工程力学（第2版）课件：位移法

工程力学

1位移法

11.1位移法的基本概念11.2等截面直杆的单元分析11.3位移法的基本原理11.4对称结构的利用11.5超静定结构在支座位移和温度改变影响下的位移法内力计算本章学习内容

11.1

位移法的基本概念11.1.1力法与位移法的区别11.1.2位移法解题需解决的问题1）确定结构上的哪些位移作为基本未知量。2）需要用力法计算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力。3）如何求出这些位移。11.1

位移法的基本概念11.2

等截面直杆的单元分析11.2.1位移法基本单跨梁位移法基本的单跨梁仅有三种形式:11.2.2杆端力和杆端位移的正负规定1）杆端转角θA、θB，弦转角β

=Δ/l都以顺时针为正，如图a所示。2）杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正，如图b所示。11.2

等截面直杆的单元分析11.2.3等截面直杆的形常数由单位杆端位移引起的三种单跨超静定梁的杆端内力称为形常数。令i=EI/l（称为线刚度），由力法可以求得各种情形的形常数，如表所示。11.2

等截面直杆的单元分析11.2.4等截面直杆的载常数由跨中荷载引起三种单跨超静定梁的杆端内力称为载常数，也叫固端内力。载常数也可按力法计算出来，如表所示。11.2

等截面直杆的单元分析11.2.4等截面直杆的载常数11.2

等截面直杆的单元分析11.2.4等截面直杆的载常数11.2

等截面直杆的单元分析11.2

等截面直杆的单元分析11.2.4等截面直杆的载常数11.2.5等截面直杆的转角位移方程（刚度方程）两端固定单跨梁在杆端位移和荷载共同作用下，利用形、载常数和叠加原理可得到杆端内力。转角位移方程（刚度方程）11.2

等截面直杆的单元分析11.2.5等截面直杆的转角位移方程（刚度方程）根据形、载常数和叠加原理，可建立各种因素共同作用下将杆端位移和杆端内力联系起来的杆端弯矩的单跨梁的转角位移方程。（1）两端固定梁（见图a）转角位移方程。

（2）一端固定一端铰支梁（见图b）转角位移方程。

（3）一端固定一端定向支承梁（见图c）转角位移方程。

（4）已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力。

11.2

等截面直杆的单元分析11.3

位移法的基本原理11.3.1位移法的基本思路在原结构的结点上附加约束（刚臂、支链杆），使其成为固定端或铰支端；将原结构变成了若干个单跨超静定梁的组合体，该组合体称为原结构的基本结构；形成基本结构所需附加的约束的数目即为基本未知量的数目；利用形常数表和载常数表得到各杆端内力，并利用附加约束处反力（反力偶）为零的条件建立位移法基本方程；解方程即得基本未知量，进而确定结构的杆端内力。11.3.1位移法的基本思路1.基本未知量结构的结点位移分两类：线位移和角位移。位移法基本未知量是结点的独立位移，当然未知量总数应该是独立线位移和独立角位移的和，即位移法基本未知量n=独立角位移个数nα+独立线位移个数nl。确定未知量总的原则是：在原结构的结点上逐渐加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。即：独立角位移个数=位移未知的刚结点个数；独立线位移个数=变刚结点为铰后，为使铰结体系几何不变所要加的最少链杆数（铰结体系几何不变，线位移数为零）。11.3

位移法的基本原理11.3.1位移法的基本思路2.基本结构确定了独立位移未知量，在结点上加约束消除独立位移，即得基本结构。对应线位移加支座链杆，对应角位移加限制转动的刚臂。在原结构的结点上附加约束（刚臂、支链杆）的原则：1）一般情况下，在结构的刚结点上附加刚臂，铰结点处不需加刚臂。2）如果结构受外界因素影响产生侧向或是竖向线位移，则独立线位移的个数即为附加支链杆数量，支链杆应附加在刚结点或是铰接点处，方向与位移方向相反。11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解题思路位移法有两种思路求解结点位移和杆端弯矩：平衡方程法和典型方程法。1.平衡方程法图a所示为二次超静定结构。在不考虑轴向变形的情况下，只有B结点能产生转角位移，作为广义位移记作Z1。广义平衡条件Z1得位移法方程11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解题思路平衡方程法解题步骤：1）确定位移法基本未知量。2）利用转角位移方程写出各杆端弯矩表达式。3）对每个角位移θi，建立结点的力矩平衡方程：对每个线位移Δj，建立截面投影平衡方程：，或4）联立求解由方程(11-5)、(11-6)组成的位移法方程，求出结点位移。5）将求得的结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩并绘最后弯矩图。6）根据M图由杆件平衡求FS，绘FS图，再根据FS图由结点投影平衡求FN，绘FN图。11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解题思路【例11-1】绘图a所示刚架的弯矩图。设1点发生顺时针转角11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解题思路【例11-2】绘图a所示刚架的弯矩图。设1、2两点的实际侧移为Z111.3

位移法的基本原理2.典型方程法先选图b为基本体系；使基本体系发生与原结构相同的结点位移；受相同的荷载，因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束力（矩）必须为零，即：R1=0，R2=0；Ri是基本体系在结点位移Z1、Z2和荷载共同作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩），按叠加原理Ri也等于各个因素分别作用时（如图c，d，e所示）产生的第i个附加约束中的反力（矩）之和。得位移法典型方程：11.3

位移法的基本原理3.位移法典型方程基本体系是令基本结构发生原结构待求的位移Zi（i=1,2……n）同时受有外因作用，从结点位移方面看基本体系和原结构没有了差别，但是由于待求位移Zi（i=1,2……n）和外因作用，第i个附加约束上将产生的约束总反力，显然这是和原结构仍然不同的。为了消除这一差别（原结构没有附加约束），第i个附加约束上的总反力应该等于零，也即Ri=0或

位移法典型方程11.3

位移法的基本原理注意：1）位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。2）位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中Rif表示基本体系在荷载作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；称为自由项。rijZj表示基本体系在Zj作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）。3)主系数rii表示基本体系在Zi=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；rii恒大于零。4)副系数rij表示基本体系在Zj=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有rij=rji，副系数可大于零、等于零或小于零。5)由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。11.3

位移法的基本原理【例11-3】绘制图a所示弯矩图。【解】根据1点处力的平衡，则有11.3

位移法的基本原理【例11-4】绘制图a所示弯矩图。【解】该体系有未知数2处，增加相应的刚臂后，根据力的平衡，则有11.3

位移法的基本原理求解步骤：1)确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。2)令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）等于零，列位移法典型方程。3)绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。4)解方程，求出结点位移。5)用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。6）根据M图由杆件平衡求FS，绘FS图，再根据FS图由结点投影平衡求FN，绘FN图。11.3

位移法的基本原理11.4

对称结构的利用作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。计算对称连续梁或对称刚架时，我们只需计算这些结构的半边结构就可以。此方法适用于力法和位移法。11.5超静定结构在支座位移和温度改变影响下的位移法内力计算11.5.1由于支座位移引起的超静定结构内力变化的计算【例11-5】已知图示a刚架的支座A顺时针转动0.01rad；支座B向下沉陷0.02L。试用位移法绘制弯矩图。方法一：（1）确定该结构的未知位移数目：如图b所示基本结构，由于支座发生位移会引起刚节点D产生角位移Z1和水平位移Z2，以及会引起铰节点B产生水平位移Z2。AD杆的A端转角θAB＝0.01,D端转角θDB＝Z1AD杆的侧位移ΔAD＝Z2，

旋转角βAD＝Z2/LCD杆的C端转角θCD＝0,D端转角θDC＝Z1CD杆的侧位移ΔCD＝－Z2，旋转角βCD＝ΔCD/L＝－Z2/LDB杆的D端转角θDB＝Z1DB杆的侧位移ΔDB＝0.02L，旋转角βCD＝ΔDB/L

＝0.0211.5超静定结构在支座位移和温度改变影响下的位移法内力计算（2）根据等截面直杆的载常数和形常数写出各杆端内力表达式：1）AD杆视为两端固定梁A端产生转角0.01rad,D端产生转角Z1，AD杆两端产生相对线位移ΔAD＝Z2MAD＝4iθA＋2iZ1－6iZ2/L＝0.04i＋2iZ1－6iZ2/LMDA＝4iZ1＋2iθA－6i2Z2/L＝4iZ1＋0.02i－6iZ2/LVAD＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L

VDA＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L

2）CD杆视为两端固定梁D端产生转角Z1，CD杆两端产生相对线位移ΔCD＝－Z2MCD＝0＋2iZ1＋6iZ2/L＝2iZ1＋6iZ2/LMDC＝4iZ1＋0＋6iZ2/L＝4iZ1＋6iZ2/LVCD＝－6iZ1/L－12iZ2/LVDC＝－6iZ1/L－12iZ2/L3）BD杆视为一端固定一端简支梁D端产生转角Z1，BD杆两端产生相对线位移ΔBD=0.02LMDB＝3iZ1－3iΔBD/L＝3iZ1－0.06iVDB＝－3iZ1/L＋3iΔBD/L2＝－3iZ1/L＋0.06/L

VBD＝－3iZ1/L＋3iΔBD/L2＝－3iZ1/L＋0.06i/L

11.5超静定结构在支座位移和温度改变影响下的位移法内力计算（3）建立位移法方程并求出未知的位移量Z1与Z3：取D结点为隔离体如图c所示，由∑MD＝0得

MDA＋MDC

＋MDB

＝0(4iZ1＋0.02i－6iZ2/L)＋(4iZ1＋0＋6iZ2/L)+(3iZ1－0.06i)＝011iZ1－0.04i＝0

解得Z1＝0.04/11＝4/1100＝1/275Z1＝1/275取DB杆为隔离体如图d所示：由∑X＝0得

VDA

－VDC

＝0(－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L)－(－6iZ1/L－12iZ2/L)＝024iZ1/L2－0.6i/L＝0解得：Z2＝L/400Z1＝1/275Z2＝L/400所得位移均为正值，说明结点D、B的实际位移方向与所假设的位移方向相同。（4）绘制最后弯矩图与剪力图将前面已求得的位移值Z1与Z3代入前面各杆端弯矩和剪力表达式，求出各杆端内力值，从而绘出该结构在支座移动下所产生的弯矩图与剪力图。1）绘制最后弯矩图MAD＝0.04i＋2iZ1－6iZ2/L＝0.04i＋2i×(1/275)－6i×(L/400)/L＝35.5i/1100MDA＝4iZ1＋0.02i－6iZ2/L＝4i×(1/275)＋0.02i－6i×(L/400)/L＝21.5i/1100MCD＝2iZ1＋6iZ2/L＝2i×(1/275)＋6i×(L/400)/L＝24.5i/1100MDC＝4iZ1＋6iZ2/L＝4i×(1/275)＋6i×(L/400)/L＝32.5i/1100MDB＝3iZ1－0.06i＝3i×(1/275)－0.06i＝－54i/11002）绘制最后剪力图

VAD＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2

－0.06i/L

＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

－0.06i/L＝－9i/1100LVDA＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2

－0.06i/L

＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

－0.06i/L＝－57i/1100LVCD＝－6i1Z1/L－12iZ2/L＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

＝9i/1100LVDC＝－6i1Z1/L－12iZ2/L＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

＝9i/1100LVDB＝－3iZ1/L＋0.06i/L＝－3i×(1/275)/L＋0.06i/L＝54i/1100LVBD＝－3iZ1/L＋0.06i/L＝－3i×(1/275)/L＋0.06i/L＝54i/1100L11.5超静定结构在支座位移和温度改变影响下的位移法内力计算方法二：（1）确定该结构的未知位移数目：同上（2）取基本结构如图b所示,写出位移法典型方程：

r11Z1

＋r12Z2

＋R1C

＝0r21Z1

＋r22Z2＋R2C

＝0

式中RiC分别表示基本结构单独在支座位移作用下在附加约束中产生的约束力。（3）求方程中的系数rii、rij和自由项RiCMFDB=-0.02L×3i/L=-3i/50MFDA=2i×0.01＝i/50MFAD=4i×0.01＝i/25

ＶFDA=－0.01×６i/Ｌ＝－3i/50L图g，由∑MD＝0可得：R1C＝MFDA＋MFDＢ＝0,R1C＝i/50

-3i/50

＝-i/25对DB杆隔离体由∑X＝0可得：R2C＝-3i/50

L图i，由∑MD＝0可得：r11＝4i＋3i＋4i＝11i对DB杆隔离体由∑X＝0可得：r21＝6i/L－6i/L＝0图k，由∑MD＝0可得：r12＝6i/L－6i/L＝0对DB杆隔离体由∑X＝0可得：r22＝12i/L2＋12i/L2＝24i/L211.5超静定结构在支座位移和温度改变影响下的位移法内力计算方法二：（4）将主系数rii、rij和数项Ric代入典型方程中得Z1和Z2：

r11Z1＋r12Z2＋R1C

＝0即:11iZ1＋0×Z2－i/25＝0r21Z1＋r22Z2＋R2C

＝0,0×Z1+24i/L2Z2-3i/50

L＝0解得：Z1＝1/275Z2＝L/400（5）求各杆端最后弯矩值

MAD＝4iθA＋2iZ1－6iZ2/L＋0＝4i×0.01＋2i/275－6i/L×L/400＝［(44＋2×4－16.5）i/1100］＝35.5i/1100(右侧受拉)MDA＝4iZ1

＋2iθA＋（－6iZ2/L）＋0＝4