重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（原卷版）

重难点专题14利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：垂面法题型四：射影面积法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法【例1】（2025·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.【变式1-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．若，求平面与平面所成的二面角的大小．【变式1-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求：(1)二面角平面角的度数；(2)二面角平面角的度数．【变式1-3】（2025·高一·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.题型二：三垂线法【例2】（2025·高一·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）．(1)证明：平面ABE；(2)当时，求二面角的余弦值．【变式2-1】（2025·高三·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，.(1)若，证明：∥平面；(2)若，且二面角的余弦值为，求.【变式2-2】（2025·高一·广西贺州·阶段练习）如图，在多面体中，平面是边长为2的等边三角形．

(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【变式2-3】（2025·高一·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求二面角的余弦值.题型三：垂面法【例3】（2025·高二·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.

(1)求点C到平面的距离.(2)求二面角的余弦值.【变式3-1】（2025·高一·江苏苏州·阶段练习）在三棱台中，，，且平面平面．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．题型四：射影面积法【例4】（2025·高一·吉林长春·期末）在四棱台中，，平面平面，，，，.

(1)求证：平面；(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.【变式4-1】（2025·高二·广东广州·期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【变式4-2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．题型五：补棱法【例5】（2025·山东淄博·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．(1)证明：直线平面；(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．【变式5-1】（2025·高一·福建福州·期末）在四棱锥中，四边形为矩形，平面为垂足，，平面．(1)证明：为等腰三角形．(2)若为等腰直角三角形．设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值．【变式5-2】（2025·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；（2）设，求二面角大小的取值范围.

【过关测试】1．（2025·高一·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，.(1)若为的中点，证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.2．（2025·高一·福建福州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点.(1)求证:平面；(2)求点到平面的距离；(3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值.3．（2025·高一·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.(1)求证：平面；(2)求侧面与底面所成二面角的正弦值.4．（2025·高一·广西北海·期末）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.5．（2025·高一·甘肃兰州·期末）如图，正方体的棱长为2.

(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.6．（2025·高一·广东惠州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.(1)求证：平面.(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值.7．（2025·高一·黑龙江大庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，．(1)求证：；(2)求二面角的正弦值．8．（2025·高一·贵州黔西·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求的长度.(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.9．（2025·高一·河北张家口·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.(1)证明：；(2)证明：平面；(3)当MA为何值时，二面角的余弦值为．10．（2025·高一·天津滨海新·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.11．（2025·高一·湖南株洲·期末）如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.12．（2025·高一·广东韶关·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.(1)求证：平面(2)求证：平面平面(3)若，求二面角的余弦值.13．（2025·高一·甘肃白银·期末）如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，.(1)证明：平面平面.(2)求二面角的大小.14．（2025·高一·吉林长春·期末）已知在平行四边形中，是边上一点，且满足，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．如图：(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．15．（2025·高一·湖北咸宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为.(1)求证：面；(2)当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值.16．（2025·高一·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．

(1)求证：平面；(2)求与底面所成角的正切值；(3)设平面平面，求二面角的大小．17．（2025·高一·吉林白山·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求平