数学知识巧解学案：平面向量基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的基本定理平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.误区警示(1）定理中的e1、e2是两个不共线向量;(2)a是平面内任一向量，且实数对λ1、λ2是唯一的；（3）平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底.二、向量的夹角1。已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作=a,=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做a与b的夹角。学法一得(1)当向量a与b不共线时，a与b的夹角θ是指从同一点出发的向量a与b所成的角，θ∈(0°,180°）。(2)当向量a与b共线时，若同向，则θ=0°；若反向，则θ=180°。综合可知：向量a与b的夹角θ∈［0°，180°］。2。a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直,记作a⊥b。典题•热题知识点一平面向量的基本定理例1如图2—3—3,ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、、和。图2—3—3思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系.解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b，∴==(a+b）=a—b，==(a—b）=a-b,==a+b，=—=a+b.方法归纳由平面向量基本定理可知，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时就能够很容易地证明几何命题.例2如图2—3-4，OADB是以向量=a,=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD,试用a、b表示、、.图2解：∵=-=a—b，===a-b,∴=+=b+a-b=a+b。又∵=a+b，得==a+b.∴=-=a—b。例3已知梯形ABCD，AB∥CD，M、N是DA、BC的中点，设=e1、=e2，以e1、e2为基底表示、、.思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、、与、之间的关系.解：(1)∵∥，∴存在唯一的实数k,使=k·，即=ke2(0＜k＜1)。图23-5（2)由图2-3—5,可知=—=e1—e2而=+=e1-e2+ke2=e1+(k-1)e2(0＜k＜1)。（3)=（+)=(e2+ke2)=(k+1)e2(0＜k＜1）.知识点二判定动点P在定直线AB上例4设、、OP是三个有共同起点的不共线向量,求证:它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且=+.证明：（1)由三点共线m、n满足的条件.若A、B、P三点共线，则与共线,由向量共线的条件知存在实数λ使=λ，即—=λ(-)，∴=（1-λ)+λ。令m=1—λ，n=λ，则=m+n且m+n=1。（2)由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线。若=m+n且m+n=1，则=m+（1-m)，则-=m（-），即=m.∴与共线。∴A、B、P三点共线.由（1）（2)可知，原命题是成立的.思考一下,若m=n=时，如何表示?P点在什么位置？方法归纳由上题证明可知:对直线AB上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式=（1-t)+t（*)，反之，对每一个数值t，在直线AB上都有唯一的一个点P与之对应；向量式（*)叫做直线AB的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数，简称参数。此结论为我们提供了判定动点P在定直线AB上的一种方法。当t=时，=(+）,此时P为线段AB的中点，这个公式就是线段AB的中点的向量表达式。知识点三向量的夹角例5试指出图2-图2答案:（1）∠AOB=θ为两向量的夹角；(2)与的夹角为0°，两向量同向共线;（3)与的夹角为180°，两向量异向共线；（4)两向量的夹角为θ。知识点四利用向量证明三点共线例6设两非零向量e1和e2不共线。（1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1，—e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线。思路分析：要证明A、B、D三点共线，需证存在λ，使=λ(e1+e2）即可.而若ke1+e2与e1+ke2共线，则一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2）。解：(1）∵=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，∴、共线.又因两向量有公共点B，∴A、B、D三点共线。(2）∵ke1+e2与e1+ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2），则（k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线，只能有则k=±1。方法归纳证明三点共线，可结合题目条件,把e1与e2看作一组基底，从三点中任选两点组成的向量,用e1与e2表示出来,依据向量共线的条件判定向量共线，又因为这两个向量有共同点，所以可证三点共线.问题•探究方案设计探究问题平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示,这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.探究过程：如图2-3—7，设直线l的倾斜角为α（α≠90°).在l上任取两个不同的点P1（x1，y1），P2(x2,y2)，不妨设向量的方向是向上的,那么向量的坐标是（x2—x1,y2—y1）.过原点作向量=，则点P的坐标是(x2—x1,y2—y1）,而且直线的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，得tanα=。图2探究结论：k=tanα=就是《数学2》中已经得到的斜率公式，上述推导过程比《数学2》中的推导过程简捷的多，由此可见向量作为工具是非常有用的.交流讨论探究问题我们本节学习了基底的定义，你认为人民币中的元、角、分可以作为基底吗?探究思路:学生甲：基,是事物发展的根本或起点,被看作一个单位的对象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表达全部事物中任一事物的数量最少的单位对象的集合.在我们的生活中,人民币的计数单位有元、角、分，表示任意币值的基底是“元”，如10万元,2亿元等.学生乙：这些不能用“角”作为基底来表示吗？学生甲：当然也可以是“角”,更可以是“分”，但由于元、角、分之间存在着换算关系“1元=10