2025届山东省青岛市平度市高考模拟检测试题（一）数学试题（解析版）

第1页/共1页平度市2025年高考模拟检测（一）数学试题2025.02本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集运算，即可得结果.【详解】由，故选：C.2.已知复数满足，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部.【详解】由已知，则，即复数的虚部为，故选：C.3.设一个球的表面积为，它的内接正方体的表面积为，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出正方体的棱长，然后求出正方体的表面积，根据正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出球的表面积，即可得到二者的比值．【详解】解：设正方体的棱长为1，所以正方体的表面积为，正方体的体对角线即为正方体外接球的直径，设外接球半径为，则，即，所以球的表面积，所以．故选：B．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式，诱导公式求解．【详解】，故选：A．5.已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果.【详解】由题意可得,，若点三点共线，则点不能构成三角形,即，解得：，所以的值为.故选：B.6.已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以，由数列的函数特性知为递减数列，又，所以，故选：C．7.已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果.【详解】由题意得，，由椭圆定义得，故，∵，，∴，∴与相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即椭圆的离心率为.故选：B.8.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】A【解析】【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.【详解】由为偶函数，得，即，则，因此，即，则，于是，函数是周期为4的周期函数，由，得，因此，所以．故选：A【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了研究与的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（）123450.50.811.21.5A.B.当时的残差为C.样本数据的％分位数为0.8D.去掉样本点后，与的样本相关系数不变【答案】ABD【解析】【分析】根据样本中心点、残差、百分位数、相关系数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题，所以，故A选项正确；由A，当时，，所以时的残差为，所以B选项正确；因为，所以样本数据的％分位数为，C选项错误；去掉样本点后，而，由于，所以去掉样本点后，与的样本相关系数不变，故D正确.故选：ABD10.抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（）A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条B.当的面积为时，C.为直角三角形D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】由可得抛物线方程，对于A，注意到与抛物线线有一个公共点的直线有两类，一类是抛物线切线，另一类是与y轴垂直的直线，据此可判断选项正误；对于B，设，由的面积为，可得，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B，验证是否等于0可判断选项正误；【详解】抛物线的焦点为，准线为因点为上一点，且，由抛物线定义可得，则抛物线方程为：.对于A，注意到，则点M在抛物线外，如图所示，则过M点可做抛物线的两条切线，此外直线过点M，且与抛物线只有一个公共点，故过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误；对于B，设直线AB方程为：，将直线AB方程与抛物线联立，可得：，设，由韦达定理：，由图可得，则.又由抛物线定义可得，故B正确；对于C，可得注意到，则，故为钝角，则为钝角三角形，故C错误；对于D，由B，，则由抛物线定义：.当且仅当，即时取等号.故D正确.故选：BD11.已知函数，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位，的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则（）A.B.若，则C.当时，函数极大值之和小于D.【答案】ACD【解析】【分析】由条件给出的变换求出的解析式可判断A；作出的图象，可知若，只需成立即可，参变分离可求出的范围可判断B；设的极大值为，则有，求出的通项，可判断D，对求和可判断C.【详解】，其中，即，故A正确；作出的图象，可得．若，只需，对即可，故，故B错误；记的极大值为（也是最大值），则，且，则，即，即，故D正确；当时，函数的极大值之和，故C正确；故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量服从正态分布，若，则____________.【答案】【解析】【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.【详解】因为且，所以，解得故答案为：13.在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为___________.【答案】##【解析】【分析】首先根据等差数列的概念结合正弦定理可得，，，通过余弦定理求出，最后由面积公式即可得结果.【详解】因为成公差为的等差数列，所以；因为，由正弦定理可得；解得，，，由余弦定理可得，因为，所以，所以的面积为，故答案为：.14.有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是________，从第个盒子中取到红球的概率是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），利用全概率公式可得，当时，由全概率公式得，通过构造得数列是等比数列，利用数列通项求.【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），则，，所以，则当时，，所以，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故答案为：；．【点睛】关键点点睛：本题关键是设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），当时，结合全概率公式得到的递推关系：，再构造等比数列.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，其面积.（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解，（2）根据正弦定理边化角可求解，进而利用同角关系求解的正余弦，即可根据余弦的和差角公式求解，进而利用余弦定理即可求解.【小问1详解】由已知得，由正弦定理可得：，.【小问2详解】由可得，由（1）可得，解得，，，，，由余弦定理得：.16.如图，在多面体中，，的中点为.（1）求证：四点共面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用垂直关系可证明线面垂直，根据过一个点有且只有一个平面与已知直线垂直，可以证明四点共面；（2）引入二面角作为参数，来表达相关点坐标，从而利用空间向量法求线面角正弦值，即可得到方程求角，从而可得到答案.【小问1详解】连接，由为中点，得，由，得，而平面，则平面，同理平面，又平面与平面有公共直线，所以四点共面；【小问2详解】由（1）知，是二面角的平面角，设，由，得，则，，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，依题意，，即，平方化简整理得，而,则，即，又，则，所以平面与平面夹角的大小为.17.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.（1）求的方程;（2）若直线与的另一个交点为，求面积的最小值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）根据题意得，代入方程即可求解；（2）设直线方程为，与双曲线联立得，由韦达定理有，代入即得，令，得，设，利用单调性即可求解.【小问1详解】由题知，又轴时，有代入方程解得，，则双曲线的方程为：；【小问2详解】设直线方程为，，消去得，则，所以，，因为，令，则，得设，则该函数在上单调递减，则，故，，即面积的最小值为12.18.《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法，可以解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是（1）若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；（2）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】（1）315（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由题意，由五个阳爻和一个阴爻构成的卦所表示的二进制数有6个，列举后按照二进制数与十进制数之间的转化公式计算求和即得；（2）先判断的所有可能取值，再运用古典概型概率公式和插空计数法求对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可.【小问1详解】因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，所以该卦所表示的二进制数共有个，分别为、、、、、，因为这个数中，每个数位都是次和次，所以这些卦表示的十进制数的和为：；【小问2详解】由题意可知，随机变量的所有可能取值有、、，则，，，则随机变量的分布列如下表所示：故.19.悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：（1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；（2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；（3）求的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）0.【解析】【分析】（1）类比，写出导数关系，再证明；（2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在上单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出.小问1详解】导数：，，；依题意，，所以.【小问2详解】构造函数，，由（1）可知，当时，由，，函数在上单调递增，对，，即恒成立，因此；当时，令，，求导得，而函数在上都单调递增，函数在上单调递增，因此，函数在上单调递增，而，，则存在唯一，使得，当时，，函数在内单调递减，对任意，，即，不符合题意，所以实数a的取值范围为．【小