数学建模-层次分析法-竞赛图省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第八章离散模型8.1层次分析模型8.2循环比赛名次y第1页离散模型离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、……分析社会经济系统有力工具只用到代数、集合及图论（少许）知识第2页8.1层次分析模型背景日常工作、生活中决议问题包括经济、社会等方面原因作比较判断时人主观选择起相当大作用，各原因主要性难以量化Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一个定性与定量相结合、系统化、层次化分析方法第3页目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法基本步骤例.选择旅游地怎样在3个目标地中按照景色、费用、居住条件等原因选择.第4页“选择旅游地”思维过程归纳将决议问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间关系用相连直线表示。经过相互比较确定各准则对目标权重，及各方案对每一准则权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决议问题定量结果。第5页层次分析法基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采取相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O主要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O权向量选择旅游地第6页成对比较不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致允许范围考查完全一致情况成对比较阵和权向量第7页成对比较完全一致情况满足正互反阵A称一致阵，如

A秩为1，A唯一非零特征根为n

A任一列向量是对应于n特征向量

A归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)成对比较阵A，提议用对应于最大特征根

特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量第8页2468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强显著强绝对强aij=1,1/2,,…1/9主要性与上面相反心理学家认为成对比较原因不宜超出9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例结构成对比较阵，算出权向量，与实际对比发觉，1~9尺度较优。便于定性到定量转化：成对比较阵和权向量第9页一致性检验对A确定不一致允许范围已知：n阶一致阵唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时，经过一致性检验Saaty结果以下第10页“选择旅游地”中准则层对目标权向量及一致性检验准则层对目标成对比较阵最大特征根

=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1经过一致性检验第11页组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）权向量为一样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)权向量方案层对C1(景色)成对比较阵方案层对C2(费用)成对比较阵…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第12页第3层对第2层计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可经过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第13页组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层权向量第3层对第2层各元素权向量结构矩阵则第3层对第1层组合权向量第s层对第1层组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成矩阵第14页层次分析法基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将相关原因自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各原因基本上相对独立。2）结构成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，结构各层对上一层每一原因成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若经过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决议定量依据。第15页二.层次分析法广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决议，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决议、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决议层参加。结构成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强教授给出。第16页国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择岗位例1国家实力分析例2工作选择第17页过河效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节约时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案抉择第18页过河代价A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水污染C8对生态破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案抉择第19页待评价科技结果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技结果评价例4科技结果综合评价第20页三.层次分析法若干问题正互反阵最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反应正互反阵靠近一致阵程度？怎样简化计算正互反阵最大特征根和特征向量？为何用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？第21页1.正互反阵最大特征根和特征向量性质定理1正矩阵A最大特征根

是正单根，对应正特征向量w，且定理2n阶正互反阵A最大特征根

n,

=n是A为一致阵充要条件。正互反阵最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理第22页2.正互反阵最大特征根和特征向量简化计算准确计算复杂和无须要简化计算思绪——一致阵任一列向量都是特征向量，一致性尚好正互反阵列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下平均。和法——取列向量算术平均列向量归一化算术平均准确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第23页根法——取列向量几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度

2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停顿；不然，k:=k+1,转2第24页3.特征向量作为权向量——成对比较多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与

aij相差尽可能小（对全部i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同第25页按不一样准则确定权向量不一样，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度aisasj~Ci经过Cs与Cj比较aij(2)

~2步强度更能反应Ci对Cj强度多步累积效应表达多步累积效应定理1特征向量表达多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反应Ci权重求Ak行和第26页4.不完全层次结构中组合权向量计算完全层次结构：上层每一元素与下层全部元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）方法贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4例:评价教师贡献层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素数目不等第27页不考虑支配元素数目不等影响仍用计算支配元素越多权重越大用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正若C1,C2主要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人主动性考查一个特例：第28页5.残缺成对比较阵处理mi~A第i行中

个数

为残缺元素辅助矩阵第29页6.更复杂层次结构递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。

更复杂层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。制动底盘车轮方向盘发动机减震装置刹车转向运行加速性能汽车行驶性能汽车1汽车2汽车n……例第30页层次分析法优点

系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合思维方式进行决议——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；

实用性——定性与定量相结合，能处理传统优化方法不能处理问题；

简练性——计算简便，结果明确，便于决议者直接了解和掌握。层次分析法局限

囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；

粗略——定性化为定量，结果粗糙；主观——主观原因作用大，结果可能难以服人。第31页层次分析法中新元素导入保序条件当决议环境发生改变时，层次分析法中递阶层次结构中元素有可能增加或降低。问题：假定原有元素两两比较判断不变，因为新元素导入或原有元素降低，单一准则下原有元素排序权值百分比是否改变？它们排序是否改变？在何种条件下可保持排序不变？强保序性：排序权值百分比关系不变弱保序性（保序）：排序保持不变第32页例：设有3个方案，它们判断矩阵和排序权向量为增加新方案，得到新判断矩阵及排序权向量新方案引入，使得方案次序发生了逆转。第33页若将判断矩阵A改为此时方案排序是原来相同。第34页结论：第35页8.2循环比赛名次

n支球队循环赛，每场比赛只计胜败，没有平局。依据比赛结果排出各队名次方法1：寻找按箭头方向经过全部顶点路径。123456312456146325方法2：计算得分：1队胜4场，2,3队各胜3场，4,5队各胜2场，6队胜1场。无法排名2,3队，4,5队无法排名6支球队比赛结果……第36页3队打败了得分较高球队（即强队）。考虑二级得分向量，即计算被它们打败球队得分之和。例：3队打败了1，2，4队，期得分总和为：4+3+2=9表明：3队是冠军，1队是亚军，。。。。，继续这个想法考虑三级得分向量第37页以这类推有各队名次排列有所波动。第38页

当竞赛图是双向连通而且最少有四个顶点时，上述向量会收敛于一个固定向量，这就给出了竞赛中排列名次一个方法。竞赛图：有向图中每对顶点之间都有一条边相连。双向连通：对于每一对顶点，存在两条有向路径（每条路径由一条或几条边组成），使两顶点能够相互连通，这种有向图称为双向连通。第39页双向连通竞赛图G=(V,E)名次排序邻接矩阵得分向量第40页对于n(>3)个顶点双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A满足Ar>0，A称素阵素阵A最大特征根为正单根

，对应正特征向量S，且用S排名第41页1234566支球队比赛结果排名次序为{1，3，2，5，4，6}第42页普通排名问题算法：（1）结构有向竞赛图G=(V,E)：将每个参赛者作为G一个顶点，即（2）将G全部双向连通分图排序为第43页（3）对G最少有四个顶点每一个双向连通分图，求其邻接矩阵最大特征值所对应特征向量。按照特征向量分量大小，依次定出该分图对应参赛者名次。对G仅有三个顶点双向连通分图，其对应参赛者名次并列。第44页例：V1V3V5V2V4连通子图：V4V1,V2,V3,V5第45页用竞赛图处理足球队排名问题：排名问题是依据各队相互比赛成绩排出一个尽可能反应各队真正实力一个次序。为此，我们提出以下一些基本标准：（1）一队排在另一队之前，不能只考虑这两队战绩，而应充分考虑这两队全部比赛场次成绩。（2）要充分考虑对手强弱原因。（3）假如两队之间因为种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就由这两队与其它队比赛战绩来确定它们强弱。第46页依据上述标准，据比赛成绩表，结构竞赛图以下：第47页依据建边情况，可建立矩阵第48页第49页第50页(4)参考上述方法得到邻接阵，得到竞赛图G.按照上述算法，经步骤（1）得到（5）针对竞赛图G，按照前述排名方