数学物理方法二-省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

1数学物理方法二李晟上海交通大学物理系.3第1页2课程要求网站：/lisheng助教：1201，缪晗李政道著物理学中数学方法

第一章,矢量与张量分析第二章,n维空间中线性代数第三章按正交函数系展开鲁滨著物理学中数学

第三章外微分形式小林昭七著曲线和曲面微分几何第2页主要内容矢量和张量分析平直或非平直空间中矢量张量坐标变换（正交变换与普通变换）微分与外微分曲线与曲面性质应用：曲面几何，广义相对论函数空间应用：量子力学，数理方程求解不讲述完整数学体系，重点在怎样使用第3页4经典物理学中矢量第4页5内容矢量分析坐标变换笛卡尔张量微分运算第5页6矢量分析矢量（广义）：现有大小又有方向量速度，加速度，动量。。。。几何表述：有向线段代数表示：有序数组标量（广义）：只有大小没有方向量能量，质量。。。。第6页7矢量空间定义域K：常见为实数域或复数域矢量空间V：矢量集合矢量分量取值于定义域K加法运算数乘法运算第7页8矢量空间满足运算规则：交换律结合律分配律存在零元0存在恒元存在逆元第8页9矢量空间维数和基若矢量空间中任一矢量均可用某组线性无关矢量组合表示，则这组矢量称为该矢量空间基，其中矢量个数称为该矢量空间维数第9页10线性无关对任意矢量，其用基组合表示是唯一证实：若设与线性无关矛盾第10页11存在无穷多组基线性无关保持，每组基个数不变第11页12内积（标量积、点乘●）两个矢量内积为标量交换律分配率Schwarz不等式第12页13正交归一基基若且则称为正交归一基第13页14单位正交矢量Kronecker

符号第14页15Einstein求和规则只能两个指标重复，不能三个或以上指标重复求和指标只要不和其它指标重复，可任意替换重复指标求和第15页16重复指标只能是成正确指标可随意调换第16页17外积（矢量积、叉乘x）两个矢量（三维）外积为矢量雅可比恒等式分配率反对称性第17页18外积几何外积大小对应于由俩矢量组成平行四边形面积外积方向由右手法则决定，垂直于俩矢量组成平面第18页19角动量、力矩。。。轴矢量，镜面反射改变手性第19页20三维矢量叉乘行列式表示第20页21三维Levi-Civita符号第21页22第22页23第23页24正交归一基上投影新基和旧基关系正交变换关系（基变换）第24页25变换矩阵正交变换：从正交归一基变换到正交归一基正交变换关系（基变换）第25页26变换矩阵正交变换关系（矢量变换）逆变换第26页27二维正交变换第27页28二维正交变换第28页29二维正交变换基变换关系第29页30二维正交变换矢量变换关系第30页31主动变换与被动变换被动变换：矢量没有动，坐标系变换主动变换：坐标系不动，矢量变换被动转动q角等价于主动转动-q角第31页32三维转动变换z0y0x0z’y’x’z0y0x0zyx

y0z0y’x0x’’

z’’y’’qyzy0x0zy’’x’’

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Eulerangle第32页33三维转动变换（进动）z0y0x0z’y’x’z0y0x0zyx

第33页34三维转动变换（章动）z0y0x0z’y’x’

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z’’y’’q第34页35三维转动变换（自转）y0z0y’x0x’’

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Eulerangle第35页36三维转动变换第36页37普通线性变换基变换基逆变换矢量变换矢量逆变换第37页38有大小方向量（有序数组），同时满足某种变换关系，则称为该变换关系下矢量例：牛顿力学认为时空矢量是伽利略变换矢量狭义相对论认为时空是Lorentz变换矢量严格矢量定义第38页39矢量内积列矩阵，行矩阵为矢量，方阵是什么？笛卡尔张量第39页40并积若某量有两个方向，称二阶张量深入要求其满足变换笛卡尔张量第40页41两个矢量并积为矢量但多数矢量不能表示为两个矢量并积两个矢量共2n个变量，一个二阶张量有n2个变量若方程数不够（n>2）笛卡尔张量第41页42对称张量反对称张量任意二阶方程都可分解成对称张量和反对称张量和笛卡尔张量第42页43为作用在三个面上力应力第43页44各向同性：系统对外场反应和外场方向相同且反应强度相同各向异性：系统初在外场方向有反应外还在其它方向有反应极化第44页45刚体角动量：转动惯量：转动惯量第45页三维二阶反对称张量三个独立变量可与一矢量对应46第46页47高阶张量：含有n个方向（指标）量，称n阶张量有多个方向量（有序数组），同时满足某种变换关系，则称为该变换关系下矢量笛卡尔张量是正交变换下张量严格张量定义第47页笛卡尔张量运算(I)线性组合：两个同阶张量和仍为该阶张量直积：一个m阶张量直积一个n阶张量为一个m+n阶张量48第48页笛卡尔张量运算(II)缩并：张量两个指标求和之后得到低二阶张量内积：一个m阶张量直积一个n阶张量后对属于原不一样张量两指标缩并后得到m+n-2阶张量49第49页笛卡尔张量运算(III)微商：张量导数为高一阶张量整体变换第50页笛卡尔张量运算(IV)定义（n小于空间维数）：外积：一个m阶张量直积一个n阶张量后反对称化（m+n小于空间维数）比如矢量叉乘51第51页笛卡尔张量运算(V)外导数运算：D称外微分算子标量外导数为梯度（矢量）矢量外导数为旋度（二阶张量）任何张量两次外导数运算为零52第52页三维欧几里德空间中微分运算直角坐标系下微分算子：标量导数为梯度（矢量）微分算子以内积方式作用于矢量称散度（标量）微分算子以外积方式作用于矢量称旋度（矢量）53第53页散度旋度意义散度不为零意味着有源：闭合曲面上某矢量通量等于该曲面包含空间内该矢量散度积分旋度不为零意味着矢量场闭合某矢量沿在闭合曲线上积分等于该矢量旋度在该曲线包围曲面上积分54第54页流守恒方程流出某区域量等于该区域内量降低积分形式微分形式55单位时间内流出S总量单位时间内V中量增加第55页三维欧几里德空间中微分运算直角坐标系下微分算子作用在其后全部变量上不能与所作用变量随意对换位置梯度旋度为零旋度梯度为零56第56页势标量势（无旋场必有标量势）矢量势（无源场必有矢量势）规范变换（势不是唯一）57第57页例：电动力学Maxwell方程矢量势静电场标量势普通情况58第58页两点间距离三维直角坐标系球坐标系59注意：该变换非线性变换第59页