工科数学分析 下册（第2版）课件：向量代数与空间解析几何

向量代数与空间解析几何工科数学分析空间直角坐标系空间点的直角坐标空间两点间的距离小结横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间点的直角坐标左边是左手坐标系，右边是右手坐标系，又称为标准坐标系或正值坐标系。Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点二、空间两点间的距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为解原结论成立.解设P点坐标为所求点为三、坐标轴的平移与平面解析几何相比，只是增加了一个式子。空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）三、小结作业P2,

3,4第二节向量及其线性运算工科数学分析向量及其加减法向量与数的乘法向量的概念向量的加减法向量与数的乘法小结向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或与同方向的单位向量可记作或零向量没有方向，或者说其方向是任意的自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量，叫做点M的向径.即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都是自由向量。[1]定义加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]定义减法三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系证充分性显然；必要性‖两式相减，得按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1

化简解例2

试用向量方法证明：对角线互相

平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结向量的坐标向量在轴上的投影与投影定理向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量的模与方向余弦的坐标表示式小结一、向量在轴上的投影与投影定理证于是空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影

数关于向量的投影定理（1）证定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）特别地，如果把上述向量a在轴上

的投影换成向量a在向量b上的投影,

可得到类似的概念与性质：二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标由例1知

向量在

轴上的投影

向量在

轴上的投影

向量在

轴上的投影按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：特殊地：向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式解为直线上的点，由题意知：#非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量为解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或解例4

设有向量21PP,已知221=PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3p和4p，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P的坐标.解向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）作业P7-8,

2,7,10,15,16第三节向量的乘积工科数学分析数量积向量积混合积两向量的数量积两向量的向量积向量的混合积小结启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.关于数量积的说明：证证数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：(3)若为数：若、为数：设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为解证力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。力和力臂的乘积叫做力对转动轴的力矩。即力对某一点的力矩的大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。

国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。常用的单位还有千克力·米等。

力矩能使物体获得角加速度，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。二、两向量的向量积实例定义关于向量积的说明：向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：证//////设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出补充解解三角形ABC的面积为解定义设混合积的坐标表达式三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：解例6解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意垂直、平行、共面的条件）四、小结作业P13-14,

1,5,9,10,12,13,14,15第四节平面的方程工科数学分析平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程有关平面的一些问题小结

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程平面的点法式方程

平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知点解取所求平面方程为化简得取法向量化简得所求平面方程为解由平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.三、有关平面的一些问题1、两平面的夹角（通常取）按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//例6

研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.解2、点到平面距离点到平面距离公式3、平面束设平面相交于一条直线L,过直线L可以做无数个平面，所有这些平面合在一起称为平面束。L经过直线L的平面束的方程为平面束（不包含）的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结平面束.作业P18,

6,9,10，11，12，14第五节空间直线的方程工科数学分析空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角点到直线的距离两直线共面的条件小结定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程或标准方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例1

用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程解所以交点为取所求直线方程定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：//直线直线例如，解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令LMN代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为LMN其平行于定义直线和它在平面上的投影直线的

夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//解为所求夹角．*点到直线的距离解LMA.如图，过点A做与直线L垂直的平面，与直线交于M,则所求距离即为d=AM.:方法较多解法一.所以所求距离解法二.LA.N.*两直线共面的条件设直线....解都相交的直线L.

例7求过点(1,1,1)

且与两直线空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）五、小结点到直线的距离.两直线共面的条件.作业P24,

7,9,11,

15,19第六节空间曲面与空间曲线工科数学分析空间曲面及其方程曲面方程的概念旋转曲面柱面椭圆锥面小结水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：一、曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。曲面方程的定义：以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为解根据题意有所求方程为根据题意有化简得所求方程解例4

方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．旋转过程中的特征：如图将代入将代入得方程解

圆锥面方程例6

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面单叶双曲面为双重直纹曲面的典型例子假如一个曲面上的任意一点均有两条不同的直线经过，那么称该曲面为双重直纹曲面（英语：DoublyRuledSurface）。双曲抛物面和单叶双曲面即为双重直纹曲面的典型例子。对于曲面上每个点均有三条或更多的直线经过的曲面，可称为三重和多重直纹曲面。在三维欧几里得空间中，除了平面以外，不存在这样的直纹曲面。旋转椭球面旋转抛物面播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴**锥面椭圆锥面c.二次锥面曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).四、小结椭圆锥面的概念(母线、准线).空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影柱坐标系和球坐标系小结空间曲线的一般方程

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程例1

方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例2

方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程

动点从A点出发，经过t时间，运动到M(x,y,z)点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线例4

求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在面上的投影为（3）同理在面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.截线方程为解如图,补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面例6解半球面和锥面的交线为一个圆,四、柱坐标系和球坐标系柱坐标系球坐标系空间曲线的一般方程、参数方程．五、小结空间曲线在坐标面上的投影．柱坐标系和球坐标系．Taubin'sheartsurface/中输入

heartcurve,anatomicalheartcurve

作业P31-32,

1,3,6,7,8,10第七节二次曲面工科数学分析二次曲面基本内容小结二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．一、基本内容（一）椭球面

椭球面与三个坐标面的交线：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.由椭圆绕轴旋转而成．球面截面上圆的方程方程可写为（二）抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕z轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo品客薯片（三）双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.截痕为一对相交于点的直线.（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.单叶双曲面---每一根丝线都是直线。曲面的每一点，都有两根包含于曲面的直线经过。所以表示出单叶双曲面是个双重直纹曲面.双叶双曲面xyo椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）二、小结作业P34-35,

1(3),2(4).第八节综合例题工科数学分析空间解析几何与向量代数习题课主要内容典型例题一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念（一）向量代数1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、(1)加法：2、向量的线性运算(2)减法：(3)向量与数的乘法：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式5、向量积(叉积、外积)向量积的坐标表达式//6、混合积直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面