数学知识巧解学案：任意角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、任意角的三角函数1.如图1-2-2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y)，那么y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；叫做α的正切，记作tanα=（x≠0).像这种以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数。图1-2—22.利用角α的终边上任意一点P的坐标来定义三角函数.设α是一个任意角，α的终边上一点P(除端点外）的坐标是（x，y),它与原点的距离是r(),如图1—2—3所示。图1-2-3那么，比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=;比值叫做α的余弦，记作cosα,即cosα=；比值叫做α的正切,记作tanα，即tanα=；比值叫做角α的余切,记作cotα=；比值叫做角α的正割,记作secα=；比值叫做角α的余割，记作cscα=。这些函数都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.明确各个三角函数的记法的意义sinα、cosα、tanα等都表示一个整体，离开自变量α的sin、cos、tan等都是没有意义的。sinα并不表示“sin"与“α”的乘积，就像函数“f(x）”不表示“f"与“x”的乘积一样，sinα是一个比值，例如sin，它表示的正弦值，即.同理，cosα、tanα的意义也是一样的.二、三角函数的定义域由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它的定义域的每一个值应使相应的比值有意义，即使比值的分母不等于零。设点P（x,y），当x=0时，角α的终边落在y轴上，终边落在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ，k∈Z};当y=0时，角α的终边落在x轴上,终边落在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}.由三个三角函数的定义可知它们的定义域是：三角函数定义域sinαRcosαRTanα{α｜α≠+kπ，k∈Z}同理，角α的余切、角α的正割、角α的余割的定义域分别是:三角函数定义域cotα{α｜α≠kπ,k∈Z}secα｛α｜α≠+kπ,k∈Z｝cscα{α|α≠kπ，k∈Z}学法一得函数是由定义域及定义域到值域上的对应关系构成的，它的定义域是使函数有意义的自变量x的集合.三角函数的自变量的取值应使比值有意义，可以此来确定它的定义域。三、任意角α的三角函数值与角α终边上点P的位置无关如图1—2-4，在角α的终边上再作一点P′（x′，y′),它与原点的距离为，分别过点P、P′作PA⊥x轴于点A，P′B⊥x轴于点B，显然△OPA∽△OP′B,则由相似三角形的性质可得，无论角α的终边落在哪个象限,都有y与y′同号，x与x′同号,所以以上三式可化为，即对于确定的角α,这三个比值（如果有意义的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.也就是说,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.图1-2—4学法一得用α的终边同单位圆的交点来定义任意角的三角函数是用角α终边上任一点来定义三角函数的特例。四、任意角的三角函数值的符号因为sinα=，由于r＞0恒成立，当点P(x，y）位于第一、二象限时，y＞0;位于第三、四象限时,y＜0。所以当α位于第一、二象限时，sinα＞0;当α位于第三、四象限时，sinα＜0；同理,当α位于第一、四象限时，cosα＞0;当α位于第二、三象限时，cosα＜0.当α位于第一、三象限时，tanα＞0;当α位于第二、四象限时，tanα＜0.关于这三种三角函数值在各个象限的符号可用图1-2-5记忆。图1-2-5记忆要诀三角函数在各象限的符号可用以下口诀记忆:“一全正,二正弦，三两切，四余弦”。其含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正余切为正，在第四象限余弦为正.还可简记为“全、s、t、c”四字.五、终边相同的角的同一三角函数值相等把角α推广到一般形式，由任意角的三角函数的定义可知sin(α+k·360°）=sinαcos（α+k·360°)=cosαtan(α+k·360°)=tanα,其中k∈Z（公式一）这一组结论我们称之为诱导公式一，其作用在于将绝对值较大的角化小。六、三角函数线1.由任意角的三角函数的定义可知sinα=，cosα=，tanα=，它们是三角函数的一种代数形式,由于角α的三角函数值与点P（x，y）的位置无关，只与角α的终边位置有关，因此，可设法使点P(x,y）满足,使点P的位置位于一个特殊点，此时sinα=y，cosα=x,使三角函数值变得更简单。2.如图1—2-6，设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y）,过点P作x轴的垂线，垂足为M,过点A（1，0）作单位圆的切线，设它与角α的终边(α位于第一、四象限时）或其反向延长线(当α位于第二、三象限时）相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴）。图1-2—6则有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.它们是三角函数的一种几何表示形式，当角α的终边位于四个象限内时，三条有向线段中有两条在圆内，一条在圆外，由于它们使代数表示形式中的分母都变为了1,所以形式更加简单、形象、直观。特别地，当角α的终边落在x轴上时,正弦线、正切线变成一个点;当角α的终边落在y轴上时，余弦线变成一个点,正切线不存在.3.用字母表示有向线段时，总是把起点的字母写在前面,终点的字母写在后面，有向线段的长度表示大小，符号表示方向。规定余弦线以原点为起点，正弦线和正切线均以此线段与坐标轴的公共点为起点.同坐标轴的正方向一致的有向线段为正值，反之为负值.这样,可保证有向线段的取值同点P坐标的一致性.学法一得三角函数线是当点P为终边上的特殊点时的三角函数的表示形式。三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值。由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到特殊的定义应用过程。三角函数在各象限的符号也可以根据画出的三角函数线的方向记忆。三角函数线的主要作用是解三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.典题•热题知识点一求特殊角的三角函数值例1求下列各角的三个三角函数值.（1)0；(2)π；（3)；(4）。思路分析:求特殊角的三角函数值的关键是确定该角与单位圆的交点坐标。解:（1)因为当α=0时,x=1,y=0，所以sin0=y=0,cos0=x=1，tan0=。(2）因为α=π时，x=—1,y=0，所以sinπ=y=0，cosπ=x=—1,tanπ=.(3)因为α=时，x=0,y=-1,所以sin=y=—1，cos=x=0,tan不存在.(4)如图1—2—7，在直角坐标系中,作∠AOB=，图1—2—7过点B作BC⊥x轴于点C,则∠BOC=，易知∠AOB的终边与单位圆的交点B(，).所以，，。知识点二确定角α终边上一点的坐标，求α的各个三角函数值例2已知角α的终边在直线y=-3x上,用三角函数的定义求α的三个三角函数值。思路分析：可先利用方程在角α终边上找到任意一点的坐标，再求解.解:设点P(a，—3a）(a≠0）是角α终边上一点，则。当a＞0时，r=，此时sinα，cosα=，tanα=；当a＜0时,r=，此时sinα=，cosα=，tanα=-3。方法归纳由于任意角α的三角函数值仅与角α的大小有关，而与角α的终边上点的坐标无关，因此,若已知角α的终边上任一异于原点的点的坐标，都可直接利用定义求值.知识点三化简或证明三角恒等式例3求证:。思路分析：可利用任意角的三角函数的意义，将角α的三角函数用x、y、r（x2+y2=r2)表示出来，转化为证明关于x、y或x、y、r的恒等式.证明：设点P（x，y)是角α终边与单位圆的交点(x2+y2=1）,由三角函数的定义可知sinα=y，cosα=x.因为左边—右边==0。所以原式成立.方法归纳三角恒等式的证明，若未给出特别说明，则认为是在两边都有意义的情况下进行的。证明恒等式常见的方法有：①比较法；②从一边开始证明它等于另一边；③证明左右两边等于同一式子；④先证明某一等式成立，再证明需要的式子成立等。知识点四任意角的三角函数值的符号例4若sin2α＞0,且cosα＜0，试确定角α所在的象限.思路分析：先由sin2α＞0，结合任意角的三角函数的定义确定2α所在的象限，再进一步确定α所在的象限。解：∵sin2α＞0，∴2kπ＜2α＜2kπ+π,k∈Z.∴kπ＜α＜kπ+，k∈Z.∴角α位于一、三象限。又∵cosα＜0，∴α位于二、三象限或x轴的负半轴上。综上可知，角α是第三象限角。例5已知角α的终边经过点P(—x，—6)，且cosα=,求tanα的值。思路分析：可先由任意角的三角函数的定义确定x的值，再由该定义确定tanα的值.解:∵P（-x,—6),∴，由cosα=，得x=±.又∵cosα=＜0，∴α位于二、三象限。又∵-6＜0，∴α位于第三象限.∴x=。∴tanα=。方法归纳根据任意角α的不同三角函数值在各个象限的符号不同，可用来确定角α所在的象限,解决与角α所在的象限有关的三角函数的求值问题.知识点五终边相同的角的同一三角函数值相等例6求值:（1)sin（-1740°)·cos1470°+cos(—660°）·sin750°+tan405°；(2)sin2+tan2(-）·tan.思路分析：利用诱导公式一，将任意角的三角函数值转化成0°到360°或0到2π内的三角函数值，再求值.解:（1）原式=sin（60°-5×360°)·cos（30°+4×360°)+cos（60°-2×360°)·sin（30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=2.（2）原式=sin2（+4π）+tan2(—2π）·tan（+2π）=sin2+tan2·tan=。方法归纳任意角的三角函数的定义是锐角的三角函数定义的推广,它的函数值是一个与实数相对应的比值。该实数值的大小与点P在终边上的位置无关，仅与角α的大小有关.利用该定义，可用来确定函数的定义域、各三角函数值在不同象限的符号、化简任意角的三角函数值等，熟练掌握该定义是学好其他问题的关键。知识点六三角函数线例7作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1);（2)；(3)；（4）.思路分析:作角α的三角函数线的关键是画出单位圆和角α的终边。解：图1—2-8各个圆中的有向线段MP、OM、AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.例8在单位圆中作出适合下列条件的角α的终边.(1）sinα=；(2)cosα=；（3)tanα=1.思路分析：由三角函数线的定义，可知对于正弦函数sinα=，余弦函数cosα=，只需分别作直线y=，x=,它们与单位圆的交点同原点O的连线即为角α的终边；对于正切函数tanα=1,只需在过点A(1，0）的圆的切线上截取AT=1，连结OT与单位圆相交于两点,该直线即为所求。解：（1)(2）（3)图1—2—9图1—2-9中的OP、OQ即为所求角α的终边.例9求函数的定义域。思路分析:由于题目只给出了解析式y=f（x)，而没有指明它的定义域，所以它的定义域应是使这个式子有意义的实数的集合.解三角不等式时，可借助于单位圆中的三角函数线求解。解：要使有意义,必须满足sinx≥0；要使lg（9—x2）有意义，必须满足9—x2＞0；要使分母有意义，需满足cosx＞0.所以要使函数f（x）有意义,则（k∈Z）（k∈Z）0≤x＜,即函数f(x）的定义域是x∈［0，]。方法归纳三角函数线是三角函数的一种几何表示形式。若已知角α的大小，则它的三角函数的大小可用它的三角函数线表示出来；反过来，若已知角α的三角函数值的大小，则可找到角α的终边。利用三角函数线可以解简单的三角不等式、求定义域、比较函数值的大小,同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.问题•探究交流讨论探究问题若角α是锐角，则α、sinα、tanα的大小关系是怎样的？探究过程：学生甲:三角函数线是单位圆中的有向线段,利用它们可以比较三角函数值的大小,利用这种方法可以比较sinα和tanα的大小关系，如图1—2-10（1），角α的正弦线MP和正切线AT的方向均与y轴的正向相同，则AT的长度大于MP的长度，则应有sinα＜tanα。（1）学生乙：只利用三角函数线不能比较α和sinα的大小关系，但我可以构造一个三角形和一个扇形，利用它们的面积来比较α、sinα的大小，如图1-2-10（2)，扇形OAP的面积大于△OAP的面积，且S△OAP=OA·MP=MP=sinα，S扇形OAP=OA·=α。所以应有sinα＜α，即sinα＜α.再结合同学甲的结论，则应有sinα＜α＜tanα.(2）学生丙:受同学乙的启发，我可以比较α和tanα的大小，如图1—2-10(3）,在图中,扇形OAP的面积小于Rt△OAT的面积，且S扇形OAP=OA·=α,S△OAT=OA·AT=AT=tanα，则有α＜tanα，即α＜tanα。(3)图1—2-10探究结论：若角α是锐角，则α、sinα、tanα的大小关系是sinα＜α＜tanα。思想方法探究问题1单位圆与三角函数线是三角函数值的直观表示，它在证明三角函数问题中有什么作用?探究过程：利用单位圆和三角函数线可以将问题中各量用它的几何形式直观表示出来,然后再通过图形分析即可解决问题。如三角中常见的不等式tanα＞α＞sinα（0＜α＜)，就可以利用单位圆与三角函数线非常方便地证明.探究结论：利用三角函数线，数形结合，使问题得以简化.这个不等式既不是单纯的三角不等式，又不是单纯的代数不等式，而是“混合型”的不等式，证明的方法使用了面积关系，证题的基础是弧度制与三角函数线。由此，三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具。问题2三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题,那么三角函数的化简与证明有哪些常用方法？应当注意些什么问题?探究过程：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结.①化简三角函数时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等