广西壮族自治区河池市2024-2025学年高一上学期期末学业水平质量检测数学试题

河池市2024年秋季学期高一期末学业水平质量检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.【详解】命题“”的否定是.故选：D.2.已知点是角终边上的一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求解.【详解】根据三角函数的定义，可得.故选：A.3.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论.【详解】，在上单调递减，，故，所以，又，在上单调递增，，故，即，所以.故选：A.4.若扇形面积为4，圆心角为2，那么该扇形的弧长为（）A B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】由扇形的面积公式计算出半径，再由弧长公式求出即可.【详解】由扇形的面积公式，可得，解得，所以弧长为.故选：D.5.使成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的判定知，选项为条件，题干是结论.【详解】对于A，取时，可知，但，故是的不充分条件，故A错误；对于B，取，可知，但，故是的不充分条件，故B错误；对于C，由，所以，反之不成立，故C正确；对于D，当时，由，得，故是的不充分条件，故D错误.故选：C.6.一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，即，解得，所以的取值范围为.故选：A7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（）（参考数据：，，）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即，由于在定义域上单调递减，∴，∴他至少经过小时才能驾驶.故选：C.8.已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解.【详解】因为，即，所以，又因为，所以，所以，函数的图象向右平移个单位得到，的图象关于直线对称，，，即，，令，得.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.与表示同一个函数的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.【详解】定义域为，且.对于A：，定义域也为，故A正确；对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；故选：AC.10.下列命题为真命题的是（）A.若，且，则的最小值为18B.函数的零点为C.已知，则的最小值为3D已知函数，则【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式计算可判断AC；利用零点的定义可判断C；利用整体代换法求函数解析式可判断D.【详解】对于A.，且，即，，当且仅当时取到等号，故A正确.对于B：函数的零点是其图象与轴交点的横坐标，即函数的零点为，故B错误.对于C：，当且仅当时取等号，故C正确.对于D：由，所以，故D正确.故选：ACD.11.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为1B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3【答案】ABD【解析】【分析】由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D.【详解】图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵，∴每月的增长率为1，A正确.当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.∵第二个月比第一个月增加y2y1=222=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3y2=2322=4(m2)≠y2y1，∴C不正确.∵2=，3=，6=，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数经过点，则______．【答案】【解析】【分析】设幂函数，根据待定系数法求出的值，由此即可求出的值.【详解】设幂函数，所以，解得，所以，所以.故答案为：.13.在中，若，则值为__________.【答案】2【解析】【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.【详解】在三角形ABC中，因为，所以.故答案为：.14.定义在上的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数且在上至少有个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用赋值法求得的值，然后判断出函数的周期和性质，由此画出函数的图像，根据和图像的交点个数，求得的取值范围.【详解】根据函数为偶函数，令得，即，故函数是周期为的周期函数.根据偶函数图像关于轴对称，画出函数的图像如下图所示：当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像没有交点，不符合题意.当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有至少有个交点，则需，即，解得.【点睛】本小题主要考查抽象函数的性质，考查函数的奇偶性，考查对数函数的图像与性质，考查二次函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题过程中首先利用赋值法求得函数的周期，由此可根据函数为偶函数画出函数图像，结合题意求得参数的取值范围.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.15.已知集合.（1）求；（2）若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）存在，或3或5.【解析】【分析】（1）求出，再求；（2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案.【小问1详解】，，，小问2详解】存在.，①当时，，满足，所以；②当时，，要满足，则，因为，所以或5；综上所述，或3或5.16.某地因地制宜，大力发展“生态水果特色种植”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）4千克；1152元.【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．【详解】（1）由已知（2）由（1）得当时，；当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时，.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是1152元.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.17.函数在区间上的最大值为6.（1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求得常数的值；（2）由，求解可得函数的单调递增区间；（3）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据余弦函数的对称中心结合整体思想即可求解．【小问1详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以函数的最大值为，所以，得；【小问2详解】由（1）得.由，解得.所以函数的单调递增区间为【小问3详解】由（1）得，把函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数.令，解得所以，函数的对称中心坐标为.18.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.（3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）为上的减函数；（3）【解析】【分析】（1）因为为上的奇函数，所以，代入可求；（2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明符号即可判断；（3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围．【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，，；（2）为上的减函数．任取，，，，，，，所以为上的减函数．（3）若不等式恒成立，，又为上的奇函数，所以又为上的减函数，所以对恒成立．即对恒成立．，，设，其对称轴为，时是增函数，所以，所以．【点睛】本题主要考查了奇函数的性质（定义域内有时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具．19.已知函数的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）（2）函数为奇函数，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）由已知求得，代入即可得；（2）函数为奇函数，利用奇函数的定义即可证明.（3）由题意可得，进而得的最大值可能是或，作差