浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

2025年初中学业水平适应性测试（1）数学试题卷卷Ⅰ一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1.如图，比数轴上点表示的数大2的数是（）A. B.0 C.1 D.22.基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截止2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.3.如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（）A B. C. D.4.一个布袋里装有个红球、个黄球和个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（)A. B. C. D.5.如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.6.已知一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（）A B. C. D.7.如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（）A. B. C. D.8.我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.9.根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（）A.当时，随的增大而增大 B.该函数的图象与轴有交点C.该函数图象经过点 D.当时，的取值范围是10.已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.卷Ⅱ二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11.分解因式：_____．12.某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表：日期2日3日4日5日6日7日8日最高气温/℃27322728292929则这7天最高气温的中位数是__________℃．13.不等式组的解集是______．14.如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是______（只需添加一个你认为适合的条件）．15.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是__________16.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为______．三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：．18.化简：．19.如图，在中，点是边上一点，且，，，，，求长．20.为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图．被抽查学生最喜爱的球类运动项目根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？（2）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．21.如图1，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．在上作点使得四边形是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．小佳：如图2，以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是菱形．小乐：如图3，分别以，为圆心，长为半径作弧交于点，连接交于点，则四边形是菱形．（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）①小佳的做法__________；②小乐的做法__________．（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）22.周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：（1）求小佳骑电动车的速度．（2）求线段所在直线的函数表达式．（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．23.已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式．（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．（3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．24.如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连结并延长交于点，连结并延长交于点，交圆于点，连结，．（1）若，，求．（2）若为圆的直径，①求的度数；②求证：．

2025年初中学业水平适应性测试（1）数学试题卷卷Ⅰ一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1.如图，比数轴上点表示的数大2的数是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大2的数是；故选：C．【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．2.基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截止2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：．故选：B．3.如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同．故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．4.一个布袋里装有个红球、个黄球和个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及确定红球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：袋子中球的总数为2＋3＋5＝10，而红球有2个，则从中任摸一球，恰为红球的概率为2÷10＝．故选：C．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5.如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．点的对应点为，∴与的相似比为，∵B点的坐标为，∴点的对应点的坐标为，即，故选：A．6.已知一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据弧长计算公式进行求解即可．【详解】解：由题意得：；故选B．【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．7.如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，又，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，连接，，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，故选：．8.我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可得出木头的长度是或尺，结合木头的长度不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：∵用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，∴木头的长度是尺；∵将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺，∴木头长度是尺，∴根据题意得可列出方程，即．故选A．9.根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（）A.当时，随的增大而增大 B.该函数的图象与轴有交点C.该函数图象经过点 D.当时，的取值范围是【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的性质，对函数的图象与性质类比反比例函数进行排除即可，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．【详解】解：由，∴、当时，随的增大而减小，原选项错误，不符合题意；、∵，∴该函数的图象与轴没有交点，原选项错误，不符合题意；、当时，，∴该函数图象经过点，原选项错误，不符合题意；、当时，，∵当时，随增大而减小，∴当时，的取值范围是，原选项正确，符合题意；故选：．10.已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．由矩形的性质得，，，，又，则，故有，同理，设，，所以，，然后用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵点为的中点，∴，设，，∴，，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴由勾股定理得：，∴，故选：．卷Ⅱ二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11.分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．【详解】，故答案为：a（a+2）．【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．12.某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表：日期2日3日4日5日6日7日8日最高气温/℃27322728292929则这7天最高气温的中位数是__________℃．【答案】【解析】【分析】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．根据中位数的定义求解即可．【详解】解：将这组数据重新排列为27、27、28、29、29、29、32，所以这组数据的中位数为，故答案为：．13.不等式组的解集是______．【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．14.如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是______（只需添加一个你认为适合的条件）．【答案】或或（任性一个即可）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：添加，可由证明；添加，可由证明；添加，可由证明；故答案为：或或．（任性一个即可）15.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是__________【答案】【解析】【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；根据是的直径，可得，再根据对角互补可得，再结合三角形内角和定理即可求解【详解】解：是的直径，，∵四边形是的内接四边形，∴，，故答案为：16.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为______．【答案】【解析】【分析】本题主考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积比的相关知识点，掌握知识点的应用是解题的关键．由菱形性质得，，，又和，设，，则，易求，再解可得，然后根据折叠可知，结合，建立方程求出，证，求出和，进而求出，最后证，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴设，，则，在中，，∴，如图，过作于点，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，由折叠性质可知：，∴，解得：，∴，，，由折叠性质可知：，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴相似比为，∴与的面积之比为，故答案为：．三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：．【答案】．【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通过化简绝对值，求算术平方根，负整数指数幂运算，然后合并求解即可．【详解】解：原式．18.化简：．【答案】．【解析】【分析】本题考查了同分母分式的减法，根据同分母分式的减法进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式．19.如图，在中，点是边上一点，且，，，，，求的长．【答案】【解析】【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定和性质得到，由勾股定理求出，得到，由锐角三角函数得到，由勾股定理得到，即可得到答案．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，中，，∴20.为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目的喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图．被抽查学生最喜爱的球类运动项目根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？（2）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．【答案】（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有人；（2）估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．【解析】【分析】本题考查了主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体的思想，读懂图表，获取信息是解题的关键．（）先求出本次被调查的人数有（人），然后再乘以最喜爱羽毛球所占百分比即可求解；（人），（）先求出本次调查中最喜爱“篮球”的人数人，再根据样本估计总体即可计算该校最喜欢“篮球”的学生人数．【小问1详解】解：本次被调查的人数有（人），∴本次调查中最喜爱羽毛球的有（人），答：本次调查中最喜爱羽毛球的有人；【小问2详解】解：由（）得：本次被调查的人数有人，本次调查中最喜爱羽毛球的有人，∴本次调查中最喜爱“篮球”的有（人），∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为（人），答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．21.如图1，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．在上作点使得四边形是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．小佳：如图2，以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是菱形．小乐：如图3，分别以，为圆心，长为半径作弧交于点，连接交于点，则四边形是菱形．（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）①小佳的做法__________；②小乐的做法__________．（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）【答案】（1）①正确；②正确（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质和尺规作图：（1）①先由直角三角形的性质得到，则由等边对等角和平行线的性质证明，再证明得到，由作图方法得到，进而得到，据此可得结论；②可得垂直平分，则，进而得到，进一步证明，则可证明，则，据此可证明四边形是菱形；（2）同（1）证明即可．【小问1详解】解：①小佳的做法正确，理由如下：∵在中，是斜边上的中线，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，由作图方法可知，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；②由作图方法可知，垂直平分，∴，∴，∵在中，是斜边上的中线，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是菱形；【小问2详解】①小佳的做法正确，理由如下：∵在中，是斜边上的中线，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，由作图方法可知，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；②由作图方法可知，垂直平分，∴，∴，∵在中，是斜边上的中线，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是菱形．22.周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：（1）求小佳骑电动车的速度．（2）求线段所在直线的函数表达式．（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．（1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案；（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．【小问1详解】解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，∴小佳骑电动车的速度；【小问2详解】根据题意，点E坐标为，A点坐标为，则点B坐标为，∵乙小区到超市，用时6分钟，∴小乐的速度为，∴小乐从超市到农庄所用时间为，∴点C坐标为，设线段的函数表达式为，把，，代入解析式得，解得：，∴线段的函数表达式为；【小问3详解】线段的函数解析式为把点代入解析式得：，解得，∴线段的函数解析式为，当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，∴，解得，∴．∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程23.已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式．（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．（3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了二次函数的综合运用