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文档简介
2025年河北省唐山市开滦二中高三下学期阶段性考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在中,,是上的一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.2.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知集合,,则()A. B.C. D.4.已知x,,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.6.若各项均为正数的等比数列满足,则公比()A.1 B.2 C.3 D.47.已知复数,满足,则()A.1 B. C. D.58.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知全集,则集合的子集个数为()A. B. C. D.10.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.511.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别,数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究,且每个方向均有研究生学习,其中刘泽同学学习人脸识别,则这6名研究生不同的分配方向共有()A.480种 B.360种 C.240种 D.120种12.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为,侧面积为,则该棱锥的体积为__________.14.已知双曲线(,)的左,右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左,右两支分别交于,两点,若,,则双曲线的离心率为__________.15.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.16.展开式中,含项的系数为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数只有一个零点,求正实数的值.18.(12分)在直角坐标系中,曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.(1)求动点的轨迹的方程;(2)若点是圆上一动点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,求直线斜率的取值范围.19.(12分)改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计(Ⅰ)求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人,求抽到的女性人数的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82820.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面积的最大值.21.(12分)已知点P在抛物线上,且点P的横坐标为2,以P为圆心,为半径的圆(O为原点),与抛物线C的准线交于M,N两点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B,且,求的值.22.(10分)某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:123456758810141517(1)经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取600元购物券;抽中“二等奖”可领取300元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.参考公式:,,,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
变形为,由得,转化在中,利用三点共线可得.【详解】解:依题:,又三点共线,,解得.故选:.本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程:三点共线⇔(为平面内任一点,)2.A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.3.C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.4.D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【详解】因为x,,当时,不妨取,,故时,不成立,当时,不妨取,则不成立,综上可知,“”是“”的既不充分也不必要条件,故选:D本题主要考查了充分条件,必要条件的判定,属于容易题.5.C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.6.C【解析】
由正项等比数列满足,即,又,即,运算即可得解.【详解】解:因为,所以,又,所以,又,解得.故选:C.本题考查了等比数列基本量的求法,属基础题.7.A【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出,求出的模即可.【详解】解:,,故选:A本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题.8.B【解析】
由两直线垂直求得则或,再根据充要条件的判定方法,即可求解.【详解】由题意,“直线与直线垂直”则,解得或,所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,故选B.本题主要考查了两直线的位置关系,及必要不充分条件的判定,其中解答中利用两直线的位置关系求得的值,同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.9.C【解析】
先求B.再求,求得则子集个数可求【详解】由题=,则集合,故其子集个数为故选C此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键,是基础题10.B【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.11.B【解析】
将人脸识别方向的人数分成:有人、有人两种情况进行分类讨论,结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时,有种,当人脸识别方向有1人时,有种,∴共有360种.故选:B本小题主要考查简单排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.12.D【解析】
由已知可将问题转化为:y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点,作出图象,由图可得:点(1,0)必须在直线y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直线y=kx-和y=lnx相切时,k=;结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点.作出函数y=f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.当直线y=kx-和y=lnx相切时,设切点横坐标为m,则k==,∴m=.此时,k==,f(x)的图象和直线y=kx-有3个交点,不满足条件,故所求k的取值范围是,故选D..本题主要考查了函数与方程思想及转化能力,还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
如图所示,正四棱锥,为底面的中心,点为的中点,则,设,根据正四棱锥的侧面积求出的值,再利用勾股定理求得正四棱锥的高,代入体积公式,即可得到答案.【详解】如图所示,正四棱锥,为底面的中心,点为的中点,则,设,,,,,,.故答案为:.本题考查棱锥的侧面积和体积,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.14.【解析】
设,由双曲线的定义得出:,由得为等腰三角形,设,根据,可求出,得出,再结合焦点三角形,利用余弦定理:求出和的关系,即可得出离心率.【详解】解:设,由双曲线的定义得出:,,由图可知:,又,即,则,为等腰三角形,,设,,则,,即,解得:,则,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案为:.本题考查双曲线的定义的应用,以及余弦定理的应用,求双曲线离心率.15.【解析】
把绕着进行旋转,当四点共面时,运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面,展开图如图所示,若,,三点共线时最小为,为直角三角形,故答案为:本题考查了空间几何体的翻折,平面内两点之间线段最短,解直角三角形进行求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.16.2【解析】
变换得到,展开式的通项为,计算得到答案.【详解】,的展开式的通项为:.含项的系数为:.故答案为:.本题考查了二项式定理的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)把转化成,令,由题意得,即证明恒成立,通过导数求证即可(2)直接求导可得,,令,得或,故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明:(1)令,则.分析知,函数的增区间为,减区间为.所以当时,.所以,即,所以.所以当时,.解:(2)因为,所以.讨论:①当时,,此时函数在区间上单调递减.又,故此时函数仅有一个零点为0;②当时,令,得,故函数的增区间为,减区间为,.又极大值,所以极小值.当时,有.又,此时,故当时,函数还有一个零点,不符合题意;③当时,令得,故函数的增区间为,减区间为,.又极小值,所以极大值.若,则,得,所以,所以当且时,,故此时函数还有一个零点,不符合题意.综上,所求实数的值为.本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题,本题的难点在于把导数化成因式分解的形式,如,进而分类讨论,本题属于难题18.(1);(2)【解析】
(1)设,根据题意可得点的轨迹方程满足的等式,化简即可求得动点的轨迹的方程;(2)设出切线的斜率分别为,切点,,点,则可得过点的拋物线的切线方程为,联立抛物线方程并化简,由相切时可得两条切线斜率关系;由抛物线方程求得导函数,并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出,可求得,结合点满足的方程可得的取值范围,即可求得的范围.【详解】(1)设点,∵点到直线的距离等于,∴,化简得,∴动点的轨迹的方程为.(2)由题意可知,的斜率都存在,分别设为,切点,,设点,过点的拋物线的切线方程为,联立,化简可得,∴,即,∴,.由,求得导函数,∴,,,∴,因为点满足,由圆的性质可得,∴,即直线斜率的取值范围为.本题考查了动点轨迹方程的求法,直线与抛物线相切的性质及应用,导函数的几何意义及应用,点和圆位置关系求参数的取值范围,属于中档题.19.(Ⅰ).0.2(Ⅱ)见解析,有的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)见解析,【解析】
(Ⅰ)直接根据频率和为1计算得到答案.(Ⅱ)完善列联表,计算,对比临界值表得到答案.(Ⅲ)的取值为,计算概率得到分布列,计算数学期望得到答案.【详解】(Ⅰ),解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.(Ⅱ)安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100,所以有的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)的取值为所以的分布列为期望.本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.(1)(2)【解析】
分析:(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式,结合特殊角的三角函数值,求得角C;(2)运用向量的平方就是向量模的平方,以及向量数量积的定义,结合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解:(1)∵,,(Ⅱ)取中点,则,在中,,(注:也可将两边平方)即,,所以,当且仅当时取等号.此时,其最大值为.点睛:该题考
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