重点专题3-1 复数的综合运算（解析版）- 【重难点突破】2024-2025学年高一下·人教A版必修第二册·重难点专题突破 -1

专题3-1复数的综合运算总览题型·解读总览题型·解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u模块一重点题型梳理【题型1】复数的分类与辨析【题型2】复数的基本运算【题型3】复数范围内一元二次方程的根【题型4】复数的乘方运算（找规律）【题型5】待定系数法模块二复数中档题【题型6】复数的模与圆【题型7】复平面中的向量运算【题型8】复数性质的综合辨析【题型9】欧拉公式题型汇编知识梳理与常考题型题型汇编知识梳理与常考题型模块一重点题型梳理【题型1】复数的分类与辨析基础知识基础知识z=a+bia,b∈R，当且仅当a=0，b≠0时，z为纯虚数，其中虚部为b，而不是典型例题典型例题【例题1】若复数是纯虚数，则实数的值是.【答案】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解.【详解】因为是纯虚数，所以，解得【例题2】对于复数z=a+bia,b∈R，下列结论中正确的是（）A．若a=0，则a+bi为纯虚数B．若a-bi=3+2i，则a=3，b=2C．若b=0，则a+bi为实数D．若a=b=0，则z不是复数【解题思路】结合复数概念逐一判断即可.【详解】对A，当b=0时，a+bi为实数，故A错；对B，根据对应关系，a=3，b=-2，故B错；对C，若b=0，则a+bi为实数，C正确；对D，若a=b=0，z=0，也是复数，故D错.故选：C.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】已知复数是纯虚数，则实数．【答案】【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得.【详解】，又为纯虚数，，解得：.【巩固练习2】下列关于复数x+i的说法一定正确的是（

）A．是虚数 B．存在x使得x+i是纯虚数C．不是实数 D．实部和虚部均为1【解题思路】根据复数的概念、复数的分类判断．【详解】由复数x+i，当x=-i时，x+i=0为实数，故A、C不正确；当x=0时，x+i=i，故B正确；由于x的取值未知，故D错误【巩固练习3】如果复数z=m+3+(m-3)i是纯虚数,则实数m=

(

)A．m≠3 B．m=3 C．m=-3 D．m=±3【解题思路】由纯虚数概念建立关系式求解即可.【详解】由复数z=m+3+(m-3)i是纯虚数，得m+3=0m-3≠0，解得m=-3【题型2】复数的基本运算基础知识基础知识复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．(2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．典型例题典型例题【例题1】（2024新高考I卷真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为，所以.【例题2】（2025·贵州毕节·二模）已知，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】可先将展开并化简，根据复数相等的条件求出、的值，进而求得的值.【详解】已知，即.则可得.由可得，将代入中，得到，解得或.当时，，；当时，，.所以.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】复数的实部与虚部之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】应用复数的乘除法化简复数，进而求实部与虚部之和.【详解】，所以实部与虚部之和为.【巩固练习2】在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可.【详解】，，，【巩固练习3】（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可.【详解】因为复数和，满足，则，所以，所以.【题型3】复数范围内一元二次方程的根基础知识基础知识复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程(a≠0，且a，b，c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根=，＝；

当时，方程有两个相等的实根＝＝－；

当时，方程有两个虚根＝，＝，且两个虚数根互为共轭复数．注：在复数范围内，韦达定理，任然适用典型例题典型例题【例题1】（23-24高一下·广西柳州·阶段练习）已知关于的方程有实根，则实数．【答案】【分析】设是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解．【详解】设为方程有实根，则，即，所以，解得，故答案为：.【例题2】（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）已知，是方程的两根，则，.【答案】【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.【详解】因为，是方程的两根，又，即或，不妨令，所以；又，所以.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实系数多项式虚根成对定理，即可求解．【详解】复数满足，则，是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，故，解得．【巩固练习2】（多选）若，是方程的两个虚数根，则（

）A．的取值范围为 B．的共轭复数是C． D．为纯虚数【答案】BCD【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是，【详解】由，得，A错误；因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；，C正确；因为等于或，所以为纯虚数，D正确.故选：BCD.【巩固练习3】（多选）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．若，则【答案】ACD【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，∴，不妨设，，，A正确；，C正确；，∴，时，，B错；时，，，计算得，，，同理，D正确．【巩固练习4】（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案.【详解】依题意得，复数，是方程的两个根，可得，解得，则，，所以，故选项A正确；，故选项B正确；，故选项C错误；，故选项D正确．【题型4】复数的乘方运算（找规律）解题技巧解题技巧一、常用乘方规律．二、求其中，，故典型例题典型例题【例题1】（2024·浙江温州·一模）若，则复数对应的点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【详解】，化简，即,即.根据复数几何意义知道，对应的点为，在第四象限.【例题2】（2024·吉林长春·一模）若，则.【答案】【分析】利用复数的运算法则求解.【详解】由于，则所以，，即.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案.【详解】由，且，则，所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限.【巩固练习2】若复数满足（是虚数单位），则.【答案】【详解】因为，所以.故答案为：.【巩固练习3】已知复数为虚数单位），则________【解答】解：复数，，，【题型5】待定系数法基础知识基础知识对于复数实部与虚部不确定时，一般通过待定系数法得出二元方程组来确定复数典型例题典型例题【例题1】（2024·四川泸州·一模）（多选）若复数满足，则（

）A． B．的虚部为C．为纯虚数 D．【答案】BCD【分析】设，由条件可得.由复数模长公式可得选项A错误；由复数的概念可得选项B正确；通过复数的除法运算可得选项C正确；通过复数乘方运算可得选项D正确.【详解】设，则，∴，∴，解得，故.A.，选项A错误.B.的虚部为，选项B正确.C.，为纯虚数，选项C正确.D.由得，故，选项D正确.【例题2】已知复数满足：，求复数【答案】【分析】设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案；【详解】解：设复数，根据题意得，，则，【例题3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知模长均为1的复数满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设，，根据给定条件可得且，计算判断AB；计算判断CD.【详解】设，，由，得，则，而，，则，解得且，对于AB，，，A正确，B错误；对于CD，，，，C正确，D错误.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数.【详解】设，则，所以，即，所以，解得，因此【巩固练习2】（2025·四川德阳·二模）（多选）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0【答案】BD【分析】AB选项，根据复数模的计算公式判断；C选项，根据复数定义判断；D选项，根据列方程，解方程即可.【详解】若，则可以为，故A错；设，，，则，，所以，，故B正确；当，时，为虚数，不能比较大小，故C错；，则，解得或，故D正确.【巩固练习3】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知，是复数，则下列命题正确的为（

）A．若，则 B．若，则是实数C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】设，，由共轭复数可得A正确；由复数的乘法运算可得B、C错误；由复数模长的运算可得D错误.【详解】设，，，，，对于A：若，故，故，，所以，故A正确；对于B：由于，所以，不一定满足为实数，故B错误；对于C：当，由于，故，，故不一定为0，故C错误；对于D：当，则，故，故不一定与相等，故D错误．【巩固练习4】（2024·江苏·一模）（多选）已知复数，下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若，则【答案】AC【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得.【详解】选项A，，则，故A正确；选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.证明：设，，若，则有，故有，即，两式相乘变形得，，则有，或，或，①当时，，即；②当，且时，则，又因为不同时为，所以，即；③当，且时，则，同理可得，故；综上所述，命题“若，则，或”成立.下面我们应用刚证明的结论推证选项C，，，，或，即或，故C正确；选项D，令，则，但，不为，故D错误.故选：.模块二复数中档题【题型6】复数的模与圆解题技巧解题技巧|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆．典型例题典型例题【例题1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解.【详解】因为复数z满足，所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径，圆心到复数对应的点的距离为，所以的最大值为.【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（

）A． B．4 C． D．6【答案】B【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果.【详解】设，则由，所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示：而，即求复平面内点到距离的最小值，由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值，即巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围.【详解】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，是点到定点的距离，而，因此，，所以的取值范围是.【巩固练习2】（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围.【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点,的几何意义表示圆上的点和之间的距离，于是，的最大值为，最小值为，所以的取值范围是.【巩固练习3】（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为．【答案】/【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值.【详解】设，因为，即，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离，又，所以的最大值为.【巩固练习4】（23-24高一下·福建厦门·期中）（多选）下列命题正确的（

）A．若复数，则B．若，，则复数的虚部是2iC．若是关于x的实系数方程的根，则D．若，则的最小值为1【答案】ACD【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，A选项正确.B选项，，，，虚部为，B选项错误.C选项，由于是关于x的实系数方程的根，则是关于x的实系数方程的根，所以，解得，所以，C选项正确.D选项，表示对应点与点的距离为，表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为，所以D选项正确.故选：ACD.

【题型7】复平面中的向量运算典型例题典型例题【例题1】（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，设，则，根据得到，即在以为圆心，半径的圆上，求出，由，求出的范围.【详解】因为，设，则，又，即，所以，即，所以在以为圆心，半径的圆上，又复数对应的点为，所以，所以，所以，表示圆上的点与点的距离，又，所以，即，结合选项可知只有A不可能.

【例题2】设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，，根据题意结合复数的乘除法运算求出的关系，再根据复数的向量表示逐一判断即可.【详解】设，，，其中a，b，c，d，，且a，b不同时为0，c，d不同时为0，，由题意，所以，所以，故A错误；，无法比较的大小，故B错误；，由B选项得，无法判断的关系，故C错误；，所以，故D正确.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为3C．若，则D．若，则【答案】AB【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D.【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，设，则，因为，可得，故B正确；对于C，，取，显然，但，故C错误；对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误.【巩固练习2】已知z1,z2∈C，z1=A．0 B．1 C．2 D．3【思路分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解.【详解】在复平面中，设z1,z由题意可得OZ1=因为OZ即3+OZ1-O【巩固练习3】（多选）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（

）A．B．若，则C．若且，则D．若，则的最大值为.【答案】ACD【分析】根据题意，结合复数的模，向量的位置关系，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，因为，可得，所以B错误；对于C中，由，因为，可得，即又因为，可得，联立方程组，可得，解得，所以C正确；对于D中，由，可得，因为，可得，即，表示以为圆心，半径为的圆，可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确.故选：ACD.【题型8】复数性质的综合辨析解题技巧解题技巧复数和向量都可以用点坐标来表示，二者的加减法定义完全相同，模长公式也相同，但是既然二者是分立的概念，其中的区别又体现在何处？区分：辨析复数的乘法与向量的数量积复数的乘法：向量的数量积的坐标运算：，，则向量与的数量积：辨析两种运算类似点：都是类似多项式乘法，所以都满足乘法交换律与分配律区别：化简法则有着本质的不同，复数乘法是利用化简，最后得到的还是复数；而向量数量积的坐标运算本质上利用向量的正交分解，结合数量积的定义进行运算，最后得到的一定是一个实数。模的平方的区别复数中，一般，且向量数量积与模的平方：典型例题典型例题【例题1】（2024·吉林·二模）（多选）已知复数，则（

）A．B．C．D．若关于的方程的一个根为，则【答案】BD【分析】根据复数的模定义A，根据共轭复数的性质判断B，根据虚数单位的周期性判断C，根据复数的乘法加法及复数相等判断D.【详解】复数，则，故A错误；因为，故B正确；因为，故C错误；因为的方程的一个根为，所以，由复数相等可知，即，故D正确.【例题2】（24-25高三上·江苏·期末）（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则为纯虚数【答案】BD【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D.【详解】A：对于，，则，错；C：对于，，满足，显然，错；令，，且，则，，所以，B对；，则，可得，即为纯虚数，D对.【例题3】（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）（多选）已知复数，则（

）A．若互为共轭复数，则为实数B．若，则或C．D．【答案】ACD【分析】根据复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断B；根据复数的乘法运算及复数的模即可判断C；根据复数的加减法运算及复数的模即可判断D.【详解】对于A，设，则，所以为实数，所以A正确；对于B，设，则，但且，所以B错误；对于C，设，则，又，则，所以C正确；对于D，设，，则，，则，故，所以D正确.故选：ACD.巩固练习巩固练习题型【巩固练习1】（23-24高一下·福建漳州·期末）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（

）A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限B．C．若复数满足，则D．若，则的最大值为【答案】BD【分析】根据复数所在象限判断A,应用求和即可判断B,根据特殊值结合复数的模判断C,应用三角不等式求复数模的最大值判断D选项.【详解】对于A，复数对于点位于第一象限，错误；对于B，，正确；对于C，取，则，错误；对于D，，当时取最大值，正确.故选：BD.【巩固练习2】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数，，则（

）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C.【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误；又，故D错误；对于B：由，可得，故B正确；对于C：设，且，由，可得，则，若，则或；若，则，当，则，当，则，当，，则，综上，，故D正确.【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知为复数，则下列说法正确的是（

）A． B．，则C．若，则或 D．若，则的最大值为3【答案】ACD【分析】对于A：根据共轭复数的定义结合复数运算分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：根据模长性质分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，结合圆的性质分析判断.【详解】设，，则，，对于选项A：因为，，所以，故A正确；对于选项B：例如，，则，但不成立，故B错误；对于选项C：若，则，则或，所以或，故C正确；对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为，因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，则，当且仅当点A在线段上时，等号成立，所以的最大值为3，故D正确【巩固练习4】（2025·河北石家庄·一模）（多选）已知为虚数单位，以下选项正确的是（

）A．若，则的充要条件是B．若复数满足，则C．D．若复数满足，则的最大值为6【答案】ACD【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.【详解】对于A，因，则等价于，等价于，即，故A正确；对于B，由可得，当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；对于C，因对于，，则，于是，故C正确；对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而可看成点到该圆上点的距离，易得的最大值即，故D正确.【巩固练习5】（23-24高一下·安徽·期末）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上【答案】AD【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；根据复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.【详解】对于A，设，则，所以，故A正确；对于B，由，得，所以，所以，故B错误；对于C，若，则，而，故C错误；对于D，因为，设对应的点为，若，则在复平面内对应点到和的距离相等，即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.故选：AD．【巩固练习6】（23-24高一下·湖北·期末）（多选）下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知，，是关于的方程的一个根，则D．若复数满足，则的最大值为【答案】CD【分析】由复数的模长公式可判断A选项；由共轭复数的概念及复数的乘法法则可判断B选项；对于C选项，利用共轭复数根的性质结合韦达定理，即可求得和的取值；对于D选项，将复数模长公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离再加上半径，即可判断.【详解】A选项：若，则，故A错误；B选项：若，则，故B错误；C选项：因为是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，所以，解得，则，故C正确；D选项：设，因为，所以，即，其表示圆心为，半径为2的圆.而，其表示圆上的点到点的距离.因为圆心到点的距离为，所以的最大值为，故D正确.【题型9】欧拉公式解题技巧解题技巧欧拉恒等式是一个著名的数学公式，它将五个重要的数学常数连接在一起，很多人在学校的时候都没有了解过，但它被认为是能体现数学之美的最经典的例子之一。欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它神奇地将数学里最重要的几个常数联系到了一起：自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1，还有最常见的0。数学家们评价，它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它”，典型例题典型例题【例题1】（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是.【答案】【分析】根据题意可得，由此计算可得结果.【详解】由题意得，，∴，∴的虚部是.【例题2】（2024·云南昆明·模拟预测）（多选）欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，其中，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．复数对应