线代期中测试题及答案

线代期中测试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[2]分，共[20]分）

1.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则矩阵\(A\)的行列式\(\det(A)\)等于：

A.2B.5C.6D.8

2.若向量\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)和向量\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)的夹角为\(\theta\)，则\(\cos\theta\)等于：

A.\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)B.\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)C.\(\frac{3}{\sqrt{5}}\)D.\(\frac{5}{\sqrt{5}}\)

3.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的方阵，且\(\mathbf{A}^2=\mathbf{O}\)，则\(\mathbf{A}\)的秩\(r(\mathbf{A})\)等于：

A.0B.1C.nD.无法确定

4.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的可逆矩阵，则\(\mathbf{A}^{-1}\)的行列式\(\det(\mathbf{A}^{-1})\)等于：

A.\(\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\)B.\(\det(\mathbf{A})\)C.\(\det(\mathbf{A})^2\)D.\(\det(\mathbf{A})^3\)

5.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的实对称矩阵，则\(\mathbf{A}\)的特征值都是：

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

6.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的矩阵，且\(\mathbf{A}^2=\mathbf{O}\)，则\(\mathbf{A}\)的零空间维数\(\dim(\mathbf{N}(\mathbf{A}))\)等于：

A.0B.1C.nD.无法确定

7.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的矩阵，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是实数，则\(\mathbf{A}\)的特征向量都是：

A.实向量B.虚向量C.实向量或虚向量D.无法确定

8.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的矩阵，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是正数，则\(\mathbf{A}\)的行列式\(\det(\mathbf{A})\)等于：

A.正数B.负数C.0D.无法确定

9.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的矩阵，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是负数，则\(\mathbf{A}\)的行列式\(\det(\mathbf{A})\)等于：

A.正数B.负数C.0D.无法确定

10.设\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的矩阵，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是\(1\)，则\(\mathbf{A}\)的行列式\(\det(\mathbf{A})\)等于：

A.1B.0C.无法确定D.无法确定

二、填空题（每题[2]分，共[20]分）

1.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}^{-1}\)为_______。

2.设\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)为_______。

3.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}^2\)为_______。

4.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\det(\mathbf{A})\)为_______。

5.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}\)的特征值为_______。

6.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}\)的特征向量为_______。

7.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}\)的零空间维数为_______。

8.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}\)的列空间维数为_______。

9.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}\)的秩为_______。

10.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则\(\mathbf{A}\)的核空间维数为_______。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

1.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}^{-1}\)。

2.设\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)。

3.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}^2\)。

4.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\det(\mathbf{A})\)。

5.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。

6.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的零空间维数和核空间维数。

7.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的列空间维数和秩。

四、解答题（每题[10]分，共[30]分）

8.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征多项式。

9.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征向量。

10.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征值。

五、证明题（每题[10]分，共[20]分）

1.证明：若\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的可逆矩阵，则\(\mathbf{A}^{-1}\)也是可逆的，并且\((\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}\)。

2.证明：若\(\mathbf{A}\)是一个\(n\timesn\)的实对称矩阵，则\(\mathbf{A}\)的特征值都是实数。

六、综合题（每题[10]分，共[20]分）

1.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。

2.设\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{B}=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\mathbf{B}\)和\(\mathbf{B}\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.答案：B

解析：行列式的计算为\(\det(A)=1\times4-2\times3=4-6=-2\)。

2.答案：B

解析：向量点积\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\times2+2\times3=2+6=8\)，所以\(\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{8}{5}\)。

3.答案：A

解析：如果\(\mathbf{A}^2=\mathbf{O}\)，则\(\mathbf{A}\)的秩至多为1，因为至少有一个特征值为0。

4.答案：A

解析：可逆矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

5.答案：C

解析：实对称矩阵的特征值都是非负数。

6.答案：B

解析：矩阵\(\mathbf{A}\)的零空间维数等于\(n\)减去\(\mathbf{A}\)的秩。

7.答案：A

解析：特征向量必须是实向量，因为特征值是实数。

8.答案：A

解析：特征值为正数的矩阵的行列式也是正数。

9.答案：B

解析：特征值为负数的矩阵的行列式也是负数。

10.答案：A

解析：特征值为1的矩阵的行列式等于1。

二、填空题答案及解析：

1.答案：\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析：通过计算\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵和行列式，然后取逆得到\(\mathbf{A}^{-1}\)。

2.答案：8

解析：通过计算向量点积\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)。

3.答案：\(\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}\)

解析：计算\(\mathbf{A}\)的平方，即\(\mathbf{A}\times\mathbf{A}\)。

4.答案：-2

解析：通过计算\(\mathbf{A}\)的行列式。

5.答案：1,3

解析：通过计算特征多项式\(\det(\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\)并求解得到特征值。

6.答案：\(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\)

解析：通过求解特征方程\((\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=\mathbf{0}\)得到特征向量。

7.答案：1

解析：零空间的维数等于\(n\)减去矩阵的秩。

8.答案：2

解析：列空间的维数等于矩阵的秩。

9.答案：2

解析：矩阵的秩等于其列数或行数。

10.答案：1

解析：核空间的维数等于\(n\)减去矩阵的秩。

四、解答题答案及解析：

8.答案：\(\lambda^2-5\lambda+2=0\)

解析：计算特征多项式\(\det(\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\)。

9.答案：\(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\)

解析：通过求解特征方程\((\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=\mathbf{0}\)得到特征向量。

10.答案