换元积分法和分部积分法

4.2换元积分法和分部积分法第四章一、第一类换元积分法三、分部积分法（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts

）二、第二类换元积分法第1页第二类换元法第一类换元法设可导,则有基本思绪

第2页在上次课中，我们学习了“不定积分概念和性质”给出了“基本积分公式表”。不过，对于形如这么积分，利用不定积分性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……第3页一、第一类换元积分法定理4.2.1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)证实过程请看书!第4页例4.2.11）求2）求补充例题1求解:令则故原式=第5页补充例题2求答案：补充例题3求答案：例4.2.4求解:例4.2.5求答案：第6页万能凑幂法惯用几个配元形式:

第7页解:原式=补充例题4求自主学习书本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8第8页例4.2.9

求解:例4.2.10

解:第9页解法2（与书本解法不一样）第10页补充例题5求解:原式=补充例题6求或第11页解补充例题7第12页补充例题8解:第13页补充例题9解:第14页解:补充例题10自主学习书本P141例4.2.11—例4.2.13第15页二、第二类换元法第一类换元法处理问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法.难求，第16页是单调可导函数,且含有原函数,证实略,详细过程可参见书本P142则有换元公式定理4.2.2

设反函数第17页例4.2.14计算1）解:第18页第19页补充例题11解:第20页第21页解:令则∴原式补充例题12求自主学习书本P142例4.2.142）第22页解:令则∴原式补充例题13

求自主学习书本P142例4.2.15第23页解:令则∴原式补充例题14

求第24页令于是自主学习书本P143例4.2.16第25页或从上面三个例子，能够看出假如被积函数含有：可作代换可作代换可作代换第26页解

于是第27页第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第三节讲第28页(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2.惯用基本积分公式补充

第29页第30页前面，我们利用复合函数求到法则得到了“换元积分法”

。不过，对于形如积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到，这些积分被积函数都有共同特点——都是两种不一样类型函数乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本积分方法：分部积分法.

函数乘积微分法则反过来用于求这类不定积分，第31页积分得:分部积分公式或1)v轻易求得;轻易计算.由导数乘法公式：第32页第四章（IntegrationbyParts）补充例题16解:令则∴原式另解:令则∴原式三、分部积分法答案第33页普通说来,当被积函数为以下形式之一时,可考虑利用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数(或反三角函数)之积,指数函数与三角函数(或反三角函数)之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数乘积.第34页把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”

次序,前者为后者为补充例题18求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:自主学习书本P144-P145例4.2.18与例4.2.19第35页答案：

.答案：

补充例题22答案：

补充例题23答案：

第36页解:令则∴原式补充例题24第37页解:令,则∴原式