工程力学（机械）课件：压杆稳定

工程力学

EngineeringMechanics压杆稳定工程力学

EngineeringMechanics19.1压杆稳定的概念19.2细长杆临界载荷的求法压杆稳定19.1压杆稳定的概念材料压缩实验试样为圆柱体，（属于短粗杆，避免压弯）。压杆稳定稳定性19.1压杆稳定的概念稳定的平衡状态不稳定的平衡状态：构件保持其原有平衡状态的能力压杆稳定构件的稳定性19.1压杆稳定的概念稳定性：构件保持其原有平衡状态的能力压杆稳定构件的稳定性19.1压杆稳定的概念稳定性：构件保持其原有平衡状态的能力压杆稳定19.1压杆稳定的概念由于压杆失稳造成的灾难加拿大魁北克大桥由三跨钢桁架梁组成，主跨549米，建造历经30年，施工期间两次发生垮塌事故：第一次在1907年8月29日由于桥下弦压杆稳定性失稳，75人丧生；第二次是中跨合龙时起吊设备局部构件断裂，13人丧生。大桥最终于1917年竣工运营。压杆稳定19.1压杆稳定的概念由于压杆失稳造成的灾难建筑工地的脚手架压杆稳定构件的稳定性19.1压杆稳定的概念稳定性：构件保持其原有平衡状态的能力AB(a)AB(c)AB(d)AB(b)撤去扰动压杆稳定性是研究压杆保持初始平衡状态能力的问题。横向微小扰动压杆稳定构件的稳定性19.1压杆稳定的概念稳定性：构件保持其原有平衡状态的能力ABABABAB(a)(b)(c)(d)横向微小扰动压杆不能保持其初始直线状态的平衡称为丧失稳定性（失稳、屈曲）临界载荷撤去扰动压杆稳定构件的稳定性19.1压杆稳定的概念稳定性：构件保持其原有平衡状态的能力ABABABAB(a)(b)(c)(d)横向微小扰动压杆不能保持其初始直线状态的平衡称为丧失稳定性（失稳、屈曲）临界载荷撤去扰动压杆的临界载荷为压杆保持直线形式平衡状态所能承受的最大载荷，或为使压杆丧失直线形式而变为微小弯曲状态下平衡状态所需要的最小载荷。压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法AB(a)lwxwAB(b)A(c)xwx19.2.1两端铰支压杆临界载荷的欧拉公式截面上的弯矩弯曲时的挠曲线近似微分方程记得通解为压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法19.2.1两端铰支压杆临界载荷的欧拉公式通解为边界条件因即或AB(a)lwxwAB(b)A(c)xwx压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法19.2.1两端铰支压杆临界载荷的欧拉公式最小非零解，就是压杆的临界载荷此时杆件的挠曲线为为正弦曲线半个波形AB(a)lwxwAB(b)A(c)xwx压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法临界载荷与杆的弯曲刚度EI

成正比，与杆长度l

的平方成反比。

杆的弯曲刚度越大，压杆的临界压力就越大，越不容易失稳；

杆的长度越大，临界压力越小，压杆越容易失稳。因压杆两端均为铰支（球铰支座），允许杆的端面绕任一方向转动，若杆在不同平面内的弯曲刚度EI

不等，则压杆总是在弯曲刚度最小的平面内发生弯曲，在计算压杆的临界压力时，截面的惯性矩I

应为横截面的最小惯性矩Imin两端铰支压杆临界载荷19.2.1两端铰支压杆临界载荷的欧拉公式压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法两端铰支压杆临界载荷19.2.1两端铰支压杆临界载荷的欧拉公式当压杆受临界载荷作用，且保持在直线平衡时，压杆横截面上的应力称为压杆的临界应力压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法19.2.2不同杆端约束情况下压杆临界载荷的欧拉公式其他杆端约束情况下压杆临界载荷的欧拉公式：压杆的相当长度（即相当于两端铰支压杆的长度）：长度因数(a)l(b)l(c)0.5l(d)0.7l曲线的拐点曲线的拐点曲线的拐点两端铰支一端固定另一端自由两端固定一端固定另一端铰支在相当长度上微弯变形的挠曲线均为正弦曲线的半个波形。两端铰支压杆临界载荷压杆稳定19.2细长杆临界载荷的求法19.2.2不同杆端约束情况下压杆临界载荷的欧拉公式其他杆端约束情况下压杆临界载荷的欧拉公式：压杆的相当长度（即相当于两端铰支压杆的长度）：长度因数在相当长度上微弯变形的挠曲线均为正弦曲线的半个波形。两端铰支压杆临界载荷杆端的约束越强，则μ

越小，压杆的临界载荷越高。杆端的约束越弱，则μ

越大，压杆的临界载荷越低。(a)l(b)l(c)0.5l(d)0.7l曲线的拐点曲线的拐点曲线的拐点两端铰支一端固定另一端自由两端固定一端固定另一端铰支这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。压杆稳定工程力学

EngineeringMechanics19.3临界应力总图19.4压杆的稳定性计算当压杆载荷达到临界值，且保持直线平衡时，压杆横截面上的应力称为压杆的临界应力压杆稳定19.3临界应力总图19.3.1欧拉公式的适用范围A为压杆的横截面面积令横截面的惯性半径，具有长度量纲。压杆的柔度或长细比，是无量纲量。综合反映了杆端约束情况、杆的长度和横截面几何性质对临界应力的影响。当压杆载荷达到临界值，且保持直线平衡时，压杆横截面上的应力称为压杆的临界应力压杆稳定19.3临界应力总图19.3.1欧拉公式的适用范围A为压杆的横截面面积令横截面的惯性半径，具有长度量纲。压杆的柔度或长细比，是无量纲量。综合反映了杆端约束情况、杆的长度和横截面几何性质对临界应力的影响。对于圆截面杆临界应力压杆稳定19.3临界应力总图19.3.1欧拉公式的适用范围基于挠曲线近似微分方程的欧拉公式只适用于杆内应力不超过材料比例极限或者记，则欧拉公式的适用范围应为。对于工程中常用的Q235A钢：，只有当λ≥λp=100时，才可使用欧拉公式。临界应力压杆稳定19.3临界应力总图19.3.1欧拉公式的适用范围基于挠曲线近似微分方程的欧拉公式只适用于杆内应力不超过材料比例极限或者记，则欧拉公式的适用范围应为。满足此条件的压杆称为大柔度压杆，也称为细长压杆。大柔度杆失稳时处于弹性范围，为弹性压杆。采用欧拉公式计算其稳定性。压杆稳定19.3临界应力总图19.3.2临界应力总图O小柔度杆中柔度杆大柔度杆CDAB大柔度杆中柔度杆小柔度杆塑性材料脆性材料发生弹性失稳发生弹塑性失稳，较为常见的情形不会失稳，会发生屈服压杆稳定19.3临界应力总图19.3.2临界应力总图中柔度杆大柔度杆小柔度杆发生弹性失稳发生弹塑性失稳不会失稳，会发生屈服压杆稳定19.3临界应力总图19.3.2临界应力总图中柔度杆大柔度杆小柔度杆发生弹性失稳发生弹塑性失稳不会失稳，会发生屈服压杆稳定19.4压杆的稳定性计算临界载荷Fcr

相当于压杆稳定性的破坏载荷或极限载荷。为了保证压杆不会丧失稳定性，须使其具有稳定安全储备，压杆所能承受的工作压力F

不仅要小于临界载荷Fcr，而且要小于压杆稳定许用载荷[Fst]。即：[nst]为规定的稳定安全因数，一般比强度安全因数大。压杆稳定19.4压杆的稳定性计算工程上，常写为：nst为临界载荷与实际工作压力的比值，称为工作安全因数。压杆实际具备的稳定安全因数必须不小于规定的稳定安全因数。这种稳定计算的方法称为安全因数法。这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.1合理选择材料对于细长压杆细长压杆的临界应力与材料的弹性模量E

成正比，因此，选用高弹性模量的材料可以提高压杆的稳定性。但是，由于细长压杆的临界应力与材料的强度指标无关，而各种钢材的弹性模量相差不大，因此，选用优质钢材与选用普通钢材相比对提高细长压杆的稳定性作用不大，反而浪费了材料。压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.1合理选择材料对于中长压杆，临界应力与材料的强度有关，由临界应力总图可知，对塑性材料，临界应力随着屈服极限σs和比例极限σp

的提高而增大，因此，选用优质钢材（高强度钢材）可以提高中长压杆的稳定性。压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.2减少柔度（1）减少压杆的长度压杆的柔度与压杆的长度成正比，因此，在结构允许的情况下，尽量减少压杆的长度，或增加中间支座，可明显提高压杆的稳定性。（2）改善杆端约束，即支承情况，减少长度因数

压杆两端的约束越强，长度因数的值就越小，柔度也就越小，其临界压力（临界载荷）也就越大。压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.2减少柔度（3）选择合理的截面形状截面的惯性半径越大，压杆的柔度越小。因此，当横截面面积一定时，尽可能地提高截面的惯性矩I。中空截面较优压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.2减少柔度（3）选择合理的截面形状柔度与压杆的长度、约束条件、截面形状和尺寸等因素有关，当压杆可能在不同的纵向平面内弯曲时，应综合考虑这些因素。使得压杆在各个纵向弯曲平面内的柔度尽可能相等，这样压杆在各个方向就尽可能具有相同的稳定性，从而充分发挥压杆失稳的能力。这种结构称为等稳定性结构。压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.2减少柔度（3）选择合理的截面形状压杆在各个方向就尽可能具有相同的稳定性，从而充分发挥压杆失稳的能力。等稳定性结构。较优压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.2减少柔度（3）选择合理的截面形状如果压杆在两个互相垂直的主平面（由各横截面同一惯性主轴组成）内支承不同。例如压杆两端的光滑圆柱铰链，xz

平面内轴销对杆的约束相当于铰支；而xy平面内轴销对杆的约束接近于固定端。压杆稳定19.5提高压杆稳定性的措施19.5.2减少柔度（3）选择合理的截面形状理想的设计：压杆在两个方向（分别与xz、xy平面垂直）的柔度相等。压杆在这两个平面内的长度因数μ不同，截面的惯性矩Iy

和Iz

也不同。这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(a)矩形截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)压杆为细长压杆压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(a)矩形截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)压杆为细长压杆临界应力采用欧拉公式计算压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(b)正方形截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)压杆为中柔度杆压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(b)正方形截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)临界应力采用直线经验公式计算压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(c)实心圆截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)压杆为中柔度杆压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(b)正方形截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)临界应力采用直线经验公式计算压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(d)空心圆截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(d)空心圆截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)压杆为短粗杆压杆稳定例图示两端固支的压杆，材料为Q235A钢，横截面面积A=3.2×102

mm2，E=210GPa，σs=235MPa，λp=100，λs=61.6，中柔度杆临界应力σcr=(304-1.12λ)

MPa，试分别计算图示四种截面压杆的临界载荷。压杆两端固支，长度因数μ=0.5。解(b)正方形截面3mdb2baa0.7DD(a)(b)(c)(d)临界应力按强度条件计算压杆稳定例两端球形铰支的细长矩形截面压杆，如图所示，杆的长度为l=2m，截面的宽度b=30mm，材料的弹性模量E=210GPa，试确定其临界载荷Fcr

和临界应力σcr。1.杆横截面对y、z

轴的惯性矩分别为解2.选用最小的惯性矩来计算临界载荷，临界应力压杆稳定例钢制成的细长压杆，长度为l=1m，截面为矩形，高h=30mm，宽b=10mm，两端为球铰支。材料的屈服极限为，弹性模量E=210GPa，试按强度和压杆稳定性分别计算其屈服载荷Fs

和临界载荷Fcr，并加以比较。1.杆的横截面面积为解2.杆横截面的最小惯性矩为3.屈服载荷为4.临界载荷为5.比较受压细长杆件的承载能力取决于稳定性，并非强度压杆稳定安全因数法2m1.5m0.5mOBKJ2m0.5mOBK例一简易吊车的托架如图所示，最大起重力F=18kN，已知杆JK

的横截面为外径D=6cm，内径d=4.5cm的空心圆截面，材料为Q235钢（其弹性模量E=206GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa

)，规定稳定安全因数[nst]=3.5，试校核此压杆是否稳定。压杆稳定例一简易吊车的托架如图所示，最大起重力F=18kN，已知杆JK

的横截面为外径D=6cm，内径d=4.5cm的空心圆截面，材料为Q235钢（其弹性模量E=206GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa

)，规定稳定安全因数[nst]=3.5，试校核此压杆是否稳定。安全因数法2m0.5mOBK解1.求JK

杆的轴力压杆稳定例一简易吊车的托架如图所示，最大起重力F=18kN，已知杆JK

的横截面为外径D=6cm，内径d=4.5cm的空心圆截面，材料为Q235钢（其弹性模量E=206GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa

)，规定稳定安全因数[nst]=3.5，试校核此压杆是否稳定。安全因数法2m0.5mOBK解1.求JK

杆的轴力2.判断JK

杆的压杆类型惯性半径压杆稳定例一简易吊车的托架如图所示，最大起重力F=18kN，已知杆JK

的横截面为外径D=6cm，内径d=4.5cm的空心圆截面，材料为Q235钢（其弹性模量E=206GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa

)，规定稳定安全因数[nst]=3.5，试校核此压杆是否稳定。安全因数法2m0.5mOBK解1.求JK

杆的轴力2.判断JK

杆的压杆类型柔度惯性半径大柔度压杆压杆稳定例一简易吊车的托架如图所示，最大起重力F=18kN，已知杆JK

的横截面为外径D=6cm，内径d=4.5cm的空心圆截面，材料为Q235钢（其弹性模量E=206GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa

)，规定稳定安全因数[nst]=3.5，试校核此压杆是否稳定。安全因数法2m0.5mOBK解1.求JK

杆的轴力2.判断JK

杆的压杆类型大柔度压杆3.压杆JK

杆的稳定性校核临界应力压杆稳定例一简易吊车的托架如图所示，最大起重力F=18kN，已知杆JK

的横截面为外径D=6cm，内径d=4.5cm的空心圆截面，材料为Q235钢（其弹性模量E=206GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，