2024江西省中考一模押题预测卷数学试卷及答案

2024年中考第一次模拟考试

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

I.-;的倒数是()

A.-3B.--C.-D.3

33

2.下列计算正确的是()

A.nr•/n3=B.-(m-n)=-m+n

C.〃?(〃?+〃)=〃/+〃D.(m+n)2=m2+n2

3.第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口

的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（）

4.对于函数＞=~41+3,下列结论正确的是（）

A.y随工的增大而增大

B.它的图象经过笫三象限

C.它的图象与x轴的交点坐标为(0,3)

D.将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数y=-4x+l的图象

5.如图，。为等边A8C的48边的中点，点〃是BC上的一个动点，连接。P,将沿

。。翻折，得到连接AE,若NK4K=40。，则的度数为()

A.40°B.60°C.70°D.80°

6.如图，抛物线)，=这2十以十c与X轴交于点八(1,0),8(3,0),交了轴的正半轴于点C,

对称轴交抛物线于点。，交x轴于点E,则下列结论：①〃+2c〉()，@a+b>am2+bm(小

为任意实数)；③若点P为对称轴上的动点，则|心-a。有取大值，最大值为朽历；④若

〃?是方程加+力五+(:=0的一个根，则一定有"-4ao=(2a〃2+Z?)2成立.其中正确的序号有

A.①②③④B.①②③C.③④D.①②④

第n卷

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

7.因式分解8f—2)/=—.

8.节俭办赛是北京申奥的一大理念和目标.根据此次冬奥会财政预算，赛事编制预算约为

15.6亿美元，15.6亿可用科学记数法表示为.

9.已知菱形A8CD的对角线AC,B。的长度是关于x的方程X?-14x+48=0的两个实数根,

则此菱形的面积是.

10.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高''的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图

中的A8C）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A,B,Q

在同一水平线上，NABC和NAQP均为直角，AP与8c相交于点。.测得

4^=40cm,BO=20cm,AQ=12m,则树高夕。=m.

12.如图，正方形ABC。的边长为12,E为AB边上一动点,在运动的过程中，始终保持

EF上AC于F,EGJ_8O于G.若AG的长为整数，则AG的长可以为.

三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

13.（1）计算：（1_6）。一|-2|+」）

3^-2>1

（2）解不等式组：

5-A>2

14.如图，AB=AC,CDLAB.BELAC,垂足分别为。，E.

(I)求证：ABE^ACD；

(2)若AE=6,8=8,求AO的长.

15.为AABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1,图2中画出

一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法).

(I)如图1,AC=BC；

(2)如图2,直线/与。。相切于点P,且/〃8c.

16.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统

文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母

A,B,C,。表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其

余均相同)，现将四张k片背面朝上，洗匀放好.

ABCD

(l)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文''的概率为.

(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树

状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明””可的概率.

17.如图，直线y=3x+〃与x轴交于点A(-1,O),与反比例函数y,"〉。)的图象相交于点

8(1,"。.

⑴求反比例函数的表达式；

(2)。是反比例函数y=A(x>0)的图象上的一点，连接AC,若NC4O=45。，求直线6c的

函数表达式.

四、解答题(本大题共3个小题，每小题8分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤)

18.某区中小学举行硬笔书法比赛，由学校初赛选拔人员参加全区比赛，为选拔人员参赛,

A校经过宣传，组织硬笔书法爱好者训练后举行校内硬笔书法比赛，赛后评审中根据作品的

质量确定五种获奖等级的人数，并对获奖情况进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图,

请结合图中相关数据解答卜列问题.

(1)求参赛的总人数，并将条形统计图补全；

⑵求在获奖中人数的中位数和方差：

(3)为勉励学生努力提升人文索养，培养书法人才，对各校初赛获一等奖者颁发“小小书法家”

证书，全区各校统一制作证书，若各校初赛统一按总比例确定初赛人数和获奖人数，若A校

有1200名学生，该区共有54000名中小学生，估计该区获得“小小书法家”证书的总人数.

19.如图1,是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧08

与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽40为1.2米

(参考数据：sin40°«0.6428,cos40°«0.7660,sin41°«0.6561,cos41°«0.7541,

sin42°工0.6667,cos42°«0.7431)

图1图2备用图

⑴当车门打开角度/A05为40。时，车门是否会碰到墙？请说明理由

(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？

20.杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销

售量为256件，II月份的销售量为400件.已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58

元.

(1)求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率：

(2)经市场预测，12月份该款吉祥物的销传后将与9月份持平，现商场为了减少库存，采用

降价促销方式.调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥

物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元？

五、解答题(本大题共2个小题，每小题9分，共18分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤)

21.在RtZXABC中，ZACT=90°,AO平分/CA8交于点0,以。C为半径作3。.

A

(I)求证：直线AB是O的切线.

(2)若A8=5,tanZOAC=p求O的半径.

22.如图①,已知抛物线y=o?+加+3(〃工0)与％轴交于A(T0),B(3,0)两点,与一轴交于

⑵若点力是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD,BD,BC,AC.当△8CO的面积等于

4OC面积的2倍时，求点。的坐标；

(3)抛物线上是否存在点P,使得NC8P+4CO=NA8C?若存在，请求出点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

六、解答题（本大题共12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

23.某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边A8C中，AB=2,点。在

射线BC上运动，连接AO,以AO为一边在A。右侧作等边VAOE.

图（I）图（2）饴用图

⑴【问题发现】如图（1），当点。在线段BC上运动时（不与点8重合），连接CE.则线段BO

与CE的数量关系是；直线朋与CE的位置关系是：

（2）【拓展延伸】如图（2）,当点。在线段8c的延长线上运动时，直线4DCE相交于点

请探究一MAE的面积与△“DC的面积之间的数量关系；

（3）【问题解决】当点。在射线8C上运动时（点。不与点反。重合），直线AD,CE相交于

点M,若,8的面积是如，请求出线段B。的长.

2

2024年中考第一次模拟考试

数学•全解全析

第I卷

一、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1.的倒数是()

A.一3B.—C•—D.3

33

【答案】A

【分析】本题考查倒数的定义，

乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可.

【详解】解：-；的倒数是一3,

故选：A.

2.下列计算正确的是()

A.m2-in"=m6B.-(in-n)=-m+n

C.rn(rn+n)=in~+nD.(in+n)2=m'+n2

【答案】B

【分析】利用同底数第的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次

判断即可.

【详解】解：A、〉.加=加工/〃6,故此选项不符合题意；

B、=+故此选项符合题意;

2

C、m{m+n)=nr+mn^m+nf故此选项不符合题意;

D、(in+n)2=m2+2mn+n2*m2+n2,故此选项不符合题意.

故选:B.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数塞的乘法，去括号法则，单项式乘多项

式的运算法则，完全平方公式等知识.熟练掌握各运算法则和(。+〃>=。2+2〃力+力2的应用

是解题的关键.

3.第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口

的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（）

【答案】B

【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案.

【详解】解：•・•茶口的直径与托盘的直径相同，

・•・俯视图如选项B所示，

故选：B.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图.

4.对于函数y=~4x+3,下列结论正确的是（）

A.y随x的增大而增大

B.它的图象经过第三象限

C.它的图象与x轴的交点坐标为（。，3）

D.将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数），=-4x+l的图象

【答案】D

【分析】根据一次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】解：A.•,乂=-4<0,

随工的增大而减小，故A错误，不符合题意；

B.•.乂=-4<0,〃=3>0,

・•・函数图象经过一、二、四象限，故B错误，不符合题意；

C.当丁=。时，Tx+3=0,解得x=它的图象与％轴的交点坐标为（不。），故C错误,

不符合题意：

D.将该函数的图象向下平移2个单位长度得到函数y=Tx+l的图象，故D正确，符合题

意；

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键.

5.如图，。为等边A8C的A8边的中点，点P是8C上的一个动点，连接。P,将，。眇沿

OP翻折，得到二。所，连接4E,若/BAE=40°,则/。尸8的度数为()

A.40°B.60°C.70°D.80。

【答案】D

【分析】根据中点性质和翎折性质得到八7)=力以得到NB4E=NAED=4()。，根据三角形

外角性质得到N8OE=80。，根据翻折性质得到NBOP=40。，根据等边三角形性质得到

ZABC=60。,根据三角形内角和定理得到NQPA=80°.

【详解】•・・D是43中点，

AD=RD，

由翻折知，BD=DE,

/•AD=DE,

AZBAE=ZAED=40°,

・•・ZBDE=ZBAE+ZAED=80°,

：.ZBDP=-ZBDE=40Q,

2

丁等边乂8c中，ZABC=60°,

・•・△BDP中,4DPB=8b.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形，折叠，等腰三角形，三角形内角和等.解决问题的关

键是熟练掌握等边三角形性质，折叠图形全等的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内

角和定理及三角形外角性质.

6.如图，抛物线)，=如2+法+。与％轴交于点A(_1,o),3(3,0),交了轴的正半轴于点C,

对称轴交抛物线于点。，交方轴于点E,则下列结论：①〃+2c>0,®a+b>am2+bmO

为任意实数)；③若点尸为对称轴上的动点，则|/-尸。有取大值，最大值为朽E；④若

m是方程浸+Z?x+c=O的一个根，则一定有。2-4”?=(23〃+/?)-成立.其中正确的序号有

A.①②③④B.①②③C.③④D.①②④

【答案】D

［分析】根据抛物线开口向下可得a<0,根据对称性求出对称轴为直线大=1,则6=-加>0,

再由抛物线交y轴的止半轴，得到c>0,由此即可判断①：根据x=l时，二次函数有最大

值，最大值为a+〃+c,则a+,即可判断②；由对称性可知=则

\PA-PC\<AC=yJOA2+0C2=Vl+c2,即可判断③；先求出。一力+。=0,进而推出c=-3a,

则从-4ac=16/，由m是方程加+〃x+c=O的一个根，得到，〃=-1或〃?=3,然后分别计

算出(2,〃〃+〃f的值即可判断④.

【详解】解：抛物线开口向下,

。＜0

••抛物线)，=♦+b.r+c与x轴交于点4(-1,0),8(3,0).

对称轴为直线x=-=二^=1,

2a2

/.b=-2a>0,

抛物线交y轴的正半轴.

，c>0,

.-./?+2r>0,故①正确；

•对称轴为直线x=l,开口向下，

「.x=l时，二次函数有最大值，最大值为a+b+C,

•*-a+b+c>am2+b/n+c(m为任意实数)即a+力2am2+bm»故②正确;

,•对称轴交y轴的正半轴于点C,

/.C(0,c),

由对称性可知=

\PB-PC\=\PA-PC\<AC=do^+OC2=Vl+c2,故③不正确；

抛物线y=纨2+力.r+c与x轴交于点A(-1,0),

:.a-b+c=0f

•/b=一勿，

..c=-3a,

y=ax2+bx+c=ax2-2:ix-3。，

b2-4ac=4cr+\2a2=\6a\

m是方程〃/+法+°=0的一个根，

二.根=-1或〃？=3,

当m=一1时，(2am+Z?)2=(-2a-2a)2=16a2,

当〃?=3时，(lam+/?)2=(6a-2a)2=16a2,

•二若m是方程公2+〃x+c=0的一个根，则一定有方*_4ac=(2a〃?+〃『成立，故④正确；

故选D.

【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题关

键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算.

第n卷

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

7.因式分解X，一2)尸=

【答案】2(2x+y){2x-y)

【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解.

【详解】解：8^-2/

=2(4x2-y2)

=2（2x+），）（2x-y）.

故答案为:2（2x+y）（2x-y）,

【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用

公式法分解.

8.节俭办赛是北京申奥的一大理念和目标.根据此次冬奥会财政预算，赛事编制预算约为

15.6亿美元，15.6亿可用科学记数法表示为

【答案】1.56x10"

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中14同＜10,〃为整数.确定〃的值时，

要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

【详解】解:15.6亿=1560000000=1.56x109.

故答案为：1.56x109.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和的值的取

值要求是解题关键.

9.已知菱形A8CD的对角线AC,B。的长度是关于x的方程丁-14x+48=0的两个实数根，

则此菱形的面积是

【答案】24

【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质.根据根与系数的关系得到4。8。=48,

再根据菱形的面枳等于对角线乘积的一半，即可得出结果.掌握根与系数的关系，是解题的

关键.

【详解】解：由题意，得：AC4£＞=48,

•・,4。,8。是菱形人88的对角线，

・•・菱形A8C。的面积等于;AC•8。=24；

故答案为：24.

10.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法."矩''在古代指两条边呈直角的曲尺（如图

中的A8C）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A,B,Q

在同一水平线上，NA8C和/月。户均为直角，AP与8c相交于点。.测得

A4=40cm,4/）=20cm,AQ=12m,则树高PQ=m.

p

【答案】6

【分析1根据题意可得“BDsaAQP,然后相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：・・・/A8C和44。尸均为直角

・•・BD〃PQ,

；・，ABD^AQP,

.BDAB

••而二而

•・・NB=40cm,BO=20cm,AQ=\2m,

AQxBD12x20

PQ==6m,

AB40

故答案为：6.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

11.如图所示，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=c.

【答案】360

【分析】如图：根据三角形外角的性质可得N1+N5=N7、Z4+Z5=Z8,进而得到

N2+N3+N7+N8,最后根据四边形的内角和即可解答.将所求角的和转化为四边形的内角

和是解题的关键.

【详解】解：如图：根据三角形外角的性质可得N1+N5=N7、N4+/5=N8,则

Nl+N2+N3+N4+N5+N6=N2+N3+N7+N8=360°.

故答案为360.

12.如图，正方形A8C。的边长为12,七为48边上一动点，在运动的过程中，始终保持

所1AC于尸，EG_L8O于G.若对的长为整数，则AG的长可以为

【答案】6或7或8

【分析】如图，连接E0,由正方形性质，得。4=。伐AC18O,可证四边形EG"是矩形，

得OE=FG,进而可证点E位于48的中点时，由等腰三角形三线合一及垂线段最短知此时

。石取最小值；勾股定理求得此时OE=AE=^Q4=6：图中，OA=OB=6®，

2

6五=反,8=闹＜6＜庖=9；于是8＜OA＜9,得FG=OE的整数值为6,7,8.

【详解】解：如图，连接EO,

正方形A8CD中，OA=OB,AC1BD,EF1AC,EG工BD,

ZEFO=/EGO=NTOG=90°

・••四边形EG8是矩形.

：,OE=FG.

当点E位于的中点时，

'：OA=OB

：.OErAB,此时，OE取最小值；

RtAAOB中，OA=OB=^AB=6叵.

2

RUXE4O中，OE=AE=—OA=6,即0£的最小值为6.

2

如图，OA=OB=6&，6&=反,8=扃＜阮＜如=9；

.\8<OA<9

：,6<OE<9

•••PG=。七的整数值为6,7,8.

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形性质，垂线段

最短；运用矩形的性质作线段的等量转换是解题的关键.

五、解答题(本大题共5个小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤)

13.(1)计算：(1-V3)°-|-2|+g)

3x-2>l

(2)解不等式组:

【答案】(1)3；(2)l<x<3.

【分析】(1)先根据零次某、绝对值和负整数次幕化简，然后计算即可:

(2)先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集.

【详解】解：(1)1—2|+(g)

=1-2+4

=3；

(2)'5-x>2®

由①得:x>l

由②得：x<3

所以该不等式组的解集为：1夕<3.

【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法

是解答本题的关键.

14.如图，AB=AC,CDLAB.BELAC,垂足分别为。，E.

⑴求证：ABE^ACD；

（2）若AE=6,8=8,求AO的长.

【答案】（1）见解析

（2）BD=4

【分析】（1）利用“AAS”可证明..4照且一ACD；

（2）先利用全等三角形的性质得到AO=AE=6,再利住勾股定理计算出AC,从而得到A8

的长,然后计算即可.

【详解】（1）证明：CD1AB,BELAC,

ZAEB=ZADC=90°f

在一AB石和ACO中，

NAEB=NADC

«/BAE=NCAD,

AB=AC

.•-48£RACD（AAS）；

（2）解：wABE^^ACD,

AD=AE=6,

在RtsACf）中，AC=ylAD^+CD2=762+82=10-

VAB=AC=1（）,

:.BD=AB-AD=10-6=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质

证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

15.。。为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1,图2中画出

一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.

•OA.O

A

----B

图1图2

（I）如图1,AC=BC；

（2）如图2,直线1与。。相切于点P,且1〃BC.

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【分析】（1）过点C作直径CD,由于AC二BC,弧AC二弧BC,根据垂径定理的推理得CD

垂直平分AB,所以CD将^ABC分成面积相等的两部分；

（2）连结PO并延长交BC于E,过点A、E作弦AD,由于直线1与。O相切于点P,根

据切线的性质得OPL,而1〃BC,则PE1BC,根据垂径定理得BE=CE,所以弦AE将^ABC

分成面积相等的两部分.

【详解】（1）如图1,直径CD为所求；

（2）如图2,弦AD为所求.

16.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统

文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母

A,8,C,。表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其

余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.

日》瑞自

BcD

（l）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文''的概率为

（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树

状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明””可的概率.

【答案】呜

(2)?

【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，；

（1）直接利用概率公式计算即可：

（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文

明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可.

【详解】（1）通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，

・•・卡片上的字是轴对称图形的概率为!，

故答案为：—,

4

（2）画树状图如解图，

开始

ABCD

/Tx/Tx

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,

则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为弓9=91

120

17.如图，直线），=3x+gx轴交于点A（-1,O）,与反比例函数尸勺x〉0）的图象相交于点

(1)求反比例函数的表达式；

(2)C是反比例函数y=K(x>0)的图象上的一点，连接A。，若NC4O=45。，求直线BC的

.X

函数表达式.

【答案】(1)反比例函数的表达式为y=9；

X

(2)直线BC的函数表达式为y=-3x+9.

【分析】(1)分别把A(-1,0),B(1M)代入y=3x+〃,求出b和阳的值,因为反比例函数

)，=：(x>0)的图象经过点4,由此求出攵值即可；

(2)过点C作COLx轴于点。，由/6。=45。，得a)=AD,设点C的坐标为。3}

则。+1=3,解方程求出“值即得点C的坐标，再用待定系数法求解即可.

【详解】(1)把4(一1,0)代入，=3%+方得-3+匕=0,

.,.6=3,

把8(1,m)解得代入y=3x+。得3+3=〃?，

/.〃?=6,

•••点4的坐标为(1,6).

•，,反比例函数y=±(x>0)的图象经过点5,

A

:,k=1x6=6,

.••反比例函数的表达式为y=9;

X

(2)VA(-1,O),

:.OA=\.

如图，过点C'作CQ_Lx轴于点

/.CD=AD,

设点。的坐标为-,则。+1=5,解。=2或-3（负值舍去），

.•.点C的坐标为（2,3）.

设直线8C的函数表达式为y=px+qt

把8（1,6）,C（2,3）代入）f+9得\p：g=3,解得|；=9'

直线8C的函数表达式为y=-3x+9.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及用待定系数法求反比例函数和一次函

数的解析式，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识,

熟练掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

六、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

18.某区中小学举行硬笔书法比赛，由学校初赛选拔人员参加全区比赛，为选拔人员参赛,

A校经过宣传，组织硬笔书法爱好者训练后举行校内硬笔书法比赛，赛后评审中根据作品的

质量确定五种获奖等级的人数，并对获奖情况进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图,

请结合图中相关数据解答下列问题.

（I）求参赛的总人数，并将条形统计图补全;

(2)求在获奖中人数的中位数和方差；

(3)为勉励学生努力提升人文素养，培养书法人才，对各校初赛获一等奖者颁发“小小书法家”

证书，全区各校统一制作证书，若各校初赛统一按总比例确定初赛人数和获奖人数，若A校

有12(X)名学生，该区共有540(X)名中小学生，估计该区获得“小小书法家”证书的总人数.

【答案】(1)参赛的总人数40人，补全条形统计图见解析

⑵获奖人数的中位数为8,获奖人数的方差为8

(3)可估计该区54000名中小学生中，获得“小小书法家”证书的总人数为180人

【分析】(1)根据“参与奖”的获奖人数为10人，且占比为25%解答即可;

(2)根据中位数的定义及方差的定义解答即可；

(3)根据抽样中一等奖的占比估算该区的总人数即可解答.

【详解】(1)解：•・•”参与奖”的获奖人数为10人,且占比为25%,

，参赛的总人数为10・25%=40(人).

・••一等奖的人数为40-8-6-12-10=4(人)

补全条形统计图如下：

(2)解：•••获奖人数为4,6,8,12,10,

••・获奖人数的中位数为8,

•・•获奖人数的平均数为?=8,

・•・获奖人数的方差为S2T(4-8)2+(8-8尸+(6-8)2+02-8)2+(10-8)2]=8；

(3)解：•••A校有1200名学生中，有4人获一等奖，

，可估计该区54000名中小学生中，获得“小小书法家''证书的总人数为

4

——x54000=180人.

1200

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数的定义；方差的定义，样本估算整体,

读懂条形统计图和扇形统计图的信息关联是解题的关键.

19.如图1,是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧。8

与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米

(参考数据：sin4()°«0.6428,cos40°«0.766(),sin41°*0.6561,cos41°»0.7541,

sin42°x0.6667,cos42°x0.7431)

⑴当车门打开角度NAOB为40。时，车门是否会碰到墙？请说明理由

（2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？

【答案】（1）车门不会碰到增，理由见解析

(2)42°

【分析】（1）如图：过点A作AC_LO8,垂足为点G.解三角形求出AC的长度，然后比

较即可；

（2）如图：过点A作AZ）J_O8,垂足为D,AD=08AO=\.2,求出sinZAOO即

【详解】（1）解：车门不会碰到墙，理由如下：

如图：过点A作AC_L08,垂足为点C.

M

N

在Rt二ACO中，Z4OC=4()0,AO=1.2,

・•・AC=sinZAOC-AO«0.6428xl.2=0.7714，

V0.7714<0.8,

・•・车门不会碰到墙.

（2）解:过点A作AOJ.O8,垂足为D,

M

V7

N

在RtZXADO中，

V>40=0.8,40=1.2,

sinZ.AOD==—«0.6667.

0A1.23

・•・sin42°«0.6667,

又•・•正弦值随着角度的增大而增大，

••・靠墙一侧车门能打开的最大角度为42。.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答

本题的关键.

20.杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮2宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销

售量为256件，11月份的销售量为400件.已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58

元.

（I）求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率；

⑵经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与9月份持平，现商场为了减少库存，采用

降价促销方式.调查发现，该款吉祥物每降价I元，月俏售量就会增加20件，当该款吉祥

物每件的售价为多少元时，月销位利润能达到8400元？

【答案】（1）该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为25%

⑵该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用：

（1）设该款吉祥物9月份到11月份俏售量的月平均增长率为x,可列出关于x的一元二次

方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的俏售利润为（.V-35）元，利用月俏售利润=每件的俏

售利润X月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【详解】（I）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256（1+x）2=400,

解得：％=0.25=25%,X2=-2.25（不符合题意，舍去）.

答：该款吉祥物9月份到II月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（）“35）元，月销售量为

400+20（58-y）=（1560-20），）件，

根据题意得：（》一35）（15&）-20），）=8400,

整理得：y2713y+3150=0,

解得:X=50,%=63

因为商场为了减少库存，故必二63不符合题意，舍去.

答：该款吉祥物售价为50元时，月俏售利润达8400元.

五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

21.在RtZXABC中，ZACB=90°,AO平分NC48交BC于点。，以OC为半径作。。.

（1）求证：直线是O的切线.

（2）若A8=5,tanZOAC=1,求0。的半径.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）过。作。“上/W于“，得到/责7。=/3。。=90。，根据角平分线的定义得到

=根据全等二角形的性质得到于是得到AA与0。相切；

(2)设OC=O”=，•，则BC=8”=3二根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到

结论.

【详解】(1)证明：过。作0"J_A8于H,

/./BHO=NBCA=9()。，

・・・AO平分NCA8,

ZCAO=ZBAO,

VAO=AO,

CAO^HAO(AAS),

:.OC=OH,

二.AB与］O相切；

oc1

(2)解：vtanZOAC=——=-,

AC2

.".设OC=OH=r,

贝|JAC=/4H=2/，

vZB/7O=ZC=90°,ZB=/B,

BHO^BCA,

BHBOHO_1

~BC~~HA~~CA~2,

：.BH=-BC=r,BO=-AB=~,

222

/.RC=RO+CO=—4-r,

2

在RtZXABC中，AC2+BC2=AB2,

即：(2"+1+92=52,

35

解得或r=一彳(舍去)，

22

。的半径为;3.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质

是解题的关键.

22.如图①，已知抛物线y=陵+3(。工0)与x轴交于4-1,0),3(3,0)两点,与丁轴交于

⑴求该抛物线的表达式；

(2)若点。是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CRB。,8cAC.当△8C。的面积等于

40c面积的2倍时，求点。的坐标；

(3)抛物线上是否存在点人使得NC8P+NACO=N/WC?若存在，请求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

［答案】⑴y=-x2+2x+3；

(2)(1,4)或(2,3)；

⑶《(、2，装11)，心(2,3).

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

I13

(2)由..BCD的面积=S»EC+S叱8=-OEX8O=-X3X(T〃2+2/〃+3+〃?-3)=2X-,即

222

可求解：

(3)分点/，在BC左侧和点”在BC由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数

得图像及性质，进而求解.

【详解】(1)解：把4-L0),8(3,0)代入凹="2+6+3(。*0)中,得:

a-b+3=04=-1

，解得:

9。+3〃+3=0b=2

・•・抛物线解析式为y=-丁+2x+3；

(2)解：过点。作y轴平行线交工轴于E,交.BC于点、F,作CG_L。后于点G,

，。点坐标是(。，3),

设直线8c：)，=依+小

把倒3,()),。(0,3)代入丁=履+必得

0=3〃+4

3=夕'

k=-1

解得,，

上/=3

工直线BC的解析式为y=r+3

设则,-〃72+2m+3),则广(m,Tn+3),

:.DF=(-in1+2m+3)-(-/??+3)=-m2+3m

由S~=2S/"得：^DFxOB=2x^OAxOCf

-+3/zz)x3=2x—xlx3

22

整理得：ni2-3m4-2=0

解得：g=L"h=2

,/0V〃/<3,

的值为1或2,

当"7=1时，T/+2〃?+3=T2+2+3=4,

当〃?=2时，T”a+2/〃+3=-4+4+3=3,

・••点。的坐标为(1,4)或(2,3)；

(3)解：存在.

由。(0,3),4(3,0)得O8=OC,

・・・"8C=45。，

①当点尸在8c左侧时.

在y轴上取点M(0,1),延长交抛物线于点P.

在；AOC和BOM中

OA=OM

ZAOC=ZBOM,

OC=OB

/.AAOC^,.BOM,

，ZACO=ZABM,

・•・/CBP+/ACO=NCBM+NOBM=/ABC,

设直线BM的解析式为y=kx+b,

将4(3,0),M(O,1)代入，得

3kIb=0

b=\

k=--

解得3,

b=\

・•・设直线BM的解析式为y=~x+\,

2

y=-x2+2x+3x=——

3x=3

由，1।得：・或，

y=一一x+\v=Hy=0'

-39

・P\211I

,,"I5司：

②当点P在BC右侧时,

作,8OC关于8C的对称△CBN,CN交二次函数y=-x、2x+3于点2，则

NCBN=NCBO=45°,/N=4OC=90。，N8CO=/8CN=45。，

，NOCN=NN=NOBN=90°,

'：OC=OB,

••・四边形OCNB是正方形,

/.BN=3,

令），=-x、2x+3中，＞'=3,则_/+2X+0,

解得“=()或工=2,

・•・6(2,3),P]N=3—2=\=OM,

•：OB=NB,N8OM=NBNR=90°,

BOMgBNP>,

：.NOBM=4NBP3,

，NCBP]+ZACO=NCBP]+ZBOM=NCBP?+NNBP、=45°=NABC

••・在点A抛物线上，即点A满足条件NCBP+ZACO=^AI3C.

故存在满足条件的点/＞有两个，分别是＜（-彳2，-I1）,6（2,3）.

JY

~ATO\

【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三

角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这叫知识是解题关键.

六、解答题（本大题共12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

23.某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边工中，入9=2,点D在

射线8c上运动，连接4Z）,以AO为一边在A。右侧作等边VAOE.

（I）【问题发现】如图（1），当点。在线段BC上运动时（不与点B重合），连接CE.则线段

与CE的数量关系是：直线B4与CE的位置关系是；

（2）【拓展延伸】如图（2）,当点。在线段8c的延长线上运动时，直线ADCE相交于点M,

请探究.MAE的面积与△"力C的面积之间的数量关系；

（3）【问题解决】当点。在射线AC上运动时（点。不与点&C重合），直线ADCE相交于

点M,若△MCO的面积是也，请求出线段B。的长.

2

【答案】(1)BD=CE,I3A//CE

Q)s卜研74咏=6

(3)1或4

【分析】(1)证AAB恒△ACE(SAS),得BD=CE,ZB=ZACE,再证N8AC=N4CE,

则刚〃CE；

(2)证瓦注△ACE(SAS),得5八加二5'3，再证S砂-S,皿=S9-S心=S瓯，

即可解决问题；

(3)由(1)(2)可知△A8£^ZiACE(SAS),BD=CE,BA//CE,S惭-S卜取=瓜则

S“A£="，则ME=3,再证△MDCS<14)8,得CDAB=BDCM,设CD=x当点。在

线段BC上时则8D=2—xCE=ME—。知=3-。M，求出。加=工+1,则2”(27)(4+1),

解方程即可；当点。在线段8C的延长线上时，解法同上.

【详解】(1)解：44c和VADE是等边三角形，

:.AB=AC,ZBAC=Z^=ZACB=ZZME=60°,AD=AEf

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即N84O=NC4E,

.•.△48DgA4CE(SAS),

:.BD=CE,/B=ZACE，

/BAC=ZACE,

:.BA//CE,

故答案为：BD=CE,I3A//CE.

(2)解：s、1Ali_S、咏=6理由如下：

•••,AAC和VAOE是等边三角形，

:.AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AEf

ZR4C+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即"4〃=NCAt,

・・・：人也泾ACE,

-q―s

•,UAHI)-JACE，

•♦q-q=q_Q

•0ACE°ACDJMAE°MDC，

-SMAE-SMDC=SABD-SACD=SABC=AB'=^^2?=6；

(3)解：由(1)(2)可知，无论点。在线段8c上还是在线段8c的延长线上，都有

AABD^AACE(SAS),BD=CE,BA//CE,S.「S叱=也,

....近

•0MCD~'

万G3G

••SMAE=V3+《-=-^-，

•.BA//CE,

.：M4£的边/WK上的高-，ABC的边/VS上的高=0,

:.ME=3,

-BA//CE,

:工MDCS-ADB,

.CDCM

:.CDAB=BDCM,

设CO=x,

①当点。在线段8c上时，如图,

M

则80=2—x,CE=ME-CM=3-CM,

・：BD=CE,

..2-x=3-CM,

:.CM=x+\,

/.2x=(2-x)(x+l),

整理得：x2+x-2=0»

解得：XI=\,X2=-2（不符合题意，舍去）,

I3D=2—x=\；

②当点。在线段8C的延长线上时，如图，

BD=CE,

:.2+x=3+CM>

:.CM=x-1,

二.2x=（2+x）（x-l）,

整理得：X2-X-2=0,

解得：x,=2,x2=-l（不符合题意，舍去），

BD=2+x=4；

综上所述，线段的长为1或4.

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相

似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类

讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是

解题的关键，属于中考常考题型.