2025版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示高效演练分层突破文新人教A版

PAGEPAGE1第2讲平面对量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为()A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ1＋λ2＝－1，,λ1＋3λ2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝1.))故选B.2．(2024·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－3 D．3解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－eq\f(1,3).故选B.法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，故由a与b共线可得，eq\f(1,－3)＝eq\f(－λ,－1)，解得λ＝－eq\f(1,3).故选B.3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若点E满意eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))解析：选A.易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).4．(2024·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝．解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.答案：26．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为．解析：设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝．解析：选择eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作为平面对量的一组基底，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．解：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→))＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．点M在其次或第三象限⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t2＜0，,2t1＋4t2≠0，))解得t2＜0且t1＋2t2≠0.故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4t2，4t2＋2)．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，4)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，M三点共线．[综合题组练]1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0) B．(0，－2)C．(－2，0) D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．2.给定两个长度为1的平面对量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝|xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))|2＝x2＋y2＋2xyeq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为eq\r(2).3．设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－a，2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为．解析：由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a＋2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋2，－4)，因为A，B，C三点共线，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋2＝λ（b＋2），,－2＝－4λ，))整理得2a＋b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(2a,b)＋\f(b,a)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(2a,b)·\f(b,a))))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)(当且仅当a＝2－eq\r(2)，b＝2eq\r(2)－2时等号成立)．答案：eq\f(3,2)＋eq\r(2)4．(2024·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设eq\o(AW,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，则2λ1＋λ2＝．解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．依据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，eq\r(3))．依据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)．易知线段AC中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，直线AC的斜率为－eq\r(3)，故线段AC的中垂线l的斜率为eq\f(\r(3),3)(如图所示)，方程为y－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))).令x＝2，解得y＝eq\f(4\r(3),3)，故Weq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,3)\r(3))).由eq\