江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=yy=sin2x,x∈R，集合B=xA．−1,1 B．0,1 C．−1,2 D．R【答案】C【分析】求出集合A，利用并集的定义可求得集合A∪B.【详解】因为A=yy=sin2x,x∈R=故选：C．2．已知复数|4−3i|⋅z=1−2i2025，则复数A．−25i B．−25 【答案】B【分析】根据复数的模及乘方求出z，再根据复数的虚部的定义即可得解.【详解】|4−3i|=16+9则5z=1−2i，∴z=15−2故选：B．3．命题：∀x∈[0,1]，x2+x−2≤0的否定是（A．∀x∈(−∞,0)∪(1,+∞)，x2C．∃x∈(−∞,0)∪(1,+∞)，x2【答案】B【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【详解】命题“∀x∈0,1,x故选：B．4．已知sinα=2cosα+π6A．38 B．712 C．528【答案】C【分析】利用两角和的余弦公式得到tanα=【详解】由sinα=232∴tan2故选：C．5．已知圆C:x2+y2−6x−4y−3=0，且圆外有一点P(−3,0)，过点P作圆C的两条切线，且切点分别为点A和点A．4113 B．5133 C．【答案】D【分析】求出圆心和半径，求出PA=2【详解】圆C:x−32+y−22=16，且又r=4，∴PA=PC2故选：D．6．正项等比数列an中，Sn是其前n项和，若a2=a3+2A．20 B．21 C．24 D．28【答案】B【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和.【详解】设正项等比数列an的公比为q(q>0)，由a2=a3而S2=16，所以故选：B7．定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2)，f(x−1)为偶函数，f(−1)=1，则i=12025f2A．1013 B．1014 C．2025 D．2026【答案】A【分析】由题意可得函数的周期与对称轴，可得函数在自变量取整数时的函数值，可得答案.【详解】∵fx+2+fx则fx+4∴fx的最小周期为4．令x=0，解得f∵fx−1为偶函数，由函数fx的图象可由函数fx−1∴fx关于直线x=−1成轴对称．∴f−2=f∴fx+2+fx=0．又f−1∴i=12025故选：A．8．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C:x2a2+yA．74 B．34 C．154【答案】C【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点P处切线l与直线PF1,PF2均为π2−θ，求出点F1,F2到l的距离，结合椭圆的定义得到原点O【详解】如图，PM是∠F1PF2设∠F1P根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线PF1,P故点F1,F2到BF∵O为F1∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线的距离为ON=1∴cosθ=12，故θ=又PF1=(∴4c2=4a2∴C的离心率为e=1−故选：C．【点睛】求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2−二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．二项式x−2B．logC．已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的60%D．设X是随机变量，若X~B3,1【答案】AB【分析】由二项式的展开式的公式求出通项公式，令x的指数为0，得到常数项，判断A选项；由对数的计算化简等式两边，判断B选项；由统计的百分位数公式求得结果，判断C选项；由二项分布方差的公式求得DX，再由方差的性质求得D(3X+5)【详解】对于A，Tr+1=C4r对于B，log4259对于C，8×60％=4.8，∴对于D，由已知可得DX=3×1故选：AB．10．已知双曲线C:xa2−y2b2=1的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为3，且F2到其渐近线的距离为A．C的渐近线方程为y=±B．若F2为△FC．若F2在线段MN上，且F1D．若l过点(1,0)，且△F2MN外接圆的圆心在y轴上，则【答案】ACD【分析】根据离心率求出ba，即可判断A；根据题意求出a,b，即可求出双曲线方程，进而可得焦点坐标，根据F2为△F1MN的重心，可设M(x0,y0)，N(【详解】对于A，e=3=1+b2a2对于B，F2到其渐近线的距离为b=6，∴a=3，F若F2为△F1MN的重心，则直线l垂直与x轴，不妨设则由重心坐标可知，2x0−3代入C:x23∴|MN|=266对于C，依题意|F又|F1M|−|MF2|=2a，∴对于D，设△F2MN的外接圆圆心P(0,t)设直线l:x−my−1=0，与圆P联立可得，(m直线l:x−my−1=0与C联立可得(2m依题意可得，①和②为同一个方程，∴−8−4=m经检验Δ>0，∴外接圆半径为9+故选：ACD．11．在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将△ABD沿BD折叠至△A1A．直线A1D与平面BCDB．存在点A1，使得C．当A1C=132D．当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1−BCD【答案】AD【分析】A项，当平面A1BD⊥平面BCD时，求解即可；B项，通过假设成立，给出矛盾即可；C项，作A1M垂直BD于M，CN垂直BD于【详解】对于A，设点A1到平面BCD的距离为ℎ,记直线A1D与平面BCD得sinφ=要使直线A1D与平面BCD所成角取得最大,则即当平面A1BD⊥平面BCD时，ℎ取最大,此时得sinφ=ℎ3=3对于B，若假设存在点A1，使得A而CD⊥BC，A1D∩CD=D,A得BC⊥平面A1CD，A1得BC⊥A1C，而A故不存在满足题意的点A1对于C，作A1M垂直BD于M，CN垂直BD于如图所示：则A1M=CN=3∴A1设二面角A1−BD−C的大小为则|A1=3得cosθ=−12，而0对于D，当平面A1BD⊥平面BCD时，由余弦定理，cos∠得sin∠∴S△设O为BD的中点，易知O为三棱锥A1由等体积法可知，O到平面A1BC的距离为∴截面面积为S=π1−3故选:AD．三、填空题12．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，a【答案】33/【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解.【详解】由|a|=1,|b|=3,acos〈故答案为：313．小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有种．（用数字作答）【答案】1890【分析】本题主要考查了排列组合，考查数学运算的核心素养，首先根据题意选择分以下三类：仅小崔选了黑色；仅小汪选了黑色；两人都没有选择黑色，然后根据分步乘法计数原理解决问题.【详解】若仅小崔选了黑色，则有C72C若两人都没有选择黑色，则有C72C故答案为：189014．已知二次函数f(x)=ax2+bx−1(a>0)与一次函数g(x)=2x，若∀b∈R，不等式|f(x)|≥|g(x)|在x∈[1,4]上总存在实数解，则a【答案】13【分析】由题可得ax−1x+b≥2，不等式存在解，转化为求解不等式左边的最大值.构建函数y=ax−1x+b，得到函数在1,4的单调性，从而知道函数在1,4【详解】依题意ax−1x+b∴ax−1∵a>0，∴y=ax−1x+b∴a−1+b≤ax−1x+b≤4a−∴当a−1+b+4a−14+b∴3a+342故答案为：13【点睛】方法点睛，不等式存在解（恒成立）的问题，一般转换为求不等式的最值来建立新的不等式，然后求得参数范围.四、解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD，BE分别为BC，AC边上的高，ADBE=3(1)求证：A=2B；(2)若c=73，求【答案】(1)证明见解析(2)a=4．【分析】（1）由三角形内角和以及三角函数诱导公式，利用三角函数的和角公式，可得答案；（2）由三角形面积公式，利用正弦函数以及余弦的二倍角公式与和角公式，可得三角形内角的余弦值，根据余弦定理，可得答案.【详解】（1）由A+B+C=π，则C=则sinC−B所以sinA整理可得cos则sin2B−A=0，由A,B∈0,π，∴当2B−A=π时，可得A=2B−π，则0<B<π0<2B−π<π∵ADBE=34，且由正弦定理可知sinBsinA=3所以2B−A=π不符合题意，舍去，所以A=2B（2）由（1）可知sinBsinA则sinBsinA=sincosA=2cos2设a=4x，b=3x，∵c=73，由余弦定理可知∵x>0，解得x=1，∴a=4．16．如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，PC=PD=2，点E在棱PA上，且PE=2EA(1)证明：PC//平面DBE；(2)若PB=2，求PB与平面DBE【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】（1）利用平行线的线段比例关系得到PC//EF，即可证明PC//平面DBE.（2）取CD中点G，以G为原点建系，利用线面角的向量求法即可求得结果.【详解】（1）连接AC交BD于F，连接EF，∵AB∥CD,CD=2AB，∴FC=2AF．又∵PE=2EA，∴EF//PC，∵EF⊂平面DBE，PC⊄平面DBE，∴PC//平面（2）取CD中点G，连接PG,BG，∵PD=PC，∴PG⊥CD，PG=1，又∵DG//AB，DG=AB，∴四边形ABGD为矩形，∵PB=2=P∵CD∩BG=G，且CD⊂平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，以G为原点建系如上图，P(0,0,1)，A(1,1,0)，D(1,0,0)，B(0,1,0)，E2∴PB=(0,1,−1)，DB=(−1,1,0)，设n=(x,y,z)为平面DBEn⋅DB=−x+y=0,n⋅EB=−2x3∴cosPB∴PB与平面DBE所成角的正弦值为6317．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，Px0(1)求C的方程；(2)过P作C的切线l，过P作l的垂线交C于点Q，求|FQ|的最小值．【答案】(1)x(2)9【分析】（1）根据抛物线的标准方程，可得抛物线的准线方程，由定义建立方程，可得答案（2）利用导数以及直线垂直求得直线方程，联立求交点，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）设C的准线方程为y=−p2，∴|PF|=y0+即y0+1=y0+p2，p（2）∵y′=x2，∴点P处的切线斜率为x02，∴直线与x2=4y联立可得，x2即Q的横坐标为−8x0−x∴|FQ|=x0218．人工智能（英语：ArtificialIntelligence，缩写为AI）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表：关注不关注合计男生5560女生合计75(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有99%的把握认为学生对AI(2)为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK，甲，乙两名选手参加PK赛，比赛共有nn≥2,n∈N∗（ⅰ）已知n=3，p=12，且已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲，乙得分之差的绝对值为X，求（ⅱ）由于甲选手较为自负，甲决定放弃第一题的作答．若最终乙获胜的概率为12，求p附：χP0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，有，理由见解析；(2)（ⅰ）分布列见解析，EX=98【分析】（1）数据分析得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）（ⅰ）设甲、乙得分分别为X1,X2，得到（ⅱ）假设除去第一题外的剩余n−1题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为p1，乙比甲得分高的概率为p2，甲乙得分相同的概率为p3，分析出p2+12【详解】（1）2×2列联表如下：关注不关注合计男生55560女生201030合计751590∴χ2故能有99％的把握认为学生对AI的关注与性别有关．（2）（ⅰ）设甲、乙得分分别为X1,X故X1=0X2=1，X1=1X2=0，X1其中X=X1−X2又PXPXPXPX根据贝叶斯公式，PX=1PX=3∴X的分布列为X13P151∴EX=1×15（ⅱ）假设除去第一题外的剩余n−1题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为p1乙比甲得分高的概率为p2，甲乙得分相同的概率为p由于甲乙水平相当，根据对称性可知p1=p∴2p2+如若乙比甲得分高，则第1题无论结果如何都是乙获胜；如若甲比乙得分高，则乙不可能获胜；如果甲乙得分相同，则第一题乙必须答对才能获胜，故乙获胜的概率P=p∵P=12，∴p=119．对于函数y=u(x)与直线l:y=kx+b，定义：当x∈[m,n]时，P=maxu(x)−(kx+b)为函数u(x)与直线l在区间[m,n]上的偏差，P取最小值时，称l为函数u(x)在区间[m,n]上的最佳逼近直线．已知函数fn(x)=xe1nx(1)当n=2时，函数g2(x)的两个零点分别为s，t(s<t)直线l:y=−2ln2，求g2(2)求证：对于任意给定的一个n的值，fn(x)在(0,+∞)上总存在三个不同的零点(3)函数gn(x)在区间xn1,x