导学案数学第六章63631平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.通过具体情境操作向量的分解,发现并证明平面向量基本定理.2.理解基底的含义,并能用基底表示平面向量.3.理解平面向量基本定理的含义,并能解决有关综合问题.【素养达成】直观想象数学抽象、数学运算逻辑推理、数学运算平面向量基本定理1.定义:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【教材挖掘】(P26)观察=(1t)+t,你有什么发现?提示:,的系数和为1.一般地,A,B,P三点共线的充要条件是:存在唯一实数λ,μ满足=λ+μ,且λ+μ=1.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底.(√)(2)零向量可以作基底中的向量.(×)提示:零向量与任意向量共线,故不能作基底中的向量.(3)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.(×)提示:基底的选择是不唯一的.(4)已知a,b是一组不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2,y1=y2.(√)提示:平面向量的基本定理可知x1=x2,y1=y2.类型一关于基底概念的理解(数学抽象)【典例1】已知e1,e2是不共线的非零向量,则下列四组向量可以作为一个基底的是()A.a=0,b=e1+e2B.a=3e1+3e2,b=e1+e2C.a=e12e2,b=e1+e2D.a=e12e2,b=2e14e2【解析】选C.对于A:零向量与任意向量均共线,所以这两个向量不可以作为基底;对于B:因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以这两个向量不可以作为基底;对于C:设a=λb,即e12e2=λ(e1+e2),则1=λ对于D:设a=e12e2,b=2e14e2,所以a=12b,所以这两个向量不可以作为基底【总结升华】关于基底概念的理解(1)关键:判断两个向量能否构成基底,主要看两个向量是否满足不共线,利用向量共线定理可以确定;(2)注意:平面内的一个基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示.【即学即练】(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是()A.与 B.与C.与 D.与【解析】选AC.与不共线;=,则与共线;与不共线;=,则与共线.【补偿训练】若向量a与b是平面上的两个不平行向量,下列向量不能作为一个基底的是()A.a与a+bB.a+b与2a+bC.2a5b与4a+10bD.2a+b与a+2b【解析】选C.对于A,假设存在实数λ,使a+b=λ(a),则1=-λ1=0,方程组无解,即不存在实数λ,使a+b=λ(a),即a与a对于B,假设存在实数λ,使a+b=λ(2a+b),则1=2λ1=λ,方程组无解,即不存在实数λ,使a+b=λ(2a+b),即a+b与2a对于C,假设存在实数λ,使2a5b=λ(4a+10b),则2=-4λ-5=10λ,解得λ=12,即2a5对于D,假设存在实数λ,使2a+b=λ(a+2b),则2=λ1=2λ,方程组无解,即不存在实数λ,使2a+b=λ(a+2b),即2a+b与a+2类型二用基底表示向量(直观想象)【典例2】如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,E在BC上,且BE∶EC=1∶2,直线DE与AB的延长线交于点F,记=a,=b.(1)试用a,b表示,;(2)试用a,b表示.【解析】(1)平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,=12=12(+)=12()=12a12b,=12=12()=12a12b.(2)点E在BC上,且BE∶EC=1∶2,BE∥AD,则△BEF∽△ADF,于是BFAF=BEAD=BEBC=13,即BF=32=32a,所以==32ab.【总结升华】用基底表示向量的方法(1)利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则,对要表示的向量分解,直到转化为基底表示;(2)对于较为复杂的关系,如含有未知的位置关系的点,可以利用共线设出向量的线性比例关系,用基底表示后求系数.【即学即练】(2024·保定高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,AE和BD相交于点F.记=a,=b,则()A.=23a13b B.=23a+1C.=13a23b D.=13a+2【解析】选A.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于点F,所以△ABF∽△EDF,又点E是CD的中点,所以DFBF=DEAB=所以=13=13(),所以=+=+13()=2313=23a13【补偿训练】如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=23.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为______.

【解析】以OC为对角线,作平行四边形OECF(图略),且OA,OB分别在这个平行四边形的两邻边OE,OF上.因为∠COF=∠EOF∠EOC=120°30°=90°,所以在Rt△COF中,||=23,∠OCF=30°.所以CF=OCcos∠OCF=23cos30又||=||=1,所以=4,=2.所以=+=4+2,由平面向量基本定理,可得λ=4,μ=2.所以λ+μ=6.答案:6类型三平面向量基本定理的应用(逻辑推理)【典例3】(2024·西安高一检测)已知在△ABC中,点M是BC边上靠近点B的四等分点,点N为AB中点,设AM与CN相交于点P.(1)请用,表示向量;(2)设和的夹角为θ,若cosθ=14,且||=2||,求证:⊥.【解析】(1)=+=+14=+14()=34+14.(2)==12,·=12·=12·=12||·||cosθ=12||·2||·14=1212=0,所以⊥.【总结升华】关于向量法证明几何问题(1)选择基底的原则一是不共线;二是已知模和夹角,以方便表示出相关向量后运算、证明;(2)利用向量共线可以证明线段平行,向量数量积为0可以证明线段垂直,利用模的运算可以证明线段相等等问题.【即学即练】如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.【证明】因为·=(+12)·(+12)=1212+14·+·,而AD⊥AB,AD=AB,所以·=0,所以⊥,即DE⊥AF.【补偿训练】(2024·大理高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,F,G是AD,BC的三等分点(AF=23AD,BG=23BC).设=a,=b.(1)用a,b表示,;(2)如果|a|=43|b|,用向量的方法证明:EF⊥