医学高等数学 2.2导数的运算学习资料

第二节初等函数的导数一、按定义求导数三、反函数的求导法则四、复合函数的导数二、函数四则运算的求导法则五、隐函数的求导法则六、对数求导法七、初等函数的导数八、高阶导数一、按定义求导数１．常数的导数2．幂函数的导数所以3正弦函数和余弦函数的导数即即同理4．对数函数的导数即特别地，时特别地，时二、函数四则运算的求导法则证(3)推论例5.

已知解：例6.

已知解：例7.

解：例8.

解：三、反函数的求导法则定理2-1即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.解同理可得例2-11即例19.已知解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知在x所对应的区间内,四、复合函数的导数定理2-2

即

因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)或推广则复合函数的导数为或解解例2-12已知函数,求例2-13已知函数,求例2-14已知函数,求

比较熟练后,中间变量不必写出来,直接按锁链法则对复合函数求导.解例12.

已知,求解：例11.已知求解：例13.设为可导函数,且解：设注意：复合函数的求导关键是搞清复合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层。另解：五、隐函数的求导法则

如果联系两个变量和的函数式是由方程来确定的，这样的函数称为隐函数.隐函数的显化例如（显化）（不能显化）问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

直接从方程两边分别对x来求导,称为隐函数的求导法则.例14.y是由所确定的关于x的函数，解：两边同时对x求导，则最后得

例2-21

已知函数是由方程确定的.求和解方程两边分别关于求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有解得所以例16.已知y是由

所确定的x的函数，试求解：方程两边同时对x求导，得从而又由函数方程知所以由原方程得解出六、对数求导法

方法:

先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:例17.已知下列各函数，分别求其导数y’为任意实数)

解:

(1)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而

(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实数,有

(3)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得所以即特别地，当时，

1.基本初等函数的导数公式七、初等函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu

¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)或3.复合函数的导数八、高阶导数记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.例2-25已知指数函数(为常数),求解解:同理可得例2-28例2-24解:例21.y是由

所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导，得所以对上述等式两边再对x求导，得整理并将代入得主要内容

1.基本初等函数的导数公式

2.函数四则运算的求导法则

3.复合函数的导数

4.隐函数的导数

5.对数求导方法

6.高阶导数导数的几何意义为:函数可导一定连续,但连续不一定可导函数四则运算的求导法则推论反函数的求导法则定理2-1即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.复合函数的导数定理2-2

即

因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)或隐函数的求导法则

如果联系两个变量和的函数式是由方程来确定的，这样的函数称为隐函数.

直接从方程两边分别对x来求导,称为隐函数的求导法则.对数求导法

方法:

先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:基本初等函数的导数公式高阶导数记作三阶