类比和解释，比如将定积分比作微分的逆过程，这样学生们的理解就更加直观了。

在策略上，我采用了循序渐进的方式，从简单的积分计算开始，逐步过渡到复杂的应用问题。我发现，这样的教学方法对于大部分学生来说是比较有效的。不过，也有一些学生对于定积分的概念理解得不够深入，这可能是由于他们对数学概念的基本理解不够扎实。

在课堂管理方面，我注意到学生在进行小组讨论时，有些小组的讨论不够积极，这可能是因为他们对问题的理解不够深入或者缺乏有效的讨论技巧。在今后的教学中，我计划提供更多的讨论指导和时间，帮助学生提高讨论效率。

对于教学效果，我觉得学生们在知识上有了明显的进步。他们能够计算出一些基本的定积分，并且能够将定积分应用于解决实际问题。在技能方面，学生们的数学建模能力也有所提高，他们能够从实际问题中提取数学模型，并运用定积分进行求解。

情感态度方面，我发现学生们对于数学的学习兴趣有所提升。他们对于能够用数学知识解决实际问题感到兴奋和满足。这让我觉得，教学不仅仅是传授知识，更是激发学生的学习兴趣和潜能。

当然，也存在一些问题和不足。比如，有些学生对于定积分的计算方法掌握得不够牢固，他们在面对复杂问题时容易出错。此外，课堂讨论的深度和广度还有待提高，学生之间的交流不够充分。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

-在今后的教学中，我将更多地关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求提供个性化的辅导。

-我会设计更多具有挑战性的问题，鼓励学生进行深入思考和讨论，提高他们的数学思维能力。

-我计划在课堂上引入更多的实际案例，让学生在实际操作中感受数学的应用价值，增强他们的学习兴趣。

-我将加强课堂讨论的引导，提供讨论技巧的培训，帮助学生更好地参与讨论。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第四章4.3节的相关练习题，包括定积分的基本计算和简单应用问题。

2.选择一个实际问题，如计算一个物体的位移、计算一段路程的面积等，运用定积分的方法进行解答，并写出解题过程。

3.分析一个实际案例，如建筑工地的材料用量、经济活动的成本收益分析等，提出使用定积分进行计算的理由和方法。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保作业的质量和准确性。

2.指出学生在计算过程中的错误，如积分区间、积分限、原函数的选择等，并提供正确的解答过程。

3.针对学生的解题思路和方法，给出评价和建议，如鼓励学生运用合适的数学工具和技巧，提高解题效率。

4.对于学生的创新思维和独特见解，给予肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣和探索精神。

5.对于作业中普遍存在的问题，可以在下一节课上进行集体讲解和讨论，帮助学生共同克服困难。

具体作业示例及反馈：

1.作业示例：计算定积分∫(0到π)sin(x)dx。

反馈：学生可