2024-2025学年试题数学三十直线与平面平行的性质定理

三十直线与平面平行的性质定理(时间:45分钟分值:85分)【基础全面练】1.(5分)若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c…,那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….2.(5分)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【解析】选B.在三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,因为AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,所以A1B1∥平面ABC,因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.3.(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为()A.12 B.1 C.2 D.【解析】选C.因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF=12AC=24.(5分)(多选)下列说法中正确的是()A.一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行B.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点C.过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行D.如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内【解析】选ABD.根据线面平行的性质定理可知:直线与平面内的无数条直线平行,A正确.根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,B正确.C中可以作无数个平面与直线平行,错误.根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,D正确.5.(5分)(多选)如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别是AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则()A.MN∥PD B.MN∥平面PABC.MN∥AD D.MN∥PA【解析】选BD.因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA,因为PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,因此,MN∥平面PAB.6.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.

【解析】如图,易知AC∥平面A1B1C1D1.又因为平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l,所以AC∥l,又因为AC∥A1C1,所以l∥A1C1.答案:平行7.(5分)如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=__________【解析】因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,所以MN∥PQ.因为MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.因为AP=a3,所以DP=DQ=2a3.所以PQ=2×2答案:228.(5分)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧棱CC1上运动,当点P________时,A1P∥平面BCD.

【解析】如图,假设A1P∥平面BCD.因为A1P⊂平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD.又因为D为AA1的中点,所以P为CC1的中点.答案:是CC1的中点9.(10分)求证:若两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行.【证明】已知:a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β=l.求证:a∥b∥l.如图所示,因为a∥b,b⊂β,a⊄β,所以a∥β,又因为a⊂α,α∩β=l,所以a∥l,又因为a∥b,所以a∥b∥l.【综合应用练】10.(5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面【解析】选C.条件即为线面平行的性质定理,所以a∥b,又a与α无公共点,所以α内与b相交的直线与a异面.11.(5分)(多选)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的有()A.E,F,G,H一定是各边的中点B.G,H一定是CD,DA的中点C.AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GCD.四边形EFGH是平行四边形或梯形【解析】选CD.由BD∥平面EFGH和线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.12.(5分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,N是平面ABCD外一点,设AC∩BD=O,P为NC上一点,若OP∥平面NEF,则NP∶PC=__________.

【解析】设AC∩EF=H,连接NH.因为OP∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,OP⊂平面NHC,所以OP∥NH,所以NP∶PC=HO∶OC.在正方形ABCD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.答案:1∶2【补偿训练】如图,已知三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC上的动点,D是AA1上的动点,且ADDA1=m,AE∥平面(1)若E是BC的中点,则m的值为________;

(2)若E是BC上靠近B的三等分点,则m的值为________.

【解析】(1)如图,设G是CB1上一点,连接DG,GE.因为AE∥平面DB1C,所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EG,则四边形DAEG是平行四边形.故DA=GE,所以G是CB1的中点.故AD=DA1,即ADDA1=1,即(2)如图,设H是CB1上一点,连接DH,HE.因为AE∥平面DB1C,所以AE∥DH,又AD∥BB1,所以AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EH,故四边形DAEH是平行四边形,则AD=EH,因为EH∥BB1,所以EHBB1=CE所以ADAA1=EH则ADDA1=2,即答案:(1)1(2)213.(10分)求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.【证明】已知直线a,l,平面α,β满足α∩β=l,a∥α,a∥β.求证:a∥l.证明如下:如图所示,过a作平面γ交平面α于b,因为a∥α,所以a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c,因为a∥β,所以a∥c.则b∥c.又因为b⊄β,c⊂β,所以b∥β.又因为b⊂α,α∩β=l,所以b∥l.又因为a∥b,所以a∥l.14.(10分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:(1)AP∥平面BDM;(2)AP∥GH.【证明】(1)如图,连接AC,交