重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（解析版）

重难点专题14利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：垂面法题型四：射影面积法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法【例1】（2025·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.【解析】（1）因为，为的中点，所以，又平面，则，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）①由平面，则直线与平面所成角为，则，由，为的中点，所以，则，所以，由平面，所以，所以；②在平面内作于，连接，由，又，平面，所以平面，所以，则为二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，所以在三角形中，，所以，则，同理，而，所以，即二面角的大小为.【变式1-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．若，求平面与平面所成的二面角的大小．【解析】因为，不在平面内，平面，平面，平面，平面平面，，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，，，平面，平面，为平面和平面所成二面角的平面角，因为平面，平面，所以，，所以．【变式1-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求：(1)二面角平面角的度数；(2)二面角平面角的度数．【解析】（1）平面，面，，，为二面角的平面角．四边形是正方形，，二面角平面角的度数为90°．（2）平面，面，，．为二面角的平面角．四边形为正方形，．即二面角平面角的度数为45°．【变式1-3】（2025·高一·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则，因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即，又平面且，所以平面，而平面，则平面平面.（2）设，则，.取的中点，则，，作，垂足于，则，即，进而，所以.因为分别是的中点，连接，所以，又，.由，可知，是二面角的平面角.所以.故二面角的余弦值为.题型二：三垂线法【例2】（2025·高一·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）．(1)证明：平面ABE；(2)当时，求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，，因为，故．所以在折叠后的几何体中，有，，而，平面，故平面ABE．（2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G．在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH．因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD，故平面EBCF，因为平面EBCF，故，而，故平面DGH，又平面DGH，故，所以为二面角的平面角，在平面AEFD中，因为，，故，又在直角梯形ABCD中，且，故，故四边形AEGD为平行四边形，故，，在直角中，，因为为三角形内角，所以为锐角，，，解得，故，故，因为三角形内角，故为锐角，，，解得，所以二面角的平面角的余弦值为．【变式2-1】（2025·高三·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，.(1)若，证明：∥平面；(2)若，且二面角的余弦值为，求.【解析】（1）因为底面，且底面，则，又因为，，平面，可得平面，由平面，所以，因为，，，即，可得，则∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）若，设，则，过作，垂足为，过作，垂足为，连接，可得，，因为底面，且底面，则，且，则，可得，因为底面，且底面，则，且，平面，可得平面，由平面，可得，且，平面，可得平面，由平面，可得，可知二面角的平面角为，则，可得，，则，即，可得，整理可得，解得或（舍去），且，则，所以.【变式2-2】（2025·高一·广西贺州·阶段练习）如图，在多面体中，平面是边长为2的等边三角形．

(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，由于平面平面,故，，，，平面，平面，又，,故，四边形为平行四边形，，平面，平面，故平面平面（2）连接，过在平面内作的垂线，垂足为连接．平面，平面,，又，，平面，平面，平面，故,又，平面，平面，平面，故,为二面角的平面角，，，,故在直角中，,故．二面角的平面角的余弦值为【变式2-3】（2025·高一·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求二面角的余弦值.【解析】（1）连接，，，又为的中点，，，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面，（2）平面，，是的中点，，又，平面，平面，又因为平面，，在正方形中，､分别为棱､的中点，，平面，平面，又平面，平面平面.（3）由（2）知平面，平面，平面平面平面，且平面平面，，设与交于点，则平面，过作垂直，连接，则，为二面角的平面角，令，则，，，又因为，，为的中点，，在直角三角形中，，由图知，为锐角，，由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补，故二面角的平面角的余弦值为.题型三：垂面法【例3】（2025·高二·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.

(1)求点C到平面的距离.(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）由题设，面面，面，面面，所以面，面，故，即，所以，而，，中上的高，故，令点C到平面的距离为，又，且，到面的距离为正三角形的高，所以，可得，故点C到平面的距离为.（2）由，面面，面，面面，所以面，面，故，则，又，故为等腰三角形，则上的高为，令到的距离为，则，由（1）知：点C到平面的距离为，若锐二面角为，则，故，所以二面角的余弦值为.【变式3-1】（2025·高一·江苏苏州·阶段练习）在三棱台中，，，且平面平面．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，故，中点为，连接，，则，，，则，，，故四边形为矩形，，，，故，即，，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）设，连接，平面，面，故，又因为，所以二面角的平面角为，，，平面，平面，所以，在中，，解得，从而，故二面角的正弦值为.题型四：射影面积法【例4】（2025·高一·吉林长春·期末）在四棱台中，，平面平面，，，，.

(1)求证：平面；(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.【解析】（1）连接，因为，，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（2）延长，做，交于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，做平面，垂足为点，连接，设，则得为矩形，，因为，所以四边形为平行四边形，可得，可得，即，四边形是正方形，因为，所以，，可得，取中点，连接，则，则平面，，做，连接，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，可得即为平面与平面的二面角的平面角，，，，所以，可得，，所以，可得，所以平面与平面的夹角的余弦值为.【变式4-1】（2025·高二·广东广州·期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，所以，又因为是圆柱的一条母线，所以底面，而底面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为，所以平面平面；（2）如图所示，过作圆柱的母线，连接，因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，因为是圆柱的母线，所以平面，又因为为上底面的直径，所以，而平面，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，又因为在底面射影为，所以，，所以，又因为母线长为，所以，又因为平面，平面，所以，所以,所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【变式4-2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．【解析】因为平面平面，所以，又，且，平面，所以平面，同理平面，所以在平面上的射影为．设平面与平面所成二面角为，所以，所以．故平面与平面所成二面角的大小为．题型五：补棱法【例5】（2025·山东淄博·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．(1)证明：直线平面；(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，在正方体中，且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，又因为且，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，因为且，故四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.（2）延长、交与点，连接，则直线即为直线，因为且，为的中点，则，故点为的中点，为的中点，在中，，，，由余弦定理可得，则，，则，过点在平面内作直线，垂足为点，连接，，所以，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，故二面角的平面角为，且，故点到直线的距离为，，因此，二面角的平面角的余弦值为.【变式5-1】（2025·高一·福建福州·期末）在四棱锥中，四边形为矩形，平面为垂足，，平面．(1)证明：为等腰三角形．(2)若为等腰直角三角形．设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中点，连接，，，因为为的中点，所以．又平面，平面，所以平面．因为平面，，平面，所以平面平面．因为平面平面，平面平面，所以．因为，所以．由平面，平面，可得．又，平面,所以平面，平面,从而．因为是的中垂线，所以．（2）延长交于点，连接，由平面，平面，则，因为∥，平面，平面，则∥平面，且平面，平面平面，则∥，即∥∥，因为为等腰直角三角形．则，且，且，可得，则，又因为为矩形，则，可知∥，则为矩形，则，可得，，由（1）可知：，则，且，，平面，则平面，且平面，可得，即，可知即为二面角的平面角，可得，所以二面角的余弦值为.【变式5-2】（2025·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；（2）设，求二面角大小的取值范围.【解析】（1），平面，平面，平面，又平面，平面与平面的交线为l，所以，而l平面，平面，所以l平面；（2）设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，FB，如图：由（1）知，BDAC，而，所以，所以平面，所以，而，所以平面PBC，又FB平面PBC，所以，所以就是二面角的平面角，因为，点F是的中点，所以，故，注意到，所以，所以，因为，所以，所以二面角大小的取值范围为.

【过关测试】1．（2025·高一·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，.(1)若为的中点，证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）取的中点，连接，因为为的中点，所以，且，又底面是一个直角梯形，，，所以，，故，，四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，又⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故即为二面角的平面角，又，所以，故二面角的余弦值为.2．（2025·高一·福建福州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点.(1)求证:平面；(2)求点到平面的距离；(3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值.【解析】（1）在正方形中，,又侧面底面，侧面底面,平面，所以平面，又平面，所以，因为是正三角形，是的中点，则，又平面，所以平面;（2）取的中点分别为，连接，在正中，，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，，所以为等腰直角三角形，，设到平面的距离为，，所以，即到平面的距离为.（3）取的中点分别为，连接，则，所以，在正中，,因为平面,则平面,在正方形中,，故平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，由平面，则平面，又平面.所以，正方形的边长，则，所以，则，故侧面与底面所成二面角的余弦值为.3．（2025·高一·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.(1)求证：平面；(2)求侧面与底面所成二面角的正弦值.【解析】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以，又底面是正方形，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面，所以平面.（2）如图，取的中点的中点，连接，因为是正三角形，所以又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，平面，故，由题意可知平面，故平面平面故，故为平面PCD与面所成二面角的平面角，设，则，，所以.综上所述：侧面PCD与底面所成二面角的正弦值为.4．（2025·高一·广西北海·期末）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）因为是等边三角形，点是的中点，，所以，且，点分别是的中点，所以，中，，且，，所以，，所以，即，且，且平面，所以平面，平面,所以平面平面；（2）中，，，，，所以，过点作，因为平面平面，且平面平面；所以平面，作，连结，因为平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，则为二面角的平面角，中，，中，，所以，，所以二面角的余弦值为.5．（2025·高一·甘肃兰州·期末）如图，正方体的棱长为2.

(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）在正方体，且，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵在正方形ABCD中，设，连接，∴，，∵中，，∴为等腰三角形，∴，∴即为二面角的平面角，∵在中，，∴，即二面角的正弦值为.6．（2025·高一·广东惠州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.(1)求证：平面.(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值.【解析】（1）在等边中，因为为的中点，所以，在正方形中，，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为,平面，所以平面.（2）取的中点，连接.则，又正方形中，，所以,在等边中，因为为的中点，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角.设，则，所以.7．（2025·高一·黑龙江大庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，．(1)求证：；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）设，连接，由平面，平面，得，因为，，，分别为的中点，所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以，因为分别是的中点，所以，已知平面，平面，所以平面平面，又，为中点，则，而平面平面，平面，所以平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）在平面内过点作，交延长线于，连接，则，因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，因为平面，所以，在中，，是的中点，所以，因为，，平面，，所以平面，由平面，所以，所以是二面角的平面角，设，则，由得，，在，，所以，所以二面角的正弦值．8．（2025·高一·贵州黔西·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求的长度.(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.【解析】（1）连接，则，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又正方形的边长为，∴，；（2）取的中点，连接，∵，∴，，为二面角的平面角，∴，由题可知与全等，在中，，，，∴，∴，∴.9．（2025·高一·河北张家口·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.(1)证明：；(2)证明：平面；(3)当MA为何值时，二面角的余弦值为．【解析】（1）菱形中，，平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以.（2）在平面内过点作于，平面平面，平面平面，则平面，而平面，于是，又平面，平面，则，而平面，因此平面，又，所以平面.（3）由（2）知平面，平面，则，菱形为正方形，由平面，平面，得，过作于，连接，，而，则≌，有，于是≌，则，即，是二面角的平面角，令，，，而，在中，由余弦定理得：，解得，所以当的值为时，二面角的余弦值为．10．（2025·高一·天津滨海新·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.【解析】（1）直线EF就是直线，根据正方体的性质知，∵平面，平面，∴平面；（2）根据正方体的性质得，∵，平面，∴平面，∵平面，∴；（3）平面就是平面，平面就是平面，∵平面与平面固定，∴二面角的大小是定值，设，，∵，是的中点，∴，根据正方体的性质可知，，∴里二面角的平面角，在直角中，，∴.∴二面角的余弦值为.11．（2025·高一·湖南株洲·期末）如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）设为的中点，由题意得平面，∵平面，，，为的中点，，∵，平面，故平面，由，分别为，的中点，得且，从而，四边形为平行四边形，故，又平面，平面；（2）作，且，连结，由，，得，由，，得≌，由，得，因此为二面角的平面角，由（1）得平面，平面，所以，由，，，得，故，由余弦定理得，，所以.12．（2025·高一·广东韶关·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.(1)求证：平面(2)求证：平面平面(3)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为为棱的中点，所以，，又，，为的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，（3）取的中点，连接，因为为的中点，所以，又，所以，又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值为．13．（2025·高一·甘肃白银·期末）如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，.(1)证明：平面平面.(2)求二面角的大小.【解析】（1）由于底面是直角梯形且，所以由得，因为底面，平面，所以，而，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，平面，所以，又因为，所以是二面角的平面角.由得，而，即，所以在梯形中，由可得，所以在直角中，，而，所以，即二面角的大小为.14．（2025·高一·吉林长春·期末）已知在平行四边形中，是边上一点，且满足，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．如图：(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【解析】（1）依题意，，，而，平面，则平面，平面，于是，又，平面，因此平面，平面，则，平面，则平面，平面，所以平面平面；（2）过点作交于，由（1）知，平面，则平面，而平面，则，过作于，连接，由平面，则平面，又平面，于是，是二面角的平面角，由（1）知二面角是直二面角，它被半平面分成两个二面角，因此二面角的大小等于，令，而，则，，，于是，而，则，因此所以平面与平面夹角的余弦值是.15．（2025·高一·湖北咸宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为.(1)求证：面；(2)当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值.【解析】（1）证明：面面，，又面面，在面内，，底面是正方形，，又面面.（2）因为平面，平面，所以，设，设四棱锥的外接球的半径为，则（当且仅当，即取等号）.可得，故.过作交于，连接，由，则故为平面与平面所成的二面角的平面角.由（1）知面，面，故.在中，可得，由等面积可得又，平面与平面所成二面角的余弦值为.16．（2025·高一·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．

(1)求证：平面；(2)求与底面所成角的正切值；(3)设平面平面，求二面角的大小．【解析】（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，所以，因为底面为正方形，所以，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，、平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，因为侧面是正三角形，所以，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，所以即为与底面所成角，设正方形的边长为，则，，在中，，所以与底面所成角的正切值为．（3）因为，平面，平面，所以平面