重庆市名校联盟2024-2025学年高三下学期第一次联合考试数学试卷 含解析

重庆市名校联盟学年度第二期第一次联合考试数学试卷（高届）本试卷共4页，满分分考试用时分钟．注意事项：．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上．．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】解不等式，得或，因此或，所以.故选：B2.在复平面内，对应的点位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.第1页/共21页3.已知向量，，且，则实数（）A.B.C.5D.10【答案】C【解析】【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值.【详解】由已知可得：，因为，所以有，解之得：.故选：C.4.某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为6均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（）A.℃B.℃C.℃D.℃【答案】A【解析】【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论.【详解】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴，所以，，即，.又，即，所以.因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①.又当时，，所以，所以②.由①②解得，，第2页/共21页所以，则当时，℃.故选：A.5.已知双曲线的离心率为为作为坐标原点，则（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用余弦定理可得，从而得解.【详解】根据题意，，由，则，．由余弦定理可得，，所以，所以．故选：A6.在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两第3页/共21页部分，设两部分体积分别为和，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出辅助线，得到台体体积为，剩余图形的体积为，设正方体的棱长为4，求出台体体积，得到，进而正方体体积得到，求出答案.【详解】延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，故台体体积为，剩余图形的体积为，设正方体的棱长为4，则正方体体积为，又，，故，，，台体的高为，故台体的体积为，故，所以.第4页/共21页故选：D7.已知的内角所对的边分别为边上中线长度的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解.【详解】，由正弦定理可得，即，则，又，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，则．设边上中线长度为，则，所以边上中线长度的最大值为．故选：C8.定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别分析两个函数的单调性，求出它们的值域，再根据函数的值域相同，得到一个方程组，进而第5页/共21页将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解.【详解】因为，所以在上为增函数，所以在上的值域为.又在也是增函数，所以在上的值域为.因为两个函数的值域相同，所以.即方程有两个不同的解.因为方程.当即时，方程成立，即是方程的一个解；则当即时，只有一个解，因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减.因为且，所以且，所以当且时，方程有且只有一个非0解.综上：且.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据两个函数的值域相同，得到方程组第6页/共21页而将问题转化为方程有两个不同的解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设O过抛物线C：C交于MN两点，l为抛物线C的准线，则（）A.B.C.为等腰三角形D.以MN为直径的圆与l相切【答案】AD【解析】知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，第7页/共21页所以三角形不是等腰三角形，C选项错误.D选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，D选项正确.故选：AD.10.已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（）A.B.的图象关于点对称C.是周期为的周期函数D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，，对于A选项，因，则，A错；对于B选项，由可得，整理可得，当时，则有，即，当时，，也满足，所以，函数的图象关于点对称，B对；第8页/共21页对于C选项，因为是定义域为的奇函数，且，所以，函数是周期为的周期函数，C对；对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数，则，，，，，所以，，因为，则，D对.故选：BCD.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，根据曲边梯形与梯形面积大小判断C，取特殊值判断D.【详解】由题意，所以，当时，；当时，；第9页/共21页当时，；当或时，也成立；综上所述：.对于选项A：，，所以，故A正确；对于选项B：，且，所以，故B正确；对于选项C：如图，因为，所以，即，故C正确.对于选项D：取，则，故D错误；故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用的定义，分类讨论求得，从而得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知正实数满足，则______.【答案】##第10页/共21页【解析】【分析】对等式两边取对数后构造关于的方程，求出其解后可求的值.【详解】因为，易知且，故，故，即，故，故答案为：.13.已知成对样本数据，，，中，，，不全相等，且所有样本点都在直线r=______定系数=______．【答案】①.②.1【解析】【分析】由所有样本点都在一条直线上，结合相关系数的意义，可得出答案.【详解】由所有样本点都在直线上，又，由题易知，．故答案为：14.已知直线与⊙：交于AB面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设圆心到直线的距离为，则弦长为，那么进行求解.【详解】设圆心到直线的距离为，则，由，解得：或.若，则或；第11页/共21页若，则或.故答案为：（，，任意一个也对）四、解答题：本题共5小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；【答案】（1）或（2）证明见解析【解析】1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可；（2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可.【小问1详解】设数列的公差为d，依题意：成等比数列，所以，解得：或当时，，当时，所以数列的通项公式为或【小问2详解】因为等差数列的公差不为零，由（1）知则所以，故第12页/共21页而随n的增大而增大，则，故成立16.已知函数.（1）若时，求曲线在处的切线方程；（2）若时，在区间上的最小值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解，构造函数求导即可求解.【小问1详解】当时，且，所以，故切线方程为，即，【小问2详解】，由，存在，使得，即，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，，故在单调递减，又，故第13页/共21页17.已知三棱锥，D在平面上的射影为的重心O，，.（1）证明：；（2）E为AD上靠近A三等分点，若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）由题意可得、平面ABC，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式求得，由空间向量的线性运算求得，结合空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】如图所示，连结并延长交于，因为O为△ABC的重心，所以是的中点，又因为，所以由等腰三角形三线合一可得，因为D在平面ABC上的射影为O，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，【小问2详解】由（1）知，面ABC，过作轴平行于，则轴垂直于面ABC，如图，以为轴，轴，建立空间直角坐标系，在中，，由（1）知，，故，得，所以三棱锥A-BCD的体积为，则因为为△ABC的重心，故，则，第14页/共21页因为E为AD上靠近A的三等分点，所以，故设为平面的一个法向量，则，取，则，故，易得是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则为钝角，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】18.如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室､.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.（1）已知两个粒子通过11个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1第15页/共21页个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；（2）求的分布列和数学期望；（32号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.【答案】（1）或（2）分布列见解析，1（3）【解析】1）根据已知条件列方程，从而求得.（2）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望.（3）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，故，解得或.【小问2详解】由题知，时分3类情形，①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，所以，同理，，所以所求的分布列为第16页/共21页.【小问3详解】设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，“两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”，则，，则.故.19.如图，已知面积为的矩形，与坐标轴的交点是椭圆：的四个顶点，且该椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，过下顶点的直线与轴相交于点（不同于相交于点，与椭圆相交于点，直线与直线相交于点.（i）证明：；（ii）设线段的中点为为椭圆上的两点，且直线，与椭圆都仅有一个公共点，第17页/共21页.为定值?存