2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合，则（

）A． B． C． D．2．已知（i为虚数单位），则（

）A．1 B． C．2 D．43．已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．24．已知，则（

）A． B． C．2 D．35．已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（

）A． B． C． D．6．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为，且点在上，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．或27．已知曲线与曲线只有一个公共点，则（

）A． B．1 C．e D．8．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（

）A． B．2 C．3 D．二、多选题9．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（

）A．

样本负相关 B．C． D．处理后的决定系数变大10．已知函数，则（

）A．为周期函数B．存在，使得的图象关于对称C．在区间上单调递减D．的最大值为11．已知，其中．点分别满足，其中，直线与直线交于点，则（

）A．当时，直线与直线斜率乘积为B．当时，存在点，使得C．当时，面积最大值为D．若存在，使得，则三、填空题12．的展开式中常数项是（用数字作答）．13．在等比数列中，已知，则．14．某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为．

人题号赵钱孙李周吴1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411四、解答题15．在中，角所对的边分别为．(1)求；(2)若，求的面积．16．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．

(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．17．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．(1)当时，求甲最终获胜的概率；(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．18．已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．19．已知无穷数列满足，为正整数，．(1)若，求；(2)证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件；(3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试》参考答案题号12345678910答案CABCBCBDABDAC题号11答案AD1．C【分析】化简集合，结合交集定义求.【详解】，，所以，又，．故选：C.2．A【分析】利用复数除法求出，进而求出其模.【详解】依题意，，所以.故选：A3．B【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解；【详解】由于，则，则；故选：B4．C【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.【详解】由于，那么，，则，故选：C．5．B【分析】求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D.【详解】对于A，，但，，所以函数在上不单调递增，不符合题意；对于B，，所以函数的周期为，当时，，因为，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减，，所以函数的最小正周期为，B正确；对于C，因为，，所以函数在上不单调递增，不符合题意；对于D，函数的定义域为，，所以结论函数在单调递增错误，不符合题意；故选：B.6．C【分析】根据渐近线夹角得到渐近线方程，然后得到或，再设双曲线方程，根据进行取舍.【详解】由双曲线的两条渐近线夹角为，可知的渐近线方程为或，由（其中为渐近线的斜率），解得或，若，如图，令，点不可能在双曲线上；或设双曲线方程为：，则无解；若，设双曲线方程为：，则，此时双曲线方程为：.故选：C．7．B【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值；方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解；方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值.【详解】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点，方程只有一个实数解，而，则只考虑，即，令，则，而在单调递增，且，所以时，单调递减，时，单调递增，而时，；时，，所以．方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点，则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为，根据函数的图像与函数的图像之间的关系，所以有，即，所以，设，则在单调递减，而，所以，所以．方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称，由于，令，则，即函数与函数相切于点，同理，，令，即函数．与函数也相切于点，于是函数与函数相切于点，由选项可知，．故选：B.8．D【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径.【详解】如图，，又放入的球的半径为，由于圆台的体积，由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切；下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则，由于，则，则，那么，则，那么在上方，即该小球先与上下底面相切．故选：D【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出圆台的体积，还需检验小球与侧棱相切的情形.9．ABD【分析】根据回归方程判断A，根据样本中心点计算判断B，根据图象由波动性判断C，根据图象的波动性判断D.【详解】由经验回归方程单调递减，可知样本负相关，故A正确；由题意样本均值分别为，由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得，故B正确：由图一的数据波动较大可得比更集中，所以，故C错误；由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确．故选：ABD10．AC【分析】证明，结合周期函数定义判断A，证明函数为奇函数，结合周期性证明若函数存在对称轴，则为其对称轴，推出矛盾，判断B，利用导数判断指定区间函数的单调性，判断C，结合正弦函数性质可得，进一步说明等号不成立，判断D.【详解】由于，故，所以为的周期，A正确；函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以为奇函数，假设图象关于对称，则函数为偶函数，所以，故，所以，又，所以为函数的对称轴，所以，但，，所以，矛盾，所以图象不关于对称，B错误；因为，化简整理得，当时，，函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，若，则，所以当时，，故在区间上单调递减，C正确；因为，当且仅当时取等号，但当，即时，，所以，D不正确．故选：AC.11．AD【分析】由条件求出的坐标，结合两点斜率公式求，由此判断A，结合A的判断知，，利用关系求点的轨迹，由此判断B,联立，，求点的坐标，消参求点的轨迹方程，结合△换元点到直线距离公式求点到直线的距离，再求最值及的面积的最值判断C，结合C可得的轨迹方程，引入参数表示，，结合条件列不等式求的范围，判断D.【详解】对于选项A，由题设，A正确；对于选项B，由A可知，，设点，则，所以，此时点的轨迹方程为：，于是若，此时点与点重合，与矛盾，B不正确；对于选项C，直线，联立得，设，又，则，若，则点的轨迹方程为，设点，直线，点到直线的距离，由于，于是当时，，的最大值为，C不正确；由C可知，点的轨迹方程为，设，，于是，即能成立，于是，，D正确．故选：AD.【点睛】易错点点睛：本题在求点的轨迹方程的过程中变形可能不等价，导致轨迹方程的范围出错，影响选项的判断.12．240【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，即可求解，进而可求常数项.【详解】的二项展开式的通项为，令得，故常数项为，故答案为：240．13．6【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可.【详解】设数列的公比为，由于，则，若，则矛盾，则符合．所以.故答案为：.14．14分【分析】方法一：根据无论答案是“√”还是“×”，一个答“√”的人和一个答“×”的人的得分和为，从而得到每道题前五人的得分比吴多2分，然后计算得分即可；方法二：根据钱的成绩分析答案，然后求得分；方法三：分析孙的答案情况，然后求得分.【详解】解法一：分析可得，无论每道题的结果如何，每道题前五人的得分比吴的得分多2分，则吴的得分为：，加上基本分后为14．解法二：由于前四个人只有钱的得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题，不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分；：

人题号赵钱孙李周吴1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411对于6个人而言，前4个题，6个人的答案都是三个√，三个错，那前4个题，每个题都是3个人对，3个人错；前4个题的总分为：分；现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5个题的得分是：分，最终5个题的总得分为69分；而从得分来看，分，于是吴得分是2分，矛盾；于是第5题正确答案是“√”，第5题的得分是：分，6个题的总分为：81分，于是吴得14分．解法三：考虑第一，二题孙的答案是对的，（1）若孙第三题答案也是对的，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孙第三题答案是错的，钱最后两题只能全对，与周11分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考虑孙第一题对，第二题答案是错的（3）若孙第三题答案是对的，则赵最后两题全对，与孙14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考虑孙第一题错，第二题答案是对的（5）若孙第三题答案是对的，则李最后两题全对，与孙14分矛盾；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，此时正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考虑孙第一题错，第二题答案是错的，则孙后三题全对，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411综上所述：正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分．故答案为：14分.15．(1)(2)【分析】（1）利用条件及余弦定理的推论可得，再由条件可求出；（2）解法1：利用两角和的正弦公式分别求出角的正弦值，再利用正弦定理可求出，再利用三角形面积公式求解即可；解法2：注意到，进而可得，由正弦定理并化简可得，进而求，再利用三角形面积公式求解即可；解法3：过点作交于，利用直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）由余弦定理推论及得，由于，则，又因为，且，所以，则．（2）解法1：由（1）可知，且，，由正弦定理：，得，所以．解法2：由（1），所以，由正弦定理：，得，．解法3:如图，过点作交于，由于，则，所以，，所以．16．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据中位线的性质得到，然后得到四边形为平行四边形，根据直棱柱的性质得到，最后利用线面垂直的判定定理证明；（2）解法一：利用余弦定理得到，然后建系，利用空间向量的方法求线面角；解法二：根据线面角的定义得到即为直线与平面所成角，然后求线面角；解法三：利用等体积的思路得到点到平面的距离，然后求线面角.【详解】（1）

取中点，连接，因为，所以，为的中点，所以为的中位线，所以，又，所以四边形为平行四边形，有，又因为平面平面，则，由于平面，所以平面，又因为，所以平面．（2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，在中，由余弦定理可得：，则，于是，则，设平面，于是，即，令，则，设直线与平面所成角为，那么，即直线与平面所成角的正弦值为．

解法二：在中，由余弦定理可得：，则，如图，连接，由（1），平面平面，则，又因为，四边形为正方形，为的中点，，由于平面，则平面，如图，记，过点作，连接，由于平面平面，则，又因为平面，则平面，所以即为直线与平面所成角，由于，则，由于，则为的三等分点，则，于是，即直线与平面所成角的正弦值为．

解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则，在中，，则，过作交的延长线于，易得，且易证平面，由于，则，在中，，且，又，则．

【点睛】17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率；（2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可.【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件，于是，与为互斥事件，由于，，则，即甲最终获胜的概率为．（2）由（1）可知，，若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取，，则的分布列为：3则，若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0，，则的分布列为：10则，所以，由于，则，于是时，两种方案都可以选，当时，，应该选第二种方案，当时，，应该选第一种方案．18．(1)或．(2)【分析】（1）法一：设，由面积公式求得，再联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解；法二：设，由面积求得，结合弦长公式求得，联立即可求解；（2）法一：设点，得到方程，求出，设的内切圆圆心，再由到的距离与点到的距离相等，得到，进而可求解；或化简得到，通过换元构造函数，通过求导求解即可；法二：设，得到，，进而得到，构造函数进而可求解；【详解】（1）法一：

当轴，令，则，设直线，由于，则，由于，则，则，，则，则，所以直线的方程为或．法二：设，倾斜角为，由对称性知有两条，且关于对称，不妨设，那么，则，则，由于，则，则，，则由对称性，另一条直线：，所以直线的方程为或．（2）法一：设点，因为，同理：，所以，化简可得：，同理可得：，，，又因为，直线和直线交于点，所以，且，即，，且，化简得：，于是，则，解得，所以点，由于，则，所以，则轴平分，设的内切圆圆心，则到的距离，点到的距离，所以，化简可得：，由于，当且仅当取等号（舍），则，则．或由化简得到：，令，当且仅当取等号（舍），则，设，，则在单调递减，．】法二：点证明同解法1；设的内切圆圆心，设定点，由于，设半径为，设，于是