特训03 平面向量、解三角形的几何应用 压轴题（七大题型）（解析版）

特训03平面向量、解三角形的几何应用压轴题（七大题型）目录：题型1：求模长的应用题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合题型3：平面向量坐标表示的应用题型4：解三角形有关的化简、求值等题型5：解三角形求最值问题题型6：设角化角求最值综合题题型7：题型1-4综合题题型1：求模长的应用1．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.(1)若，当k为何值时，与垂直？(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求最小值.(3)若的最小值为1，求的值.【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果；（2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算；（3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可.【解析】（1）因为，所以由余弦定理得，即，所以.若与垂直，则，所以，所以，解得，即时，与垂直；（2）因为为的重心，所以，又因为，所以，由于三点共线，所以存在实数使得，所以化简为，所以，所以.显然，则，当且仅当时，即时，取最值.则的最小值为2.（3）设与的夹角为，在中，，所以，又，所以当时，有最小值，所以，解得，即取最小值1时，．【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题2．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．(1)当时，求的值；(2)当时，求的值；(3)求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)﹒【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得；(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．【解析】（1）在直角梯形中，易得，，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，故；（2），当时，，设，，则，，∵不共线，∴，解得，即；（3）∵，，∴，＝，由题意知，，∴当时，取到最小值＝，当时，取到最大值，∴的取值范围是．题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合3．如图，在中，，，点为和的交点，设，．(1)设，求，的值；(2)若，，，求；(3)若在上，，且，求的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）设，，根据向量的线性运算法则可得，，从而构造关于和的方程组，可得，得解；（2）先利用三角形的面积公式求得的值，再由，即可得解；（3）设，与的夹角为，其中，利用，结合平面向量的基本定理与数量积的运算法则，推出，再由，求出的取值范围即可．【解析】（1）设，，则，，所以，，所以，解得，所以，又，所以，．（2），由（1）知，，所以．（3）由（1）知，，所以，设，与的夹角为，其中，则，而，因为，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以的取值范围为．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生逻辑推理能力和运算能力．4．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若点为的外心，求、的值；(3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)，；(3)【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可；.（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值；（3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围.【解析】（1）因为，所以，化简后可得，所以，若，则.（2）如图，设的中点分别为，连接，则，又，同理，又，即，同理，整理得到，解得；（3）如图，为的平分线，则，所以，设，.故，因为不共线，故，所以，因为，所以，故.又,所以，所以.故的取值范围为.【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题.5．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.

(1)若，求实数，的值；(2)若，求实数的值；(3)如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可；（3）由题意可得，根据共线定理得到，根据三形的面积公式可得，再结合，将转化为的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.【解析】（1）因为，所以，所以，又，且、不共线，所以，；（2）因为、、三点共线，所以存在实数使得，所以，因为，即，所以，又因为，即，又、不共线，所以，解得，所以．（3）根据题意．同理可得：，由（2）可知，，所以，因为，，三点共线，所以，化简得，根据题意，，，所以，又，则，所以，所以，易知，当时，有最大值，又因为，所以.题型3：平面向量坐标表示的应用6．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.

(1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；(2)若，求的范围；(3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，.【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得夹角余弦值即可；（2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得；（3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得.【解析】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系，

则，，，，所以，，，.（2）由，，故，则，所以，由，故.（3）同（1）问建立相同直角坐标系，

则可得，即，假设存在点，使得最大，由，即有最大，设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，即存在，且.7．如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.(1)在仿射坐标系中①若，求；②若，且与的夹角为，求；(2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值.【答案】(1);(2)【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得；②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值.（2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值.【解析】（1）①由可得，，则，即；②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，，，因与的夹角为，则由可得，，解得，.（2）依题意，设，因是的中点，则，是的中点，则，故因，，则，在中，由余弦定理，，即，代入上式可得，，由正弦定理，，设，则，于是，其中，则.【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题.解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键.8．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域；（2）利用向量的坐标运算即可求得；（3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围.【解析】（1）函数的“源向量”为，所以，所以函数的值域为（2）因为，则，则，又，所以），且，从而，，则；因此可得为定值．（3）如下图所示：函数的“源向量”为，则，则则则又，即，所以，因为，即，当且仅当时取等号，又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，综上所述，令，则从而，其中，所以，即的取值范围．【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果.题型4：解三角形有关的化简、求值等9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.①当时，设的面积为S，求S的最小值：②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)①；②存在，，【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解；（2）①先找到，设，，在和中，由正弦定理得，，从而由得解.②假设存在实常数，k合题，由和差化积，积化和差化简可得：，由，是定值，整理化简得到：，故而,进而得解.【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得，所以，所以，所以，因为，，所以或或，即或（舍去）或（舍去），又，所以；（2）①因为，所以，又，，所以，.如图，设，，

则在中，由正弦定理，得，所以在中，由正弦定理，得，所以，，因为，所以，故当，即时，；②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立，则存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有，由题意，是定值，所以，是定值，对于所有满足题意的，成立，故有,因为，从而，即，因为，为的内角，所以，从而，.【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强.10．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.(1)当时，称为调和点列，若，求的值；(2)①证明：；②已知，点为线段的中点，，，求，.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②，【分析】（1）设，，结合可整理得到，由此可得的值；（2）①根据，，，，结合三角形面积公式和角之间的等量关系可整理得到结论；②根据可整理得到，由和可构造方程组求得结果.【解析】（1）由知：两点分属线段内外分点，不妨设，，则，，由知：，，，即.（2）①在中，，，则在中，，，则，又，，即；②，，即，又点为线段的中点，即，则，又，则，，设，，且，由可知：，即，整理可得：；在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得，，且，则，即，由得：或（舍），即，.题型5：解三角形求最值问题11．在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足(1)求角；(2)为边上一点，，且求的最小值.(3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理，辅助角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小；（2）由题意可得为角平分线，再由等面积法可得，由基本不等式可得的范围，进而求出三角形的面积的最小值；（3）由正弦定理可得三角形外接圆的半径，再由向量的运算及基本不等式可得的最小值．【解析】（1）由及，可得，所以，由余弦定理可得，所以，即，因为，所以，即；（2）在中，由正弦定理可得：，即，在中，由正弦定理可得：，即，且与互为补角，可得，即，又，且，即，所以，又，所以，所以为的角平分线，所以，由可得，所以，解得，当且仅当时取得等号，即的最小值为，所以；即的面积的最小值为；（3）设圆半径为，则，设，，则，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是设，，从而得到，再根据数量积的定义将转化为关于的式子.12．已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.并且，记.记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到.(1)若，求.(2)射线上的点满足.①求；②求的最小值.【答案】(1)(2)①；②的最小值为【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，最后根据角的范围即可求解；（2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可；②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可.【解析】（1）因为，所以点在线段上，如图①所示，又，所以由，得，所以为的角平分线，又，所以，在中，，由余弦定理得，解得，由正弦定理得，即，解得，又是最大边，所以.（2）记.①因为，所以点在线段的延长线上，如图②所示，即所以，化简得，解得，，且，所以.②因为，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，此时，.故的最小值为.

【点睛】关键点点睛：由推出，并结合基本不等式求解.13．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.(1)已知，，.①求；②若的平分线交于点，求线段的长；(2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且，求的取值范围；(3)若，令，试求的最大值.【答案】(1);(2)(3)【分析】（1）①利用同角三角函数基本关系和正弦定理以及余弦定理即可得到答案；②根据余弦定理得，再利用三角形面积公式即可得到答案；（2）设，将表示为角的三角函数，再利用二倍角公式，转化为关于的函数，即可求出范围；（3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值.【解析】（1）①因为，所以，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因为，所以；②又因为，所以，即，解得，设边上的角平分线长为，则，即，即，解得，即边上的角平分线长为；（2）延长交于，延长交于，设，所以，在Rt中，，在中，，所以，在Rt中，，同理可得在Rt中，，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围为．（3）由余弦定理，，所以，所以，，所以．当且仅当，即时，．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是将边转化为关于角的三角函数，再利用二倍角公式即可求出最值.题型6：设角化角求最值综合题14．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在和上，修建的木栈道AB与道路，围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．

(1)当为正三角形时求修建的木栈道AB与道路，围成的三角地块OAB面积；(2)若的面积，求木栈道AB长；(3)如图2，设，①将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域；②求木栈道AB的最小值．【答案】(1)(2)(3)①，②【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.方法2：运用两个三角形面积公式可得，的值，再结合余弦定理可得，联立可求得AB的长.（3）①运用内切圆性质可得，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB.②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.【解析】（1）如图所示，

设三角地块面积为S，等边△OAB边长为，所以由等面积法得：，解得，所以.故修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积为平方千米.（2）方法1：设圆C分别与、、相切于点N、E、M，如图所示，

则，，，所以在中，，所以，设，，所以，解得：，即：.故木栈道AB长为.方法2：设三角地块面积为S，，，，，由等面积法可得：，即：，所以①，②，在△中，由余弦定理得，即：③，由①②③解得：.故木栈道AB长为.（3）如图所示，

①由题意知，，由内切圆的性质可知，，设直线和圆相切点，，则，因为，解得：，又因为，，所以，，所以.即：.②方法1：，当且仅当时等号成立，故木栈道的长度最小值为.方法2：因为，所以，所以，所以，故木栈道的长度最小值为.方法3：，因为，所以，所以，所以，故木栈道的长度最小值为.【点睛】方法点睛：解三角形的应用问题的要点（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．解三角形中最值（范围）问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．15．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．(1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；(2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足①求证：；②求的最小值．【答案】(1)(2)证明见解析；.【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可；（2）①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值.【解析】（1）设,在中，由余弦定理得,，当时，.（2）①在中，由余弦定理,所以，再由正弦定理得,,,,,所以，.②设，则由正弦定理可得,所以,所以.当时，的最小值为.【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可.16．在面积为的中，内角所对的边分别为，且．(1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；(2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程的解，整理得，根据正切函数的单调性及的范围即可求出的取值范围；（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为8得出，则，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不等式即可得出最小值．【解析】（1）在中，由三角形面积公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，故．（2）由，得，所以，由（1）得，所以为正三角形，所以，因为为边的中点，所以，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理得，，化简得，，，因为，所以，则因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值为．

题型7：题型1-4综合题17．在平面四边形中，对角线和交于点，分别延长和交于点，连接并延长交于点.(1)如图（1），若四边形为圆的内接四边形，，（i）求