2025届甘肃省高三下学期3月月考数学试卷

2025年甘肃省高三月考试卷(3月)数学本试卷满分150分,考试时间120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数-1+1-a2iA.a>-1B.a<-1或a2.设集合A={x∣y=A.RB.{-1,0,3.某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力,设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W0单位:mg/L,测得污水通过长度为l(单位:m)l0123WW0.5W0.25W0.125研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是A.W=W0+0.5lB.4.高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动,答题后随机抽取22名男生和18名女生,计算得男生的平均得分为82分,女生的平均得分为80分,则估计本次比赛高一年级的总体均分为A.81.8B.81.5C81.1D.80.85.从1-9这9个数字中任意取出3个数,组成一个没有重复数字的三位数,从百位到个位数字依次增大,则满足条件的三位数的个数是A.84B.120C.504D.7206.若α∈0,π4A.210B.-210C.7.已知梯形ABCD中,AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CDA.0,17B.-18.已知A是抛物线y2=16x上一点,F为抛物线的焦点,直线x4+yb=1与y轴交于点P,PF⋅PA=0,A.b24+b2B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知双曲线方程为x29-A.双曲线的渐近线方程为yB.双曲线的离心率是7C.双曲线的虚轴长是8D.双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为610.函数fx=2A.fx的最小正周期是B.fx的值域是C.fx的图象是轴对称图形,其中一条对称轴是D.fx的零点是11.若自变量x表示时间,在长为定值T的时间周期u,u+T中,函数gu=fA.若fx=3x,x∈0B.若fx=3x,x∈C.若fx=3x2,xD.若fx=lnx,x∈1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.用一个平面截正方体,截面形状为正六边形,则截出的两部分几何体的体积之比是_____.13.已知等差数列an的前n项和为Sn,S5=20,S7=56,14.如图,甲、乙两人在这段弧形路段跑步,该路段的内、外弧线为两个同心圆的14圆周,内弧半径为12米,路宽为3米,两人均从外弧A点处跑入该路段,甲沿内弧切线方向跑至切点C,又沿内弧CB跑至点B处后跑出该路段,乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上D点处,再沿外弧DE跑至点E处后跑出该路段,则在该路段跑动距离更短的是_____(填“甲”或“乙”),两人跑动距离之差的绝对值约为_____米.(结果精确到0.1米,参考数据:sin四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性,某小组通过随机抽样,获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分,绘制了如图1,2的频率分布直方图,并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.图1每天整理错题学生的平均分分布图2未每天整理错题学生的平均分分布(1)依据频率分布直方图,完成以下2×2成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题未每天整理错题合计(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,附:χα0.100.010.001χ2.7066.63510.82816.(15分)正四面体P-ABC的三条棱PA,PB,PC是圆锥PO的三条母线,点A,B,C在圆锥PO的底面内,过PA且与圆锥PO(1)求证:BC⊥平面PAD(2)求平面PBD与平面PAB所成角的余弦值.17.(15分)数列an满足an+12=1an,(1)求证:数列bn是等比数列,并求其通项公式(2)若数列cn满足cn=lnan,Sn是数列cn的前n项和,对∀18.(17分)设O为坐标原点,点P2,4,A,B为椭圆x2(1)证明:向量m=1,4是直线(2)若线段OP与椭圆交于点Q,求△ABQ面积的最大值19.(17分)函数fx(1)r≠1时,判断fx(2)若θ∈0,π2,判断2cos2θ与(3)证明:对于任意的n∈N*,θ2025年甘肃省高三月考(3月)数学试题答案及评分参考一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CBDCACDB3.本题改编自湘教版必修第一册152页第17题.4.本题改编自湘教版必修第一册244页例7.5.本题改编自湘教版选择性必修第一册183页第9题.6.本题改编自湘教版必修第二册76页第11题.7.解析:如图所示建立平面直角坐标系,则A-2,设Mx则AM=x+cos令x2-1=tcosα=tt2+故选D.8.解析:可知F4,0,P0,b,则PA=∴PF∴PB//x轴,∴∠BPF=∠PFO,而∠APB+∠BPF=90∴cos∠APB=sin∠PFO=OP故选B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。题号91011答案CDABDAD11.本题改编自湘教版必修第一册106页指数增长的概念.解析:对于函数fx=3x,x∈0,+∞,gu=3u+T-3u3u=Tuu>0对于函数fx=3x,x∈0,+∞,gu=3u+T-3u对于函数fx=3x2,x∈0,+∞,gu=3u+T2-3u对于函数fx=lnx,x∈1,+∞,gu=lnu+T-lnulnu=lnu+Tlnu-1u>1,∴g'u=1u+Tlnu-1u三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.113.n2-5n13.本题改编自湘教版选择性必修第一册51页第8题.14.解析:连接OC,可知OC⊥AD,∠AOC=∠DOC,AC=DC,在Rt△AOC中,cos∠AOC=OC∴∠AOC≈37∴BC的长为12×90-37π∵AD=2AC=18,DE的长为15×所以甲跑动的距离更短,少跑2.4米.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)解:(1)根据频率分布直方图,可得9分成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题14620未每天整理错题51520合计192140(2)假设H0:数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关计算可得χ根据小概率值α=0.01的独立性检验,可推断H0不成立,即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.16.(15分)解:(1)∵平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC,∴PO⊂平面PAD,且O∈AD.又∵BC⊂平面ABC,∴PO⊥BC,∵△ABC为正三角形,∴AD⊥BC,∵PO⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PO∩AD=O,∴BC⊥平面PAD;6分(2)设AD∩BC=M,则M是BC的中点.以O为坐标原点,BC的平行线为x轴,AD为y轴,OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正四面体的棱长为1,则A0,-3设平面PAB的法向量为m=则m⋅取平面PAB的一个法向量为m=3设平面PBD的法向量为n=则n取平面PBD的一个法向量为n=1设平面PAB与平面PBD所成角为θ,∴cosθ即平面PAB与平面PBD所成角的余弦值为3333.1517.(15分)解:1∵an+12∴lna∴数列lnan是以ln2为首项,-∴lnan∴lna∴bn+1bn=∴数列bn是以ln2为首项,14∴bn(2)由(1)可知,cn∴S∴S由于对∀n∈N*,S2n<k18.(17分)解:(1)由于点P2,4在椭圆外,AOP=λOA+OBλ∈R,则OP设Ax则x12+2y即y1-y2x1-x2=-所以直线AB的斜率为y1故直线AB的一个方向向量为1,-14,从而m=1,4为直线(2)由x由(1)可知,直线AB的斜率为-14,设直线AB方程为由x2+2y2∴∴-32<m<0,∵∴AB由于Q到直线AB的距离d=2所以SΔABC令t=3-2 m,则3+2 m=令ft则f'∴0<t<92,且t≠3时∴当t=92,即m=-34时,SΔABC19.(17分)解:(1)由于f当r>1,x∈-1,0故当r>1时,函数在(-1,0)为减函数,在0,+∞同理,当0<r<1时,函数在(-1,0)为增函数,在0,+∞为减函数(2)由(1)可知,当0<r<1时,fx≤令x=cos2θ,r=1n,由于θ∈0可得2cos2θ1n≤当且仅当θ=π4