第1课时　二次函数与面积、拱桥等问题 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

4二次函数的应用第1课时二次函数与面积、拱桥等问题栏目导航知识梳理考点梳理知识梳理求二次函数的最大(小)值(1)配方法将y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x=

时,函数y有最大(小)值,为

.

(2)公式法二次函数y=ax2+bx+c,当自变量x=

时,函数y有最大(小)值,为

.

hk[典例1]如图所示,一块边长分别为xm,ym的矩形草地由篱笆围着,并且由一条与长为xm的边平行的篱笆分开,篱笆总长为600m.(1)用含x的代数式表示矩形草地的面积S;考点梳理图形面积的最大值(2)求矩形草地的最大面积.[变式1]在美化校园的活动中,某兴趣小组借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用40m长的篱笆围成一个矩形花园ACBD(篱笆只围BD,BC两边),设BD=xm.(1)若花园的面积为396m2,求x的值;解:(1)BD=xm,则BC=(40-x)m.根据题意,得x(40-x)=396.解方程,得x1=18,x2=22.故x的值为18或22.(2)若有一棵树与墙CA,AD的距离分别是22m和16m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.拱桥、涵洞等抛物线型问题[典例2]某学校院墙上部是由100段形状相同的抛物线形护栏组成的,为了牢固起见,每段护栏需要间隔0.4m加设一根不锈钢支柱,护栏的最高点距护栏底部0.5m(如图所示),则这条护栏需要的不锈钢支柱的总长度至少为(

)A.50m B.100m C.120m D.160mD[变式2]如图所示,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地道宽AB为4m,顶部距离地面的高度为4.4m,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4m,该车要想过此门,装货后的最大高度为多少?解:建立如图所示的坐标系,根据题意,知A(-2,-4.4),B(2,-4.4),设这条抛物线的函数表达式为y=kx2.将点A的坐标代入,得y=-1.1x2.∵E,F两点的横坐标分别是-1.2和1.2,∴将x=1.2代入函数表达式,得y=-1.584,∴GH=CH-CG=4.4-1.584=2.816(m),因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m.利用二次函数解决抛物线型隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的表达式,通过表达式可解决一些测量问题或其他问题.栏目导航基础巩固练能力提升练素养培优练1.已知一个直角三角形两直角边长之和为16cm,则这个直角三角形的最大面积为(

)A.64cm2 B.32cm2 C.16cm2 D.不确定2.用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,则这个窗户的最大透光面积为(

)图形面积的最值问题基础巩固练BB(2)当x为何值时,侧面积S侧有最大值?拱桥、涵洞等抛物线型问题C5.如图所示,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O与水面的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时,水面的宽度为(

)A.0.4m B.0.6mC.0.8m D.1mC6.如图所示,小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面都是2.5m,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点与地面的距离为

m.

0.57.如图所示,隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m.(1)建立适当的平面直角坐标系,求出抛物线的函数表达式.(2)一大型货车装载设备后高为7m,宽为4m.如果隧道内设双向行驶车道,那么这辆货车能否安全通过?8.(2024鹤壁模拟)如图所示是某座抛物线形拱桥的示意图,已知水面AB宽48m,拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m,为保护该桥的安全,现要在该抛物线上的点E,F处安装两盏警示灯,若要保证两盏灯的水平距离EF是24m,则警示灯E距水面AB的高度为(

)A.12m B.11m C.10m D.9m能力提升练D9.如图所示,在长为20m,宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径,若小径的宽不超过1m,则花圃中的阴影部分面积的最小值为

m2.

24710.(2024甘肃改编)一汽车停车棚棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图所示,棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6,点B(6,2.68)在其图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4m,高DE=1.8m的矩形,则可判定该货车

完全停到车棚内(填“能”或“不能”).

能11.如图所示,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD.(1)在墙的长度不限的条件下,当AB边的长为多少米时,菜园的面积有最大值?最大值是多少?(2)在墙的长度为14米的条件下,当AB边的长为多少米时,菜园的面积有最大值?最大值是多少?解:(2)∵当0<x≤14时,y值随x值的增大而增大,∴当x=14时,y取得最大值,最大值为112.答:当AB边的长为14米时,菜园的面积最大,为112平方米.素养培优练12.有一个窗户,形状如图①所示,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?(不考虑窗框的宽度)这个题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大,约为1.0