高等数学-(方向导数与梯度)

高等数学第1页课程相关教材及相关辅导用书《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社.8.《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,.7.

《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,.7.

《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编高等教育出版社,.8.第2页第九章多元函数微分学

9.1多元函数基本概念9.2偏导数

9.3全微分

9.4多元复合函数求导法则

9.5

隐函数求导公式

9.6多元函数微分学几何应用

9.7

方向导数与梯度9.8多元函数极值9.9综合例题第3页41.空间曲线切线与法平面切线方程法平面方程

参数式情况.空间光滑曲线切向量内容回顾第4页5空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况：法向量切平面方程2.曲面切平面与法线第5页6空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况：法线方向余弦法向量第6页

第九章第七节一、方向导数

二、梯度方向导数与梯度三、数量场和向量场第7页第七节方向导数与梯度一.方向导数

偏导数反应是函数沿坐标轴方向改变率,但许多物理现象告诉我们,除了考虑函数沿坐标轴方向变化率外,还应该考虑其它方向改变率.现在我们研究函数沿任一指定方向改变率问题.

xyP0(x0,y0)elP(x,y)Lαβ第8页一、方向导数定义

讨论函数在一点P沿某一方向改变率问题．第9页当沿着趋于时，是否存在？第10页记为方向导数几何意义第11页LCM0TP0PMl上式极限存在就意味曲线C在点P0

有唯一切线它关于方向斜率就是方向导数第12页证实因为函数可微，则增量可表示为两边同除以得到第13页故有方向导数第14页解第15页解由方向导数计算公式知第16页故第17页推广可得三元函数方向导数定义第18页解令故方向余弦为第19页故第20页二、梯度其中称为向量微分算子或Nabla算子.第21页所以梯度向量是使函数在一点方向导数到达最大值方向第22页第23页第24页在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图2梯度几何解释第25页所得曲线在xoy面上投影为平面曲线称为函数等值线方程两边微分：或者说：梯度方向就是等值线在这点法线方向。第26页等值线梯度为等值线上法向量第27页

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数方向一致，其模为方向导数最大值.梯度概念能够推广到三元函数第28页三元函数梯度几何解释：三元函数等值面：由切平面讨论，知梯度是等值面Σ在点(x,y,z)处法向量。故梯度向量在任何点都垂直于函数等值面，而且从函数值较小等值面指向函数值较大等值面。第29页梯度运算律类似于导数运算律其中C为常数。第30页解由梯度计算公式得故第31页例5.设函数解:(1)点P处切平面法向量为在点P(1,1,1)处切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快方向为沿此方向方向导数为注意:

对三元函数,与垂直方向有没有穷多第32页向量场VectorFields第33页第34页第35页第36页1、方向导数概念（注意方向导数与普通所说偏导数区分）三、小结•

三元函数在点沿方向l

(方向角方向导数为•二元函数在点方向导数为沿方向l

(方向角为第37页2、梯度概念（注意梯度是一个向量）•三元函数在点处梯度为•

二元函数在点处梯度为方向:

f改变率最大方向模:

f最大改变率之值•

梯度特点第38页3、方向导数与梯度关系方向导数存在偏导数存在•

可微