湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−3,−A．−2,−1,0 B．−2．若z1+i=1A．12+12i B．123．若函数fx=k+eA．−e2 B．e2 C．−4．已知角α顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则它的终边过点(3,4)，若将角α的终边绕坐标原点顺时针旋转π6得到角A．33−410 B．33+5．将一个底面半径为2，高为23的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为（

A．16π3 B．32π3 C．6．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为35,3A．712 B．79 C．237．已知椭圆C:x2a2+y2b2=A．1 B．2 C．4 D．88．已知函数fx=ex+2x+3，其导函数为yA．e,+∞ B．e33,二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．(1-2xB．(1+C．从4名男生，3名女生中选2名学生参加志愿者服务，X表示参加志愿服务的男生人数，则ED．36有9个不同的正因数10．如图，直线y=1与函数fx=2sinωx+φφ

A．φB．ωC．将函数fx的图象向左平移π6个单位，得到函数D．当x∈π11．已知F1,F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左右两支分别交于P,Q两点，△PA．QF1=F1C．r1r2三、填空题12．已知向量a=1,2,b=m,313．已知数列an满足4n−114．已知函数fx=ln1−x,x<四、解答题15．已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C(1)求A；(2)求△A16．已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，点F(1)求抛物线C的方程；(2)设直线OA,OB的斜率为kO17．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥底面AB

(1)求证：PA(2)已知二面角P−BC−D的平面角等于π3，则在线段AB上是否存在点M，使得M18．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)令hx=f′x(3)令φx=fx−19．“m−外观数列”(设m各位上的数字均不为0)是指以下特点的整数序列：它以正整数m开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如第一项：11第二项：21(描述第一项为2个第三项：1211(描述第二项为1个2，第四项：111221(描述第三项为1个1，1个第五项：312211(描述第四项3个1，2个2(1)求“31−(2)若从“m−外观数列”1(3)证明：当m是六位数时，“m−外观数列”从首项开始最多连续4答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题》参考答案题号12345678910答案DCBCADCBBCDAD题号11答案BCD1．D【分析】先求出集合B，根据集合的交集运算即可求解.【详解】由x2≤5⇒−故选：D.2．C【分析】应用复数乘法求复数.【详解】由z=故选：C3．B【分析】根据题意可知fx【详解】令ex−1≠0，可得x若函数fx为奇函数，则f可得fx所以k=故选：B.4．C【分析】根据终边上的点求函数值，再应用差角正弦公式求si【详解】由题意co则si故选：C5．A【分析】球是圆锥的内切球，打打磨成的球的表面积最大，据此求解即可.【详解】由题意可得圆锥的母线长为23将圆锥形石材打磨成一个球，要使球的表面积的最大，则球的半径要最大，此时球是圆锥的内切球，设等边三角形的内切球的半径为r，由等边三角形的性质可得tan30°=所以球的表面积为4π故选：A.6．D【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式求出两人有资格挑战第二关的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为A,B，两人有资格挑战第二关的事件为则P(A)=3所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率P(故选：D7．C【分析】先由几何关系确定当外接圆的半径为MP=a【详解】

设△F1F2P的外接圆的圆心为M又P在x=a2上，M∴MP≥a2由题意可知，c=1,故选：C.8．B【分析】设gx=xex+2x，先转化问题为gx<glnax在x∈12,3【详解】因为fx=e因为当x∈12即当x∈12所以当x∈12即当x∈12即当x∈12即当x∈12设gx=xex所以函数gx=x所以xex+可以转化为gx<g即x<lna即a>exx对∀x设hx=exx令h′x<0，即12所以函数hx在12,又h3=e33，h2=所以e33>所以a>e33，即实数故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将问题转化为gx<g9．BCD【分析】根据二项式定理求指定项系数、二项式系数和判断A、B；根据随机变量的取值及其对应概率求期望判断C；由36=【详解】由(1-2令r=3时，展开式中x3由(1+2由题意，从4名男生和3名女生中任选2名参加活动，共有C72=X的取值为0、1、2，P(X=0)所以E(因为36=1×36=故选：BCD10．AD【分析】对A，根据fx过A0,1判断即可；对B，由B,C相邻可得ωx【详解】对A，由fx过A0,1可得2sinφ=对B，由fx=1可得2sinω由B,C相邻可得ωx故ωxC−xB=4π对C，由AB可得fx=2sin4x+对D，当x∈π4,π则fx故选：AD11．BCD【分析】设△QF1F2内切圆与QF1,F1F2,QF2的三边分别切与点E,K,G，则由双曲线定义、内切圆性质可得OK=a，再由S【详解】对于A，如图所示，设△QF1F2则由双曲线定义可得QF1−又F1K+KF2=又S1:S则F1对于B，设F1F2所以△QF1F2则QE=Q所以a+c=2c对于C，由B可知：x=a，则sin∠F1QF所以S△由等面积法可知，12整理得128a设PF1=m，F1F2则∠F1Q由余弦定理可得：cos∠整理得：8a2=3am，即又等面积法可得：12即128a则r1对于D，所以QH故选：BCD.【点睛】关键点点睛：在C选项中解题的关键点是利用等面积得r2=412．3【分析】用向量平行的坐标表示计算即可；【详解】a−b=因为a−b∥a+2b故答案为：3213．4−【分析】由题意可得a14+【详解】由4n−1所以a1两式相减得an所以an当n=1时，41所以an故答案为：4−14．−∞【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案.【详解】当x<0时，则fx求导可得y′=1−xx−11y+0−y单调递增极大值单调递减由函数y=ln1所以函数fx与函数gx在当0<x<1时，求导可得y′=x−1则函数y=1e当x=0时，y=1e由1e×1e2所以函数fx与函数gx在由题意可得函数fx与函数gx在当x≥1时，fx令hx=0当方程有两个相等的实数解时，Δ=4−此时x=当方程在1,+∞有一个实数根时，可得Δ综上可得−∞故答案为：−∞15．(1)A(2)3【分析】（1）由正弦定理结合sinB=sinA+（2）根据∠ADB+∠ADC=π和余弦定理得AC【详解】（1）3a3sin又sinB故3sin即3sin因为C∈0,π，所以由辅助角公式得2sin又A∈0,即A−π6（2）∠ADB由余弦定理得AD由D为BC中点，化简得AAD=3又2b2−又cosA=1将a2=2b2解得b=则△AB16．(1)y(2)证明见解析，2【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可；（2）法一：设Ax1,y1,B法二：先讨论当直线AB的斜率不存在时，直线AB过点，再分析当直线ABy=kx+b【详解】（1）y2=2px直线2x+3y−则p2=所以抛物线为y（2）法一：由题意可知AB设Ax1,y1y2则y1Δ又k则n=即直线AB恒过点法二：当直线AB的斜率不存在时，设A所以kOA⋅kOB=当直线AB的斜率存在时，设Ay=kx+b由题意可知Δ=(2由韦达定理知x1所以kO所以b=所以AB所在直线方程为综上，直线AB恒过点17．(1)证明见解析(2)存在，M为AB【分析】（1）由余弦定理可求得ED=3，进而可得BC⊥DE（2）法一，取AD的中点O，可证PO⊥底面ABCD，设在线段AB上存在点M，使得M到平面PBC的距离为34，且BM=t，利用等体积法求解即可.法二，取AD的中点O，可证OP,OA,OB两两垂直，以O【详解】（1）因为BC=23，E为边又在△DCE由余弦定理可得ED=6+3又ABCD为平行四边形，所以AD∥又平面PAD⊥底面ABC所以DE⊥平面PAD，又所以DE（2）法一：取AD的中点O，又P

所以PO⊥AD,又平面PAD⊥所以PO⊥底面所以PO而BO所以∠PBO即为二面角P又△POB所以OP设在线段AB上存在点M，使得M到平面PBC的距离为3△PBCS△又VM解得t=62，即M法二：取AD的中点O，又P

所以PO又平面PAD⊥所以PO⊥底面又DE∥BO，所以所以OP如图，以O为坐标原点，以OA,OB,OPO0设OP=m设平面PBC的法向量为则n⋅取y1=m又平面ABCD则cosπ3=cos<则平面PBC的一个法向量为设MB=λ则34解得λ=即M为AB18．(1)答案见解析(2)两个极值点.(3)k>1【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性；（2）求导，求hx的极值点个数即为求h（3）求导，整理得φ′x=分k≤0和【详解】（1）fx的定义域为R当k≤0时，f′当k>0时，由f′由f′x>综上，当k≤0时，fx当k>0时，fx在−（2）hx令m当k=1时，m′x∈ln6,+又h′0=所以h′x分别在−∞即hx（3）φxφ又φ0①若k≤0，则φ′x>②若k>0又x2−2x+2i.当k=16时，即ϕ0=当x∈0,+∞时，φii.当0<k<16时，即ϕ所以存在唯一x1<0，使得ϕx1当x∈x1,又x→−∞时，φiii.当k>16时，即ϕ0=所以存在唯一x2>0，使得ϕx2当x∈x2,又x→+∞时，φ所以，φx有且仅有两个零点时，k>1【点睛】思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解.19．(1)第三项为111321，第五项为(2)16(3)证明见解析【分析】（1）根据外观数列的定义，逐步分析前一项数字的组成并进行描述得到下一项.（2）需要先找出所有可能的数列的第一项和第二项的情况，再根据概率的定义计算.（3）证明当m是六位数时，“m-外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减，需要根据外观数列的定义和六位数的特征进行分析推理.【详解】（1）根据“31−外观数列”的定义得到，第三项为111321，第五项为（2） ①m为一位数时，第 ②m为两位数时，即m为aa时，第二项为2a，当a大于2 ③m为三位数时，即m为aaa时，第二项为3a综上，总共有16个数列符合，在所有数列中含0的数有9+9+162=（3）证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第i项为ai ①若m只有一个数字串，即m=a1=aaaaaa，则a2=6 ②若m只有两个数字串，即m=若p≠a，则a2至少三个数字串，a3至少是6若p=a，此时a2=a若q=b，则a+当a=4，b=2若q=a若b≠1，则若b=1，则a4=2321 ③若m只有三个数字串，即若p≠a，则a2至少四个数字串当p=a时，同理q=a或若q=a，r=b，则a2=若a=2，b=22a+c=6，a3=3alb2c，同理a=3或 ④若m有四个以上数字串，则a2>a1，不存在连续4项单调递减.