导学案数学第十章103频率与概率

10.3频率与概率【学习目标】【素养达成】1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.数学抽象2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.数学建模3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率.数学运算、数据分析一、频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).【教材深化】1.频率随着试验次数的变化而变化,而概率是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关.2.在实际应用中,只要试验的次数足够多,所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率.3.概率是频率的稳定值.二、随机数1.随机数的概念:要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个容器中,充分搅拌后取出一个球,这个球上的数就称为随机数.2.产生随机数的方法(1)利用计算器或计算机软件产生随机数.(2)构建模拟试验产生随机数.3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.【教材挖掘】(P254探究)问题:重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,设事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”,统计A出现的次数并计算频率,再与概率比较,你发现了什么规律?提示:(1)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性.(2)从整体来看,频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较多时,波动幅度较小,但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小,只是波动幅度小的可能性更大.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)随机事件的频率和概率不可能相等.(×)提示:二者可能相等.(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.(×)提示:频率会发生变化,是变量,而概率是不变的,是客观存在的.(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小,而频率则不能.(×)提示:频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小.类型一频率与概率的关系(数学抽象)【典例1】下列说法一定正确的是()A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况B.一枚质地均匀的骰子掷一次得到2的概率是16C.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女D.随机事件发生的概率与试验次数无关【解析】选D.A错误,概率小不代表一定不发生;B错误,概率不等同于频率;C错误,概率是预测,不必然出现;D正确,随机事件发生的概率是频率的稳定值,与试验次数无关.【备选例题】有以下说法:①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的;②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖;③做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为310④某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品.其中错误说法的序号是________.

答案:①②③【解析】①中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故①错误;②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故②错误;③中正面朝上的频率为310,概率仍为12,故③错误;④中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件……次品,故④【总结升华】理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值.(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.(3)正确理解概率的意义,要清楚与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.【即学即练】已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%,则下列说法正确的是()A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物,那么有90人会被治愈B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈C.使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D.以上说法都不对【解析】选C.治愈某种疾病的概率为90%,说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%,但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病,只能说治愈的可能性较大.类型二用频率估计概率(数学建模、逻辑推理)【典例2】为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了10批试验,油菜籽的发芽试验相关数据如表:批次12345678910每批粒数2510701307001500200030005000发芽的粒数249601166371370178627094490(1)如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率?(2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征?(3)如何确定该油菜籽发芽的概率?【解析】(1)利用频率=发芽的粒数每批粒数,可求出每批油菜籽发芽的频率(2)批次1的频率为22=1,批次2的频率为45=0.8,批次3的频率为910=0.0.857,批次5的频率为116130≈0.892,批次6的频率为637700=0.91,批次7的频率为13701500≈0.913,批次8的频率为17862000(3)由(2)可知,当试验次数越来越多时,频率在0.9附近波动,由此估计该油菜籽发芽的概率为0.9.【总结升华】用频率估计概率(1)在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.(2)在用频率估计概率时,要注意试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会呈现出规律性,即在某个常数附近波动,且这个常数就是概率.【即学即练】对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如表所示:抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率;(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少?【解析】(1)抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.类型三游戏的公平性(数学运算、逻辑推理)【典例3】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?【解析】该方案是公平的,理由如下,各种情况如表所示,项目45671567826789378910由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1=612=12,(2)班代表获胜的概率P2=612=12,即P1=【总结升华】游戏规则公平的判断标准(1)在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.(2)例如:体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的等等.【补偿训练】在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5,甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上数字后,再将该小球放回箱子中摇匀,然后乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大,谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的样本点,则样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.(1)设甲获胜的事件为A,则事件A包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个.则P(A)=1025=2(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个.则P(B)=1025=25,所以P(C)=1P(B)=因为P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.类型四随机模拟法估计概率(数学运算、逻辑推理)【典例4】盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:(1)任取一球,得到白球;(2)任取三球(分三次,每次放回再取),都是白球.【解析】用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数,用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑