重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）（解析版）

重难点专题12利用几何法求异面直线所成的角【题型归纳目录】题型一：利用中位线平移题型二：利用四边形平移题型三：补体法题型四：平移两次【方法技巧与总结】异面直线所成的角①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．②范围：=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．【典型例题】题型一：利用中位线平移【例1】（2025·高二·山东济宁·期中）在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于是的中点，取的中点，连接，则，则或补角即为异面直线与所成的角．可设，由于、、两两垂直，且均相等，则，，，即有，，，则有．故选：A．【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D． 【答案】A【解析】如图,取的中点,取的中点,连接则,且,,则就是异面直线与所成的角或其补角．易知平面,所以平面,所以.因为,,所以,所以由勾股定理得,又,,所以在△中,由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为．故选:A．【变式1-2】（2025·高二·河北·学业考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设为的中点，连接，由正方体的性质可得则四边形为平行四边形，故，而为所在棱的中点，故，故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角，设正方体的棱长为2，则，故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为，故选：C.【变式1-3】（2025·高一·四川成都·期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取线段中点，因为点为中点，所以，所以异面直线与所成角为，不妨设正四棱锥的所有棱长均为2，则，，所以.故选：D.题型二：利用四边形平移【例2】（2025·四川·模拟预测）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设正四棱台的高为，连接，作交于点，作交于点，连接，则为异面直线与所成角或其补角.因为，且正四棱台的体积为，即，所以，即，则，，，，，所以.故选：D.【变式2-1】（2025·高一·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（

）A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】C【解析】连接,因为且，所以四边形为平行四边形，所以，即或其补角是异面直线与所成的角.在正方体中，即是等边三角形，所以.故选：C【变式2-2】（2025·高一·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如图，取的中点，连接、，易知，所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为，则，，，因为，所以为直角三角形，所以即异面直线与所成角的余弦值为.故选：.【变式2-3】（2025·高一·福建福州·期末）已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，过点作交底面圆于点，连接，因为是弧的中点，所以四边形为正方形，，故或其补角为与所成的角，设，则，由勾股定理得，，又，故⊥，又，故，故，与所成的角为.故选：C题型三：补体法【例3】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正方体上面补上一个正方体，易证为与AB所成的角．设【变式3-1】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题给夆件，可以PA、AB、BC为棱将原图补成正方体，显然，正方体崍长为1，则体对角线，即为所隶异面直线的平面角，，故选．【变式3-2】（2025·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为平面平面，平面所以，，又，所以两两垂直，将三棱锥置于一个长方体中，如图所示，易知，所以直线与所成角即为与所成角为（或其补角），由题意可知，，在中，由余弦定理，得，所以直线与所成角的余弦值为.故选：D.【变式3-3】（2025·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.【答案】/【解析】在长方体的上方补一个全等的长方体，所以，由长方体的性质可知：直线，因为，，点为线段的中点所以，，，所以，所以，异面直线与BF所成角的余弦值为.故答案为：题型四：平移两次【例4】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点，连接，，可知，，且，，则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角．因为，在中，．且，可得，则，所以．故选：A.【变式4-1】（2025·高一·安徽黄山·期末）中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】过点作交于点，所以，因为为线段上靠近点的四等分点，，所以，，而，所以，而是中点，所以，在三角形中，，由余弦定理有，由于，点是中点，所以，由折叠关系可知，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，因为，，所以，在三角形中，，由余弦定理有，因为，所以异面直线与所成角的大小等于，故所求为.故选：A.【变式4-2】（2025·高一·河南新乡·期末）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为．【答案】【解析】如图，在正方体中，取的中点G，连结FG,GE,可知，则异面直线EF与所成的角为∠EFG或其补角．设正方体的棱长为2，则，，，．故答案为：【变式4-3】（2025·高一·福建三明·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道.则为直线与所成角或补角.连接，.根据正方体性质，知道．在中，余弦定理知道，,则直线与所成角的余弦值为.故选：C．

【过关测试】1．（2025·高一·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中点，连接、，矩形中，，可得因此正三棱柱中，平面平面平面平面，,平面，直线平面，平面，可得，平面，平面，平面，因此可得，即与所成角的大小为，故选：B．2．（2025·高一·全国·课后作业）已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，则直线与直线BD所成的角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接，底面ABCD是菱形，．，，平面，平面，平面，故直线与直线BD所成的角的大小为．故选：A．3．（2025·高一·河北唐山·期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，由是棱的中点，得，则为异面直线与所成的角（或其补角），在中，，，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D4．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以的外接圆的半径，又三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上.设该球的半径为，所以，解得，又平面，所以，即，解得，又平面，将三棱锥放入正方体中，易得，所以与所成的角为（或其补角），又易得为等边三角形，所以，即与所成角的余弦值为.故选：C.5．（2025·高一·安徽亳州·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设正四棱锥的高为，则，，所以.设正四棱锥的底面中心为，连接，，则，所以直线与所成的角为，且连接，由题可得，，，所以，所以，故A正确.故选：A6．（2025·高一·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，不妨设，易得，，在中，由余弦定理得，所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．故选：A．7．（2025·高一·陕西商洛·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接，设正方体棱长为，因为，所以四边形为平行四边形，所以，则为异面直线与所成角或其补角，由所以.故选：B8．（2025·高一·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设为底面中心，为上底面中心，易得，所以异面直线与所成的角就是或其补角，设正方体的棱长为，可得，，，由余弦定理得：，所以，异面直线与所成的角是，故选：C.9．（2025·高一·四川成都·期末）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点，连接，不妨设，因为，所以，所以，由题意，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.10．（2025·高一·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：如图，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，从而，，故，即异面直线与所成角的余弦值是；法二：如图所示，取中点，连接，，，，由正方体可知，则异面直线与所成角即为直线与所成角，设，则，，由正方体可知，平面，即，，则，在中，由余弦定理，则直线与所成角的余弦值为，即异面直线与所成角的余弦值为，故选：C.11．（2025·高一·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别取的中点，连接，由正方体的性质知：，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线EF与GH所成的角（或其补角）即为与所成的角（或其补角），即为，设正方体的棱长为，，，所以，所以异面直线EF与GH所成的角为.故选：C.12．（2025·高一·天津·期末）在直三棱柱中，为侧棱的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，即，则直三棱柱为正方体的一半，如图，取的中点，连接，根据正方体性质，可知则则为异面直线与所成角或其补角，在中，，所以.故选：C13．（多选题）（2025·高一·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（

）A．平面B．平面C．异面直线与所成角为D．平面截正方体所得截面的面积为18【答案】ACD【解析】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，取的中点，连结，因为，，，所以,则，不满足勾股定理，所以不垂直于，则不垂直于平面，所以不垂直于平面，故B错误；对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为，所以异面直线与所成角为，故C正确；D.连结，所以四点共面，四边形是平面截正方体所得截面，如图，四边形是等腰梯形，，，作于，则，所以四边形的面积，故D正确.故选：ACD.14．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（

）A．平面 B．平面C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于【答案】ABD【解析】对于A，连接，交于，连接、，则由正方体性质可知且，所以四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以，由正方体性质有、平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，平面，所以平面，故平面，故B正确；对于C，由正方体性质可知，又平面，所以平面，又平面，所以，，又所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误；对于D，因为，所以为异面直线与所成的角，由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确.故选：ABD.15．（多选题）（2025·高一·贵州六盘水·期末）如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（

）A．平面 B．平面C．四点共面 D．与所成的角为【答案】ABC【解析】对于A，在正方体中，连接,因为分别是的中点，所以，又平面，平面，因此平面，A正确；对于B，在正方体中，平面，面，所以，因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，由面，则，分别是的中点，有，所以；在正方体中，平面，面，所以，因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，由面，则，又，所以，又因为是平面内两条相交直线，则平面，B正确；对于C，由上可知，两条平行线可以确定一个平面，所以四点共面，C正确；对于D，连接相交于点，连接，在正方形，点为的中点，可得，所以为与所成的角，设正方体的边长为2，,，，因为，，D错误；故选：ABC.16．（多选题）（2025·高一·贵州铜仁·期末）如图是一个棱长为2的正方体的展开图.若将它还原为正方体，则下列结论正确的是（

）A．平面与平面平行B．线段和线段所在的直线是异面直线且所成角为C．点到平面的距离为D．线段与平面所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示：对于A：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，则，同理可得，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面又因为，，平面，所以平面与平面平行，故A正确对于B，连接，，如图所示：因为平面，，平面，平面，所以直线与直线为异面直线；在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，则，所以异面直线与直线所成角等于，又因为，所以，故B正确；对于C，由于在正方体中，，所以三棱锥为正三棱锥，则在平面的投影为外接圆圆心，即平面，且，则，所以在中，，故C错误；对于D，因为与重合，所以线段与平面所成角的余弦值等价于线段与平面所成角的余弦值，由C选项知平面，所以为所求角，由于，，所以，故D正确；故选：ABD17．（2025·高一·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为.【答案】【解析】如下图所示：由正方体性质可得，所以直线和直线所成的角等于，又易知为等边三角形，所以.故答案为：18．（2025·高一·青海西宁·期末）在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为.【答案】/【解析】如图，取的中点，连接，则，所以，且，故四边形是平行四边形，则，故即为与所成的角（或其补角），设正方体的棱长为，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，故与两条异面直线所成角的余弦值为.故答案为：19．（2025·高一·全国·课后作业）如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是，与的夹角为．【答案】平行【解析】如图，将其补成正方体，设和交于点，连接，依题意可知，且，即四边形为平行四边形，则．因为平面，平面，所以直线平面．为与的夹角，，即为等边三角形，，故.故答案为：平行；.20．（2025·高一·福建厦门·期末）在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，则直线与所成角的大小为.【答案】/【解析】因为底面，四边形为正方形，底面，所以，又，所以，如图将四棱锥补成正方体，连接、，则，所以为直线与所成角，又，所以为等边三角形，所以，即直线与所成角的大小为.故答案为：21．（2025·高一·河北邢台·期末）在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为．【答案】/【解析】如图所示，设，分别为棱，的中点，连接，，，由正方体的性质易得，，所以为直线与直线所成的角，设正方体的棱长为，则，，，故答案为：.22．（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）正四棱锥的所有棱长均为4，M为棱PC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值为．【答案】【解析】连接AC交BD于O点，连接OM，连接，则OM∥PA，所以就是异面直线BM与PA所成的角，因为平面ABCD，平面ABCD，则，又因为，，则平面，且平面，则，所以直在角三角形MOB中，由，则，可得，所以异面直线BM与PA所成角的余弦值为.故答案为：.23．（2025·高一·甘肃白银·期末）如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，是棱AB的中点，设平面，经过直线，且平面，平面，若平面，则异面直线与所成角的余弦值为.【答案】/【解析】由直四棱柱的所有棱长均相等，且，得ABCD是菱形，连接AC，BD，，，且，，所以，，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，且，平面.所以平面.取AD的中点，连接，连接EF交AC于点，所以∥，且是AO的中点，所以平面，因为平面，所以平面平面.又平面，所以平面即为平面，即为直线.由平面，平面，∥平面，知∥，所以异面直线与所成的角即与所成的角，即为.设，则直四棱柱的所有棱长均为2，由，知，，且，故，所以.故答案为：24．（2025·高二·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的正弦值．【解析】（1）连接交于，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.25．（2025·高二·上海·课堂例题）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，．

(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成角的大小．【解析】（1）根据题意，圆柱的底面半径，它的表面积，即，解得，即三棱锥的高为，在底面中，，，，则所以，，，可得；所以三棱锥的体积；（2）延长交圆于，连接，，，因为四边形的对角线互相平行，所以为平行四边形，则，，，异面直线与所成角即与所成角，即（或补角）为异面直线与所成角，在中，，，；所以，所以，所以异面直线与所成角为.26．（2025·高一·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点．(1)求证：平面；(2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值．【解析】（1）证明：连接．在直三棱柱中，，且，四边形是矩形．是的中点，过点N且平分．在中，M是的中点，是的中位线，，又平面，平面，平面．（2）点E，M分别是和的中点，与的交点O为的重心．连接并延长与交于的中点，记为点F．过O作，交于点H．为的三等分点（靠近点）．连接，则或其补角为异面直线与所成角．设，则直三棱柱的侧面积为，解得．直三棱柱的底面为直角三角形，，，．且都在面内，平面，面，．又，．又，．在中，，异面直线与所成角的余弦值为．27．（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知长方体中，，．

(1)求证：与是异面直线；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【解析】（1）因为平面，平面，直线，平面，由异面直线的判定定理可得与是异面直线．（2）如图，连接，因为，，可知四边形为平行四边形，则，即为异面直线与所成的角（或其补角），连接，由已知可得，，则．所以异面直线与所成角的余弦值为．28．（2025·高一·浙江·期中）如图，为正方体的棱的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值．【解析】（1）连接与交于点，连接．显然为的中点，所以．又因为平面平面，所以平面．（2）由（1）可知即为直线与所成角，在中,,由余弦定理得．29．（2025·高一·重庆·期中）在长方体中，，是的中点.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【解析】（1）连接交相交于点，