数学知识导引系统抽样

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精6。1．2系统抽样案例探究某高一年级共有20个班,每班有50名同学，为了了解高一学生的视力状况，从这1000名学生中抽取100名作为样本进行检查应该怎样抽取？分析：本题总体元素个数较大，样本容量也较大,采用简单随机抽样，比较费事.这时，我们可以按照这样的方法来抽样：首先将这1000名学生从1开始进行编号，然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取，由于1000:100=10，这个间隔可以定为10，即从号码为1~10的第一个间隔中随机的抽取一个号码，假如抽到的是6号，然后从第6号开始，每隔10个号码抽取一个，得到6，16，26,36，46，…,996。这样我们就得到一个容量为50的样本。这种抽样方法是一种系统抽样.将总体分成均衡的若干部分，按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需样本的抽样叫做系统抽样.一般的，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本我们可以按下列步骤进行系统抽样:第一步：先将总体的N个个体进行编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；第二步:确定分段间隔k对编号进行分段，当N/n（n是样本容量）是整数时，取k=N/n;第三步：在第一段用简单随机抽样确定一个个体编号m(m≤k）;第四步：按照一定的规则抽取样本,通常是将m加上间隔k得到第二个个体编号（m+k），再加k得到第三个个体编号（m+2k)，依次进行下去,直到获取整个样本。注意:当N/n不是正整数时，令k=［N/n]，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除N—nk个个体，再将其余的编号均分成k段。如：若用系统抽样的方法从由21个个体组成的总体中抽一个容量为5的样本，可如下操作：第一步：将21个个体用随机方式编号;第二步:从总体剔除一个个体（剔除方法可用随机数表法），将剩下的20个个体重新进行编号，（分别为00,01，02,03，04,…，19）并分成5段;第三步:在第一段00，01，02，03这四个号中用简单随机抽样抽出一个（如02）作为起始号码;第四步：将编号为02，06,10，14，18的个体抽出，组成样本。自学导引1．系统抽样是指：将总体分成均衡的若干部分，按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需样本的抽样；系统抽样的步骤：（1)第一步：先将总体的N个个体进行编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等;（2）第二步：确定分段间隔k对编号进行分段,当N/n(n是样本容量）是整数时，取k=N/n；（3）第三步：在第一段用简单随机抽样确定一个个体编号m（m≤k）;（4)第四步：按照一定的规则抽取样本，通常是将m加上间隔k得到第二个个体编号(m+k），再加k得到第三个个体编号（m+2k），依次进行下去，直到获取整个样本.2．在120个零件中，一级品24个，二级品36个,三级品60个，用系统抽样法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的概率为（）A．B．C．D．答案:D3．为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应剔除的个体数目是（）A．4B．5C答案：D4.从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,若用系统抽样法，则抽样间隔为（）A．N/nB．nC．\D．\+1答案：C疑难剖析【例1】要从1005名学生中选取一个样本容量为20的样本,试用系统抽样的方法给出抽样过程.思路分析：考察用系统抽样方法抽取样本。因为1005=20×50+5,为了保证“等距"的分段,应先剔除5人.解：第一步：将1005名学生用随机方式编号；第二步:从总体剔除5个(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1000名学生重新进行编号，(分别为000，001，002，003，…，999)并分成20段；第三步：在第一段000，001，002，…，049这五十个号中用简单随机抽样抽出一个(如003）作为起始号码；第四步：将编号为003，053,103，…953的个体抽出，组成样本。思维启示：本题为了保证“等距"的分段，先剔除5人，对多余个体的剔除不影响总体中每个个体被抽到的可能性,仍然能保证抽样的公平性.【例2】一个总体中共有100个个体，随机编号0,1，2，3，4，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，3,…，10,现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同。若m=6,则在第7组中抽取的号码是（）思路分析:考察系统抽样方法中获取样本的方法。这是一个用系统抽样法抽取样本的问题，抽取的样本所对的编号与样本所在的组数有关.解：根据题意，第7组中的号码是［60，69]内的正整数.因为m=6，k=7,m+k=13，所以抽取的号码个位数为3,于是此号码为63．思维启示:系统抽样方法中获得样本的方法可以按照一定的规律设定。【例3】从2004名同学中，抽取一个容量为20的样本，写出系统抽样的步骤。思路分析：考查系统抽样的四个步骤。由于总体中的个体数为2004，不能被样本用量20整除,这时可用简单随机抽样先从总体中剔除4个个体,然后再按系统抽样方法往下进行。解:（1）可用简单随机抽样先从总体中剔除4个个体，然后再将剩余的2000名同学采用随机的方法编号为0001~2000;(2）将这2000个号码按0001～100为第一组，101～200为第二组,201~300为第三组,…，1901～2000为第二十组；（3）在第一组采用抽签法抽出后两位为k(00～99）的号码；（4）将其余各组中编号后两位为k的抽出，即可得到一个容量为20的样本.思维启示：为了确定分段间隔,应先用简单随机抽样从总体中剔除4个个体，使剩下的总体中的个体数能被样本容量整除。拓展迁移【拓展点1】从某工厂生产的802个零件中，随机的抽取80个测试规格尺寸，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.思路分析：因为总体容量较大，样本容量也较大,可用系统抽样法进行抽样.解析:第一步:将802个零件用随机方式编号；第二步：从总体剔除2个（剔除方法可用随机数表法），将剩下的800个零件重新进行编号，（分别为001，002,003,…,800）并分成80段;第三步：在第一段001，002,…，010，这十个号中用简单随机抽样抽出一个（如003）作为起始号码；第四步：将编号为003,013，023，…793的个体抽出，组成样本。思维启示:802不能被80整除,为了保证等距分段，应先剔除2个.【拓展点2】从某工厂生产的802个零件中，随机的抽取8个测试规格尺寸，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程。思路分析：因为总体容量较大，样本容量较小,可用随机数法进行抽样。解析：第一步,现将802个零件用速记方式编号，可以编为001，002，003，…,802;第二步,在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第29列的数7;第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下）,每次读3位,凡不在001～802中的数跳过去不取，遇到已经读过去的数也不取，便可依次得到751，286,735,443,387，211，234，297.这样8个号码就是所要抽取的8个样本个体的号码。思维启示：本小题若用系统抽样法,每段的个体数较大不方便.【拓展点3】从某工厂生产的20个零件中，随机的抽取8个测试规格程度,请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.思路分析:因为总体容量较小,样本容量也较小，可用抽签法进行抽样。解析:（1）将