数学主动成长训练：两角和与差的余弦

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.设α∈（0,）,若sinα=,则cos(α+)等于(）A。B.C.-D.-解析：∵α∈（0，）,sinα=，∴cosα=。∴cos（α+）=（cosαcos-sinαsin)=(cosα-sinα）=cosα—sinα=。答案：B2.(cos-sin）（cos+sin）等于(）A.B。-C.D.解析：（cos—sin)（cos+sin)=cos·cos+cos·sin—cos·sin—sin·sin=cos·cos-sin·sin=cos=。答案：D3.在△ABC中，若sinA·cosB＜cosA·cosB,则△ABC一定为（)A。等边三角形B。直角三角形C.锐角三角形D。钝角三角形解析：由sinA·sinB＜cosA·cosB得cosA·cosB—sinA·sinB＜0得cos(A+B）＜0，即-cosC＜0,∴cosC＜0,∴C为钝角。答案：D4.cos（-15°)的值是（）A。B.C.D.解析：cos（-15°)=cos15°=cos(60°—45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=×+×=.答案：D5.若sinα-sinβ=1-，cosα—cosβ=,则cos（α-β）的值为()A.B。C。D。1解析:由sinα-sinβ=1—，得sin2α-2sinαsinβ+sin2β=。①由cosα—cosβ=，得cos2α—2cosαcosβ+cos2β=.②①+②,得1+1-2（cosαcosβ+sinαsinβ)=2—-2cos（α—β)=—。∴cos(α—β）=。答案:B6。已知cosα=,cos（α+β）=—，且α、β∈（0，），求cosβ的值。解析：由cosα=，α∈（0,),∴sinα=，又cos(α+β）=,0＜α+β＜π,∴sin（α+β）==。∴cosβ=cos［（α+β)—α］=cos（α+β)cosα+sin（α+β）sinα=（）×+，即有cosβ=.7.已知cos(α+β)=,cos(α-β）=—,＜α+β＜2π，＜α—β＜π，求cos2β。解析：因为＜α+β＜2π,cos（α+β)=，所以sin（α+β)=。又＜α—β＜π,cos(α-β)=,所以sin(α-β)=.故cos2α=cos［（α+β）+(α-β）］=cos(α+β）cos(α—β）—sin(α+β)sin（α-β)=×(）-(）×=；cos2β=cos［(α+β）-(α—β）］=cos（α+β）cos（α-β）+sin(α+β)sin（α-β）=—1.8。已知cos（+α)=,sin(—β）=,且0＜α＜＜β＜π，求cos（β—α)的值.解析：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜+α＜＜+β＜4.∵cos（+α）=＜0,∴＜+α＜。∴sin（+α)=。∵sin（-β)=sin［π—（+β)］=sin(+β）=＜0,∴＜+β＜π∴cos(+β)=。∴cos(β-α）=cos［（+β)（+α）］=cos(+β）cos（+α）+sin(+β）·sin(+α)=×(-)+×(）=.9。已知8cos（2α+β）+5cosβ=0,求tan(α+β）tanα的值.解析：∵8cos(2α+β）+5cosβ=0,∴有8cos［(α+β）+α］+5cos［（α+β）—α］=08cos（α+β)cosα—8sin（α+β)sinα+5cos(α+β)cosα+5sin(α+β）sinα=0.13cos(α+β）cosα-3sin（α+β)sinα=0，13cos(α+β)cosα=3sin(α+β）sinα，tan（α+β)tanα=.10.已知cos（α+)=,≤α＜,求cos（2α+)的值。解析：∵≤α＜,∴≤α+＜.又cos（α+)=＜0,∴＜α+＜.∴sin(α+）=.∴cosα=cos［(α+）—]=cos(α+）cos+sin(α+)sin=××=。又∵cos（α+)=cosαcos—sinαsin=（cosα-sinα)，∴cosα—sinα=cos（α+）=＞0.∴cosα＞sinα，而cosα=＜0.∴sinα＜0。∴sinα=。∴cos(2α+）=cos［(α+)+α］=cos(α+）cosα—sin(α+)·sinα=()-（）()=，即有cos（2α+）=。走近高考11。(经典回放)下列四个命题中的假命题是（)A.存在这样的α和β的值使得cos(α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC.对于任意的α和β有cos(α+β）=cosαcosβ—sinαsinβD.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ解析：对于A，当α=kπ(k∈Z）,β∈R时等式成立；对于B,由A知B不存在；对于C显然成立，对于D显然成立.答案:B12。(2006重庆高考，10）若α，β∈(0,）·cos(α—）=,sin（-β）=—，则cos（α+β）的值等于（）A。-B。C.D。解析：∵α、β∈（0,)，∴α-∈（-，）,—β∈(-，）.∵cos（α—）=,∴α-=±，又∵sin（-β）=-，∴-β=-，由得此时cos(α+β)=cos=。由得不符合题意舍去，综上可得cos（α+β）=。答案:B13.(2005上海高考，6)若cosα=，α∈（0，)则cos（α+）=______________.解析：cosα=，α∈(0，).∴sinα=,∴cos(α+）=cosαcos-sinαsin=×=。答案:14.(2006陕西高考）cos43°cos77°+si