辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（调研卷）数学（三）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（调研卷）数学（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．样本数据50，56,58,48,42,60,55,49的第35百分位数是（

）A．56 B．58 C．48 D．49【答案】D【分析】先对数据排序，然后根据百分位数的求解步骤直接求解即可.【详解】将样本数据从小到大排列为42,48,49,50,55,56,58,60，因为8×35%=2.8，所以该样本数据的第35百分位数是故选：D2．已知F为抛物线C：y2=3x的焦点，C上一点P到y轴的距离为34，则PFA．32 B．2 C．94【答案】A【分析】根据抛物线的方程得准线方程，再利用抛物线的定义即可求解.【详解】易知抛物线C：y2=3x的准线方程为由C上一点P到y轴的距离为34，得点P到直线x=−34由抛物线的定义可知PF=故选：A.3．在正方体ABCD−A1BA．AD1B．A1C⊥C．存在过AC的平面α，使得AD．存在过AC的平面β，使得A【答案】D【分析】由AD1∥BC1根据线面平行的判定定理可判断A；由BD⊥平面ACC1A1根据线面垂直的性质定理可得BD⊥A1C，同理C1D⊥A1C【详解】对于A，因为AD1∥BC1，AD1所以AD1//对于B，易证BD⊥平面ACC1A1，又A1同理可得C1D⊥A1C，又C1D所以A1C⊥平面对于C，由A1B∥D1C，A1B⊄平面ACD1所以平面ACD1即为平面对于D，假设A1B⊥β，因为AC⊂β，所以又A1B⊥BC，AC，BC⊂平面ABCD，所以A1B⊥平面故选：D.4．已知函数fx=2x−1A．0,2 B．0,1 C．−∞,2 【答案】C【分析】分x≤0和x>0两种情况，解不等式，得到不等式解集.【详解】由题意可知当x≤0时，0<2x≤1当x>0时，令log3x+1≤1，即0<x+1≤3，解得−1<x≤2综上，x≤2.故选：C5．从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是a，b，c，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生a与男生甲不同列，则不同的排法种数为（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【分析】先求出排法总数及女生a与男生甲同列时的排法为C31A【详解】由题意得第1排和第2排任意排的排法总数为A3当女生a与男生甲同列时，排法总数为C3所以女生a与男生甲不同列排法总数为A3故选：C.6．已知点M0,2，N43,0，过点M作直线交圆O：x2+y2=9于A，BA．13 B．23 C．1 【答案】B【分析】依题意可得MQ⊥OQ，则点Q的轨迹是以O′0,1为圆心，1为半径的圆，从而求出【详解】因为Q为AB的中点，所以OQ⊥AB，设Qx,y，因为MQ⊥OQ所以点Q的轨迹是以O′0,1为圆心，故NQ的最小值为O'故选：B.7．如图，在△ABC中，AB=2AC=4，M为BC的中点，D为BC上一点，且AD⊥BC，AM⋅AD=165A．0或45 B．45 C．35【答案】A【分析】根据AM⋅AD=165求出|AD|，令∠BAC=θ【详解】因为AM⋅所以AD=45则S△ABC即BC=25sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2=20sin故选：A.8．设函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x，已知fx+3+fx+1A．−3 B．−2 C．−1 D．0【答案】B【分析】由fx+3+fx+1=fx+2和fx+2+fx=fx+1得fx+3+fx【详解】由fx+3+fx+1两式相加得fx+3两边取导数得f′x+3+则gx+6=−gx+3由函数gx2的图象关于直线x=2对称，得则g1−x2=g1+由fx+2+fx则gx+2令x=0，得g2=g1−g0令x=1，得g3=g2−g1令x=3，得g5=g4−g3所以g1因为2025=6×337+3，所以i=12025故选：B二、多选题9．已知复数z1，z2，则下列结论正确的是（A．若z1=zB．若z12C．若z1⋅D．若z1+z2=z【答案】BC【分析】设z1=a+bia,b∈R，结合共轭复数定义和复数运算即可判断选项A，利用复数运算即可判断选项B，设【详解】对于A项，设z1则z2=a+bi，z当b=0时，z1对于B项，由z12=即z1−z对于C项，设z1=a由z1⋅z1=所以z1=z2，又对于D项，取z1=1+i满足z1+z2=z1故选：BC10．甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有M,N,Q，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件S=“M单位招到甲或乙”，事件T=“N单位招到甲或丙”，事件E=“Q单位招到丙或丁”，事件H=“Q单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（

）A．事件S,T相互独立 B．事件S,E相互独立C．事件S,H相互独立 D．事件E,H相互独立【答案】BCD【分析】根据独立事件的概率公式验证即可.【详解】M，N两个单位招志愿者的不同选法种数为A4因为事件ST所包含的基本事件为（M招甲、N招丙），（M招乙、N招甲），（M招乙、N招丙），共3个，所以PST=312=PSPEPSPH因为E,H为对立事件，所以PEH故选：BCD11．已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点M在A．若点M的坐标为−1,3，则C的离心率的取值范围为B．若a=2，b=5，则C．若a=2，b=1，则MN的最小值为4D．若a=1，b=3，则OM【答案】ABD【分析】对于A，由点M在渐近线y=−bax的下方得到kOM>−ba，推理即得离心率范围；对于B，利用双曲线的定义和焦半径M【详解】对于A，因点M在C的一条渐近线y=−bax的下方，则k故离心率e=1+对于B，由a=2，b=5，得c=由双曲线的定义可知MF2−于是MF因为MF1≥c−a=1对于C，因a=2，b=1，则c=5当N在C的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中，最短弦的弦长为实轴长2a=4，故MN≥4当N在C的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中，当MN⊥x轴时，MN最小，此时M(−5,1故MN的最小值为1，故C错误；对于D，由a=1，b=3，可知c=2，则F1−2,0当点M为双曲线的左顶点时，OM2当点M不在双曲线的左顶点时，因∠MOF1+∠MO由余弦定理得OF又OF1=因M则MF2−综上，OM2−M故选：ABD.【点睛】思路点睛：本题主要考查双曲线的定义，性质的应用，解题思路在于解决与焦点有关的线段时，常考虑定义式或焦半径、焦点弦有关结论的应用，有时还要考虑双曲线的渐近线，通经，以及三角形中正余弦定理的运用.三、填空题12．已知集合I=xx<1，A=xx3<x，B=xx【答案】1【分析】化简集合，根据A∩B=∅和A∪B=I，可得B=x【详解】由题意得集合A=x因为A∩B=∅，A∪B=I，所以B=x则−1+0=−m，−1×0=n，解得m=1，n=0，所以m+n=1.故答案为：113．已知函数fx=Mcosωx+φM>0,ω>0的图象与直线y=1在区间0,2π上恰有4个交点，从左向右依次为A，B，C，D，且【答案】11【分析】利用周期性来研究交点得到的线段长，再与总区间长度2π进行比较分析即可得到ω范围，再利用与直线y=1的交点坐标可解得M=2【详解】由题意得AC=2πω所以AB=CD=4π3ω所以AD=AC+CD=AC+AB=2πω解得53又因为fx−φω=Mcos解得M=2，所以M+ω的取值范围是113故答案为：11314．设minP表示数集P中最小的数，若4b>a>b>0，则min1a【答案】1【分析】由基本不等式可得a4b−a≤4b2，4ba−b【详解】设min1则1a2≥t，14b因为4b>a>b>0，所以a4b−a≤a+4b−a当且仅当a=2b时两个不等式同时取等号，所以4t≤1又1a当且仅当a=1，b=12时取等号，所以4t≤4，则t≤1，当且仅当a=1，故min1故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题关键是能够通过观察4个元素，从最值角度出发，考虑基本不等式，a4b−a≤a+4b−a22四、解答题15．如图，在圆台OO1中，A，B，C是下底面圆周上的三点，AC为下底面圆的直径，M为(1)证明：AB⊥平面O1(2)若OO1=OA=AB，求直线AC【答案】(1)证明见解析(2)21【分析】（1）由圆台的性质知OO1⊥底面ABC，从而得OO1⊥AB；再由AC为下底面圆的直径结合（2）建立空间直角坐标系，按照求直线与平面夹角的公式，按步骤求解即可.【详解】（1）证明：因为OO1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC因为AC为下底面圆的直径，所以BC⊥AB，因为M为AB的中点，所以OM∥BC，所以OM⊥AB，又OM∩OO1=O，OM，O所以AB⊥平面O1（2）以O为坐标原点，AB，OM，OO1的方向分别为x轴、轴、不妨设OO则A−1,3,0，B1,3则AB=2,0,0，BO设平面O1AB的一个法向量为则m⋅AB=2x=0,m⋅设直线AC与平面O1AB所成角为则sinθ=故直线AC与平面O1AB所成角的正弦值为16．已知函数fx=x+aln(1)求a；(2)若关于x的不等式fx<mln【答案】(1)a=1；(2)−∞【分析】（1）设切点x0,2x0−1，根据导数的几何意义求得a=（2）问题化为x<m−1lnx【详解】（1）设fx的图象与直线y=2x−1切于点x0,2f′x=1+ax，则f令ℎx=ln当x∈0,1时，ℎ′x<0，当x∈1,+∞时，ℎ′x>0所以ℎx≥ℎ1故x0=1，即（2）由题意得x+lnx<mln令gx=x−m−1若m−1<0，则0<e1m−1若m−1=0，即m=1，则gx若m−1>0，当x∈0,m−1时，g′x<0，当x∈m−1,+∞时，g′x>0所以gxmin=g综上，m的取值范围为−∞17．第12届世界运动会将于2025年在中国四川成都举行，其中棍网球比赛被同学们关注：甲、乙两名同学进行棍网球攻防3次训练，甲进攻乙防守，根据以往训练结果，在乙的防守下，甲每次能够射门的概率为34，射门一次进球的概率为13，射门两次进球的概率为12(1)设X表示甲能够射门的次数，求X的分布列与数学期望；(2)求甲射门进球的概率.【答案】(1)分布列见解析，E(2)69【分析】（1）求出X的可能取值，判断X服从的分布，求出X各值的概率，求出X的分布列与数学期望；（2）利用全概率公式即可求解.【详解】（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，且X∼B3,所以PX=0PX=1PX=2PX=3X的分布列为X0123P192727EX（2）记甲射门i次为事件Ai则由（1）可知PA1=964记甲射门进球为事件B，则PB∣A1=1由全概率公式可知PB=PB∣故甲射门进球的概率为6912818．已知A1,0，B4,0，动点S满足SB=2SA，作SH⊥x轴于点H，T为直线SH上一点，且满足TH=(1)求E的方程；(2)若M是E上的动点，过M作椭圆C：x22+y2=1的两条切线，切点分别为P，【答案】(1)x2(2)−【分析】（1）设Tx,y，Sx′,y′，根据向量关系得到x′（2）设Mx0,y0，切线斜率存在时，x0≠±2，设切线方程，与椭圆x22+y2=1联立，利用根的判别式为0得到方程，设关于k的方程的两根为k1，k2，得到两根之和，两根之积，得到P,Q两点坐标，结合【详解】（1）设Tx,y，Sx′因为TH=22故x′−x=0,−y=−由SB=2SA，得x′将x′=x,y故E的方程为x2（2）设Mx0,y0，过M设斜率为k，切线方程为y=kx+y联立y=kx+y0−k则Δ=16即x0设②中关于k的方程的两根为k1，k则k1①式中，当k取k1时，得xyP将k1换成k2，得故OP=y其中y=2−x又k1k21+4k故OP⋅因为x0所以OP⋅当切线斜率不存在时，x24+y2由对称性不妨设M−2,1，此时设P此时OP⋅综上，OP⋅OQ的取值范围是【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19．对于给定的正项数列an，定义：i=1nai=a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅an，其中，ai(1)写出首项为2的“2数列”的前4项；(2)若数列an是首项为1的“T数列”，数列bn为等比数列，且i=1nai4=(3)设数列an为“T数列”，a1>1，T<0，记Sn为an的前n项和，Tn为数列1a【答案】(1)a1=2，a2=(2)B(3)证明见解析【分析】（1）根据a1=2，（2）根据i=1nai4=i=1nai2+log2（3）构造函数fx=2ln【详解】（1）由a1=2，得a22=a32=a42=（2）设等比数列bn的公比为q，q>0由i=1nai两式相减得an+1由i=1nai整理得T−1a又an是首项为1的“T数列”，所以a12=1，则T−11−T=T−log2q,又a12=1，a所以bn又n−1b所以Bn（3）令fx=2ln所以fx在区间0,+∞内单调递减，且当x>1时，fx<0，即又a1>1，T<0，所以则a2>1，依次迭代可知所以2lnan所以lna12<a将这