《热学（第二版）》杨体强编-李椿 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布学习资料

第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律1设总分子数为N

，在速率区间一、速率分布函数有个分子在足够小的

区间，可认为比率与成正比§3.1气体分子的速率分布律表示在

附近，区间分子数占总分子数的比率（概率）2速率分布函数因此或这个比率应该是速率的函数表示分布在速率v处，单位速率区间内分子数占总分子数的比率，气体处于平衡态时，它是速率的函数。3如果知道分布函数，那么因为全部分子出现在区间，所以它是分布函数

遵循的一个条件，叫做归一化条件。4

其中k为玻耳兹曼常量，m、T分别为气体分子质量及气体温度。麦氏分布函数二、麦克斯韦速率分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任意速率区间分子数的比率为

麦克斯韦56令最概然速率物理意义

气体在一定温度下，分布在最概然速率附近单位速率间隔内的相对分子数最多。7

N2分子在不同温度下的速率分布同一温度下不同气体的速率分布8需要指出：式中dN指的分子数的统计平均值。在任一瞬时实际分布在某一速率区间的分子一般说来是与统计平均值有偏差的。偏差有时大，有时小；有时正有时负。这种对于统计规律的偏离现象叫做涨落现象。概率论指出，如果按速率分布律推算出分布在某一速率区间内的分子数的统计平均值为∆n，则实际分子数对于这一统计平均值的偏离范围，即涨落幅度基本上是

，而涨落的百分数就是分子数∆n

越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。9平均速率（算术平均值）离散型连续型三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值10根据积分公式11方均根速率方均根速率12三种速率的比较2pvvv<<13三种速率的使用在讨论速率分布，比较两种不同温度或不同分子质量的气体的分布曲线时常用到最概然速率；在计算分子平均自由程、气体分子碰壁数及气体分子之间碰撞频率时则用到平均速率；在计算子平均动能时用到方均根速率。

三种速率在不同的问题中各有自己的应用：14四、麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布函数从理论上可以导出：在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间内的分子占总分子数的比率为

麦克斯韦速度分布律15从速度分布导出速率分布引用速度空间概念，以为轴的直角坐标系速度空间体积元16速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间球壳体积为满足此条件的速度矢量其端点位于半径为，厚度为的球壳内17用球壳体积得麦克斯韦速率分布代替并注意18D’，D意义为：速度空间，单位体积内的分子数占总分子数的比率进一步说明在平衡态下，D’，D相等19三个速度分量的分布函数

所以

速度分量取值为以先后对积分，可得速度分量在区间内的分子数占总分子数的比率2021[例题]

用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数。取直角坐标系x,y,z，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积dA

[解]

设单位体积内的气体分子数为n，则单位体积内速度的x分量在区间之间的分子数为

在所有之间的分子中

dt时间内能够与dA相碰的分子位于以dA为底、以

为高的柱体内，其数目为22每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数速度的x分量在区间之间的分子数

的分子才能与器壁碰撞每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数23速度的x分量在区间内的分子数为

五、相对于的速度分布与速率分布计算速度的x分量介于0到某一给定值范围内的分子数。24对于有限值积分作如下处理。令相对于的速度分布25定义所以误差函数

这是以最概然速率为单位的麦克斯韦速度分量分布规律。26同理，可得相对的麦克斯韦速率分布规律27应用上式，可计算无量纲速率u>u’

的气体分子数当u’=1时，

当u’=2时，

当u’=6时，

当u’=28时，

28总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比.................................................................................小球在槽内的分配情况，称为一种分布。以N1表示第一槽内的小球数，N2表示第二个槽内的小球数，Ni表示第i个槽内的小球数等等，则我们就得一组数

N1,N2,…,Ni,…

六、统计规律和涨落现象伽尔顿板实验每次实验所得到的分布彼此近似地相同29统计规律有两个显著的特点，一个是它的稳定性，另一个是永远伴随着涨落现象。由大量偶然事件的总体所服从的规律称为统计规律。.................................................................................飞镖统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律。表现了这些事物整体的本质和必然的联系。30§3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布分于射线实验技术的迅速发展，使麦克斯韦速度分布律得到直接的实验证明。一、分子射线分子射线实验装置。容器中贮有处于平衡态的气体。在器壁上开一狭缝S（或小孔)，使气体分子从容器中逸出。31缝充分窄时，少量分子的逸出不会破坏容器中气体的平衡态。容器外抽成高真空，使逸出的分子不致受到其他残余气体分子的碰撞而偏离直线运动。在分子前进的方向上平行于S，再放置一些狭缝S1、S2等，则可获得一窄束分子射线。这样获得的分子射线是容器中平衡态下气体分子的取样，因而测定射线中分子的速率分布就可以验证麦克斯韦分布律。另外，利用分子射线还可以直接研究分子、原于及原子核的一些基本性质。32二、葛正权实验我国物理学家葛正权曾在1934年测定铋(Bi)蒸气分子的速率分布。O是蒸气源，S1、S2和S3都是狭缝。R是一个可以绕中心轴(垂直于图平面)转动的空心圆筒。全部装置放在真空容器中。33如果圆筒R不转动，分子通过狭缝S3进入R，沿直线射向装在R内壁上的弯曲玻璃板G，沉积在板上正对着S3的P处，那里镀上一窄条铋。当R以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远的地方。34R转过的角度，出以上两式消去t，即得设速率为

的分子沉积在P’处以s

表示弧PP’的长度。表示R的角速度，D表示R的直径，铋分子由S3P到达P’处所需时间为s与对应弧长为35取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度随s

变化的关系，可确定铋分子按速率分布的规律。经过多次实验发现，实验结果与麦克斯韦速率分布律很好地符合。36三、密勒和库士实验密勒(Miller)和库士(Kusch)在1956年用铊蒸气的原子射线做实验精确地验证了麦克斯韦速率分布。实验装置如图3—7所示．O是蒸气源，R是用铝合金制成的圆柱体，可以绕中心轴转动，起滤速作用。在它上面均匀地刻制了一些螺旋形细槽，细槽的入口狭缝与出口狭缝之间的夹角D是根据电离计原理制成的检测器，接收原子射线并测定其强度D的中心是一根通电加热的钨丝，外面套着一个开有狭缝(与蒸气源的狭缝S平行)的金属筒，金属筒相对于钨丝加负电压。37当原子射线通过狭缝打到热钨丝时，每个铊原子都被电离成正离子，并被负电极——金属筒所接收。检测器测得的离子电流的强度直接反映出原子射线的强度。装置放在抽成高真空的容器内。R以一定的角速度转动，射线包括各种速率分子，满足下式关系的分子通过细槽到达D改变角速度，可以使不同速率的分子通过。38入口狭缝和出口狭缝都有一定的宽度，相当于两个狭缝之间的夹角有一定的范围，所以当圆柱体R的角速度。一定时，能通过它的分子速率并不严格相同，而是分布在一定区间内。使圆拄体R以不同的角速度转动，检测器依次测定对应的离子流强度就可确定分子按速率分布的情况。图中实线是根据麦克斯韦分布律作出的铊分子射线870K时的速度分布曲线，圆圈表示实验结果。理论与实验两者相当精确地吻合。39一、玻耳兹曼分布律气体分子平动能§3.3玻耳兹曼分布重力场中微粒按高度的分布气体分子不受外力作用下的麦克斯韦统计分布波耳兹曼40分子的总能量包括动能和势能玻耳兹曼推广到气体分子受保守力作用下的情况势能是位置的函数，因此，这时考虑的分子应该指这样的分子，不仅它们的速度限定在一定的速度区间，而且它们的位置也限定在一定的空间，位于区间的分子数是玻耳兹曼

按能量分布律即：系统在力场中处于平衡态时，41如果对所有可能的速度积分，并注意到麦克斯韦速度分布函数满足归一化条件式子写作dN’表示分布在坐标空间分子数42只要粒子之间相互作用很小而可以忽略，处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒子，一般都遵循玻耳兹曼分布。分子

按势能分布律43地球大气中的气体分子，倘若没有热运动，在重力的作用下，将聚集到地球表面处很薄的一层里。二、

重力场中微粒按高度的分布倘若气体分子只有热运动，没有重力的作用，它们将从地球逃逸。气体在重力场中，气体分子的热运动和地球对大气分子的引力作用，使大气层维持在地球周围一定的厚度范围，使空气分子按高度有一个确定的分布。

44它与分子质量和温度有关

把大气视作理想气体,在一定温度下，压强与分子数密度n的关系为代入上式等温气压公式大气上下温度是有差异的,所以等温气压公式得到的结果是近似的45由等温气压公式可得从上式，可由气压求得高度。46其中m*称为等效质量。

1908年法国科学家Perrin首次观测到，1926年获得诺贝尔物理学奖。[例]

求悬浮微粒按高度的分布

[解]设每一个微粒的质量为m，体积为V，微粒的质量密度为。将其放在质量密度为溶液中。微粒受力是47§3.4

能量均分定理决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的自由度数，简称自由度。质点：i=3：（x,y,z）

3个平动自由度

一．自由度本节介绍热运动能量所遵从的统计规律。刚体：i=6:过质心轴线的方位：2个自由度

绕轴线转动的位置：1个自由度质心C（xc，yc，zc），3个平动自由度

48单原子分子（如氦、氖、氩等）看作自由运动的质点，所以有三个自由度。双原子分子（如氢、氧、氮、一氧化碳等）是由一根化学键联接起来的线状分子，绕两个原子连线方向的转动惯量可以忽略不计，但两个原子之间的距离可伸长或缩短。因此，可以用一根质量可忽略的弹簧及两个质点构成的模型来表示这种分子。所以，双原子分子需要用三个独立坐标决定其质心的位置，两个独立坐标决定其连线的方位，一个独立坐标决定两质点的相对位置。双原子分子共有六个自由度，三个平动自由度，两个转动自由度，一个振动自由度。49由N

个原子组成的分子的自由度一般最多有3N个自由度，其中3个是平动自由度，3个转动自由度，其余3N-6个是振动自由度。自由度：i=t（平动自由度）+

r（转动自由度）+s（振动自由度）质心平动：t=3过质心轴的转动：r=3其余为振动：s=3N-6

多原子分子（由三个或三个以上原子组成的分子）的自由度数，需要根据其结构情况进行具体分析才能确定。

基本形式：运动=平动+转动+振动502个约束1个约束自由

当物体受到约束，自由度减少51已知理想气体的结果二．能量按自由度均分定理分子在每一自由度上具有相同的平均动能，其大小为即分子平动动能3kT/2是均匀地分配于每一个自由度的。

，，52这个结果可以推广到分子的转动与振动。根据经典统计物理学原理可以导出一个普遍的定理——能量按自由度均分定理：平均总动能上述结果，可以设想是这样的物理图像：气体中实现的热力学平衡态，是通过气体分子之间的频繁不断碰撞得以建立和维持的。在碰撞过程中，一个分子的能量传递给另一个分子，一个自由度相应的能量转化为另一个自由度相应的能量。达到平衡态后，没有理由说，某一个自由度具有比另一个自由度有什么特别的优势，那么总的能量只能是机会均等地平均地分配于每一个自由度。53在一个周期内，简谐振动的平均动能与平均势能都相等：若某种分子有t个平动自由度、r个转动自由度、s个振动自由度，则每一分子的总的平均能量为54小结1）只有在平衡态下才成立。2）对大量分子统计平均所得结果——能量按自由度分布的统计规律。3）不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。55刚性分子的平均动能单原子：t=3,r=0,双原子：t=3,r=2,s=0非刚性分子的平均能量单原子：t=3,r=0,双原子：t=3,r=2,s=1单原子双原子单原子双原子56物体分子的无规热运动动能与分子之间相互作用势能总和称为内能质量为m的理想气体的内能为理想气体，分子间无相互作用，所以其内能只是分子的各种形式动能和分子内原子间振动势能的总和。三．理想气体的内能571mol摩尔理想气体内能由上面的结果可以看出，理想气体的内能只取决于分子的自由度和气体的温度，而与气体的体积及压强无关。58设摩尔质量为M,则摩尔热容Cm为四、理想气体的热容

温度升高（或降低）1oC物体吸收（或放出）的热量叫做物质的热容。物质的质量为m，物质的比热容为c，物体热容C为

1mol物质温度升高（或降低）1oC物体吸收（或放出）的热量叫做物质