数学专题综合测评附答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精专题综合测评（时间120分钟，满分150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1。点P的直角坐标为（1，-），则它的极坐标可能是A.(2，)B。(2,）C.（2,-）D。（2，）解析：因为点P(1，-）在第四象限,与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为(2，)，排除A、B选项。又因为-+2π=2，所以极坐标（2,）所表示的点在第二象限，排除D.答案：C2.已知动圆x2+y2—2axcosθ-2bysinθ=0（a、b是正常数，a≠b,θ是常数）,则圆心的轨迹是A。直线B.圆C。抛物线的一部分D.椭圆解析：x2+y2-2axcosθ—2bysinθ=(x—acosθ)2+(y-bsinθ）2—a2cos2θ-b2sin2θ.所以圆心坐标为（acosθ〉bsinθ）.由于，所以圆心的轨迹是椭圆。答案：D3.直线上对应t=0与t=1两点间的距离是A。1B。C.10D。解析：。答案:B4。圆ρ=（cosθ+sinθ)的圆心坐标是A.(1，）B.(，）C。(，)D.(2,）解析：因为ρ=（cosθ+sinθ）=2sin(θ+),所以由圆的极坐标方程得圆心坐标是（1，)。答案：A5.不论θ为何实数，方程2cosθ·x2+y2=1所表示的曲线都不能是A.直线B.圆C。抛物线D。双曲线解析:当2cosθ=0时，方程为y=±1，表示的曲线是两条直线;当2cosθ=1时，方程为x2+y2=1,表示的曲线是圆；当2cosθ〈0时，方程表示的曲线是双曲线。答案:C6.已知点A（—2，—）、B（,)、O（0，0),则△ABO为A。正三角形B。直角三角形C。等腰锐角三角形D.等腰直角三角形解析：可以先求出三边的长度再判断三角形的形状．答案：D7.已知直线方程（t为参数)，则下列说法中,错误的是A.直线的斜率是B。直线过点(3，－4）C.当t＝1时，直线方程所对应的点到点（3,－4）的距离是1D。该直线不经过第二象限解析：直线的斜率k=；当t＝0时，x＝3，y＝-4；当t＝1时，直线方程所对应的点为（7，-1），它与点(3，—4）的距离为＝5；当x＝3+4t＜0，即t<时,y=-4+3t＜－4＋3×（)＝＜0，所以该直线不经过第二象限.答案：C8.椭圆（θ为参数，且θ∈［0，2π））的两个焦点坐标是A.（—3,5）、（—3，-3）B.（3，3)、（3，-5)C。（1，1)、（-7,1）D.（7，1）、（—1，-1）解析:椭圆中心为（3，－1）,焦点在直线x=3上,a＝5,b＝3，c＝＝4.答案：B9.已知直线l：（t为参数）与椭圆x2＋2y2＝8交于A、B两点,则|AB｜等于A。2B.C。2D。解析：把x=1+t,y=—2+t代入椭圆方程中,整理得到3t2—6t+1=0，t1+t2＝2，t1t2＝.而｜AB｜＝。答案：B10.若曲线C:（θ为参数,θ∈R)与直线l：x=m交于相异的两点,那么A。m≥０B。m＞０C。0≤m≤１D。０＜m≤１解析：曲线C的普通方程为(y+1）2=x（0≤x≤1），表示抛物线的一段(如图所示)，当０＜m≤１时，直线l与曲线C有两个相异交点。答案：D11。直线l：(t为参数）与圆C：(θ为参数,θ∈［0,2π)）相切，则直线的倾斜角α为A。或B。或C。或D.或-解析:将参数方程化为普通方程，直线l：xtanα—y＝0（α≠），当α=时不合题意．圆C：(x-4)2＋y2＝4,它们相切的充要条件是，解得tanα＝±．又∵α∈[0，π），∴α＝或.答案:A12。椭圆的中心为点E(-1,0）,它的一个焦点为F（—3,0)，相应于焦点F的准线方程为x=-，则这个椭圆的方程为A.B.C。D。解析：椭圆的中心在E（—1，0)，则可设椭圆的方程为,从而排除了A、C．该椭圆相当于椭圆=1向左平移了1个单位得到的，故c＝－1－（－3）＝２。，∴a2＝５。故选D。答案：D二、填空题（每小题4分，共16分)13.极坐标方程4ρsin2=5化为直角坐标方程是______________。解析:先把原式变形，再代入互化公式。答案：y2=5x+。14。圆心为C(3,），半径为3的圆的极坐标方程为_____________。解析：可以直接代入圆的极坐标方程的公式求得．答案：ρ=6cos（θ-).15。直线的参数方程为则它与圆x2＋y2＝4的交点坐标为______________。解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t）2＋(1—t)2＝４，解得t1＝－１,t2＝１．分别代入直线方程，得所以交点为A（0,2)和B（2,0)。答案：（0，2）和（2，0）16。P（x,y)是曲线(α为参数,α∈［0，2π)）上任意一点，则的最大值为_______________。解析：曲线的普通方程为（x—2)2+y2＝1，表示以C(2，0)为圆心,1为半径的圆，P(x,y）是圆上任一点，的几何意义是圆上任一点P(x，y）与点Q（5,4）的距离d,由图可知，当PQ过圆心时，|PQ|取得最大值和最小值，最大值为|QC｜＋1,而｜QC|＝=5，｜QC|＋1＝6.答案：6三、解答题（17—21题每题12分,22题14分,共74分）17。已知P（5，），O为极点，求使△POP′是正三角形的P′点的坐标．解：假设P′点坐标是（ρ，θ），由OP＝OP′,得ρ=5.由∠POP′=，得θ=或π。则P′(5,）或P′(5,π）。18。△ABC的底边BC=10，∠A=∠B,以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹方程．思路分析：数形结合，由正弦定理直0接得出相等表达式,化简后得出结论．解：设M(ρ，θ)是曲线上任意一点,在△ABC中,由正弦定理得,得点A的轨迹是ρ=30-40sin2.19。如图,在平面直角坐标系中，已知点A（3,0)，P是圆x2+y2=1上一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程。思路分析:首先建立极坐标系，然后由面积S△OQA+S△OQP=S△OAP建立点之间的联系得出方程。解：以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q（ρ,θ）,P（1，2θ），∵S△OQA+S△OQP=S△OAP,∴×3ρsinθ+ρsinθ=×3×1×sin2θ,得ρ=cosθ.20.说明由函数y=2x的图象经过怎样的图象变换可以得到函数y=4x-3+1的图象．思路分析：按照图形平移变换和伸缩变换的规律求解．解:y=4x-3+1可变为y—1=22(x—3)．先把函数y=2x的图象按伸缩系数k=向着y轴压缩，得到y=22x的图象，再按向量a＝（3，1）平移,得到函数y=4x—3+1的图象．也可以先把函数y=2x的图象按向量a＝（6，1）平移，得到函数y=2x-6+1的图象，再按伸缩系数k=向着y轴压缩,得到y—1=22x-6的图象，即函数y=4x—3+1的图象.21.已知定点P（6，0）、Q（0，－4),动点C在椭圆＝1上运动(如图所示)．求△PQC面积的最大值和最小值．思路分析：因为动点C在椭圆＝１上运动，故可设出点C的坐标(3cosθ,2sinθ)，从而把△PQC的面积表示为θ的函数，再利用三角函数的知识求解.解：由题意，可求得直线PQ的方程为2x—3y-12=0，|PQ｜＝.已知椭圆的参数方程为(θ为参数,且0≤θ〈2π），则椭圆上点C(3cosθ，2sinθ）到直线PQ的距离d＝.显然，当θ＝时，d最大,且d最大值＝．此时S△PQC的最大值是×d最大值×|PQ|＝××＝12＋6;当θ＝时,d最小，d最小值＝，此时S△PQC的最小值为12-6。22。如图所示，当前热带风暴中心位于点O处,某海滨城市在它的西面220千米的点A处．风暴正以40千米每小时的速度向西偏北60°方向运动．已知距风暴中心200千米以内的地方都会受风暴侵袭，计算经过多长时间该城市会受风暴侵袭,侵袭会持续多长时间.思路分析：根据题意建立适当坐标系,将实际问题转化为数学问题解决.解：以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴建立如图所示的坐标系.以有向线段OP的数量u为变量，建立直线OP的方程设风暴中心处于点O时，时间为0,而到达点P的时间为t（小时)，则u＝40t,代入OP的参数方程，得记点A（