数学知识巧解学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β）中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β）中,角α、β也是任意角。2.用两点间的距离公式推导C（α+β）.图3—1-5如图3—1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边,作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4,再以OP2为始边，作角β,使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、—β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2（x，y），根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2（cosα,sinα）；同理，可得P3（cos（α+β），sin（α+β)),P4(cos(—β），sin(-β））.由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以｜P1P3|=｜P2P4｜.|P1P3｜2=｜P2P4|2，即［cos(α+β）—1］2+sin2(α+β)=［cos（—β）—cosα］2+[sin（—β）-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系，整理得2-2cos(α+β）=2-2（cosαcosβ—sinαsinβ）,即cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ。3。利用向量的数量积推导C(α+β）。图3如图3—显然，=（cosα,sinα）,=（cos（—β)，sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=（cosα,sinα)·（cos(-β），sin(—β)）=cosαcos（-β）+sinαsin(-β)=cosαcosβ—sinαsinβ。于是cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想。②以任意角的三角函数的定义为载体,我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式。熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键。记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin（α-β）=cos［-(α—β)］=cos［（-α)+β]=cos(-α)cosβ-sin（—α）sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β,即可得到sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.2。和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π—α）=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα—1×sinα=—sinα。当α或β中有一个角是的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角.误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β）≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点。学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin（α+β)和cos(α+β）展开，而应当整体考察，进行如下变形:sin（α+β）cosβ—cos（α+β)sinβ=sin[(α+β)—β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相同。三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan（α+β)=，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式:tan（α+β)=，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式:tan(α-β)=。2。公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在。并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+,β≠kπ+，α+β≠kπ+或α-β≠kπ+，以上k∈Z。当tanα、tanβ、tan（α±β）不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.学法一得两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段,如tanα+tanβ=tan（α+β)(1—tanαtanβ)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题。所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了。典题•热题知识点一所求角可表示成两个特殊角的和、差例1求sin75°，tan15°的值。解：sin75°=sin（45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=；tan15°=tan（60°—45°）=,或tan15°=tan(45°-30°）=.例2求的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°—8°,15°=8°+7°,8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式,都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°—8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下。答案：原式=.巧解提示:原式==tan15°=tan（45°-30°).方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成。因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点。无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母。知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3已知sinα=，求cos(+α)的值。思路分析:因为是个特殊角，所以根据C（α+β）的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论,先求cosα的值，再代入展开式确定cos(+α)的值.解：∵sinα=〉0，∴α位于第一、二象限。当α是第一象限角时，cosα=，∴cos（+α）=coscosα—sinsinα=；同理，当α是第二象限角时,cosα=，∴cos（+α)=。方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β）、T（α±β）的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的。其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos（π+α)、cos（+α）这样的函数求值，由于它们的角与的整数倍有关,所以无需按它们的展开式求值,直接利用诱导公式可能更简单.例4已知cos(α-)=，sin（—β）=，并且＜α＜π，0＜β＜,求的值。思路分析：观察给出的角，结合公式C（α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α—）、cos(-β）的值即可。解：∵＜α＜π,0＜β＜,∴＜＜，0＜＜。∴＜α—＜π，—＜—β＜。又∵cos(α-）=＜0，∴。∴。同理,∵sin（-β）=〉0，∴。∴。故=cos（α—)cos（-β）+sin(α-)sin（—β)。例5在△ABC中，sinA=，cosB=，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题。若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解,所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.解：∵cosB=，∴B∈（,）且sinB=。∵sinA=，∴A∈（0，)∪（,π).若A∈(,π),B∈(,),则A+B∈（π,）与A+B+C=π矛盾,∴A(,π)。因此A∈（0，)且cosA=。从而cosC=cos［π—(A+B)］=-cos（A+B)=—cosAcosB+sinAsinB=.例6如图3—1-图3思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值.解：设∠xOP=α。因为|OP｜=，所以cosα=,sinα=。因为x′=5cos(α+45°）=5(cosαcos45°—sinαsin45°）,同理,可求得y′=5sin(α+45°）=，所以P′(，)。方法归纳①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一;已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值。②一般地,90°±α,270°±α的三角函数值,等于α的余名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中,要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来,所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来。知识点三已知三角函数值求角例7已知sinα=，sinβ=,且α、β都是锐角，求α+β的值.思路分析:(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β)。(2）由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cosα、cosβ即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx在(0,π）上是减函数，从而根据cos(α+β）的值即可求出α+β的值。解:∵sinα=，sinβ=，且α、β都是锐角,∴cosα=，cosβ=.∴cos(α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ=。又∵0＜α+β＜π，∴α+β=.方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值。知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8已知3sinβ=sin(2α+β）,求证:tan（α+β)=2tanα。思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β,结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=（α+β)—α，2α+β=(α+β）+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β）-α]=3sin（α+β）cosα-3cos(α+β）sinα，sin(2α+β）=sin［（α+β）+α］=sin（α+β)cosα+cos（α+β）sinα，又3sinβ=sin（2α+β），∴3sin（α+β）cosα-3cos(α+β）sinα=sin(α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴2sin（α+β）cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan（α+β)=2tanα。方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂,可同时化简它们,直到找到它们间的联系。知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9用和、差公式证明tan12°+tan18°+tan12°·tan18°=。解：∵=tan(12°+18°)=tan30°=，∴tan12°+tan18°=(1—tan12°·tan18°)，即左边=(1—tan12°tan18°)+tan12°tan18°==右边。∴tan12°+tan18°+tan12°·tan18°=.方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的。例10求（1+tan1°)（1+tan2°）（1+tan3°）……(1+tan45°）的值。解：因为α+β=45°时，tan（α+β）==1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即（1+tanα)（1+tanβ）=2.于是（1+tan1°)（1+tan44°）=(1+tan2°)（1+tan43°）=……=（1+tan22°)(1+tan23°）=2。又因为1+tan45°=2，所以原式=223。方法归纳当α+β=kπ+,k∈Z时，(1+tanα)（1+tanβ）=2；当α+β=kπ—，k∈Z时,（1+tanα）(1+tanβ）=2tanαtanβ。问题•探究思想方法探究问题1在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题?探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要,这也是学好三角函数的基本功.如：cos（α-β）cosβ-sin(α—β）sinβ化简为__________。将α-β看作一个角，β看作另一个角，则cos(α-β）cosβ-sin（α-β)sinβ=cos［(α-β）+β]=cosα.解答本题时不仅利用角的变换：α=（α-β）+β，同时运用了公式的逆向变换。探究结论：两角和的正切公式tan（α+β)=.除了掌握其正向使用之外,还需