2025年新疆乌鲁木齐高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页乌鲁木齐地区2025年高三年级第一次质量监测数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数（

）A． B． C． D．3．在公差不为0的等差数列中，若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．104．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门.选考方案有（

）A．6种 B．8种 C．12种 D．15种5．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（

）A． B． C． D．6．若，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（

）A． B． C． D．8．已知函数，，当时，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．关于双曲线，下列说法正确的有（

）A．实轴长为16 B．焦点坐标为，C．离心率为 D．渐近线方程为10．关于的函数，下列结论正确的有（

）A．函数的最小正周期B．若，则是奇函数C．若，则是图象的一条对称轴D．若，，则11．给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（

）A．三棱锥的体积为定值B．若点在线段上，则异面直线与所成角为定值C．若点在线段上，则的最小值为D．若，则点轨迹的长度为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12．已知则；13．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择交通工具；14．已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为.四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.(1)求的面积；(2)求中的角平分线的长.16．如图，一个质点从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位，每次移动时向右移动的概率为0.6，记后质点所在的位置是.(1)求；(2)至少几秒后才能使得.17．如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点.(1)若平面，证明是的中点；(2)若，，平面与平面夹角的余弦值为，求.18．已知抛物线：的焦点为，点在上，且.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点（异于点）.（ⅰ）若，求；（ⅱ）过点与直线垂直的直线交于，两点，设线段，的中点分别为，，是坐标原点，求面积的取值范围.19．已知.(1)求证：当时，；(2)设.（ⅰ）求证：数列为递减数列；（ⅱ）求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】由并集的运算即可求解；【详解】由，，则，故选：A2．D【分析】根据复数的除法计算后可得正确的选项.【详解】，故选：D.3．D【分析】根据等差数列前项和公式和等差数列的通项公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为，则，由得，所以，即.故选：D.4．C【分析】利用组合知识和分步乘法计数原理得到答案.【详解】从物理、历史2门首选科目中选考1门，有种选择，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门，有种选择，故选考方案有种.故选：C5．B【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则，由得，可得，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.6．D【分析】利用特殊值判断A、B、C，利用不等式的性质判断D.【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误；对于B：当，时满足，但是，故B错误；对于C：当，时满足，但是，故C错误；对于D：若，则，所以，则，故D正确；故选：D7．B【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得.【详解】如图，设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体，因为水面过的中点，则，则弓形的面积为，当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为，则由水的体积不变可得：，即，解的：.故选：.8．D【分析】取特值解得，整理可得，换元令，构建，根据导数的几何意义求临界状态，结合图象即可得结果.【详解】因为当时，，则，即，整理可得，解得，若，则，整理可得，令，则，可得，构建，则，可知在内单调递增，若与相切，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，整理可得，注意到直线过定点，则，整理可得，注意到，可得，即，可得，结合图象可知：，所以的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：取特指确定的必要条件，这样可以简化讨论和计算.9．ABC【分析】将双曲线方程化为标准形式，求解长轴判断A，求解焦点坐标判断B，求解离心率判断C，求解渐近线方程判断D即可.【详解】因为，所以，则，化简得，则，对于A，则实轴长为，故A正确，对于B，焦点坐标为，，故B正确，对于C，离心率为，故C正确，对于D，渐近线方程为，故D错误.故选：ABC10．BCD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，即判断奇偶性；对于C：整理可得，根据对称性的定义分析判断；对于D：代入可得，，两式平方相加整理即可.【详解】函数的定义域为，对于选项A：例如，则，此时函数无最小正周期，故A错误；对于选项B：若，即，可得，可知函数为奇函数，故B正确；对于选项C：若，即，可得，则，所以是图象的一条对称轴，故C正确；对于选项D：若，，可得，，因为，即，整理可得，故D正确；故选：BCD.11．ABC【分析】建立空间直角坐标系，求出底面积，再利用点到平面的距离公式求出点面距离，求出体积是定值判断A，利用线线角的向量求法求出线线角，得到定值判断B，作出展开图，利用先判断最小值是线段，再利用余弦定理求解其长度判断C，求出轨迹方程，再利用圆的弧长公式求解弧长判断D即可.【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，设，，则，对于A，易得面的法向量为，设到面的距离为，由点到平面的距离公式得，而，则，即三棱锥的体积为定值，故A正确，对于B，因为点在线段上，所以，而，，则，，得到，，解得，即，如图，连接，由题意得，，则，，设异面直线与所成角为，则，而，故，即异面直线与所成角为定值，故B正确，对于C，如图，将面沿着翻折，使面与面共面，由题意得四边形是正方形，四边形是矩形，得到，，故而，则的长度即为所求最小值，由余弦定理得，解得，故C正确，对于D，如图，连接，此时，，则由两点间距离公式得，因为，所以，两边同时平方得，化简得，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，由正方体性质得，则弧长为，即点轨迹的长度不为，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后求解出轨迹方程，再利用弧长公式得到所要求的轨迹长度即可．12．##0.5【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可.【详解】因为，所以，则.故答案为：13．自行车公交车【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案.【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.根据和的分布密度曲线图可知：，，可得，若有可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；若有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车；故答案为：骑自行车；坐公交车.14．【分析】设直线为，求得纵坐标，由求得的坐标，代入椭圆方程即可求解.【详解】由题设，令直线为，易得因为可得，又，可得：，再结合，可得代入椭圆方程，又，所以化简可得：，因为，易知所以，即所以故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）根据面积公式运算求解即可；（2）设角平分线为，根据面积关系运算求解即可.【详解】（1）因为，，，所以的面积为.（2）设角平分线为，因为则，即，解得，所以的角平分线的长为.16．(1)(2)至少后【分析】（1）根据题意分析可知，，可得，结合二项分步运算求解；（2）由（1）结合期望的性质可得，令，运算求解即可.【详解】（1）记后质点向右移动的次数为.则，且，可得，令，即，解得，则.（2）由（1）可知：，令，解得，所以至少后才能使得.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的性质可得，进而根据四边形是平行四边形，即可求解，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解.【详解】（1）过点作交于点，连接，则，即、、、四点共面，∵平面，平面,平面平面，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴是的中点（2）∵，平面，以为坐标原点，为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立坐标系.记，则，，，，.设,则，即点的坐标为,，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，则，因为平面与平面的夹角余弦值为，所以.整理得,解得或（舍），所以.18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）根据焦半径公式以及点的坐标即可联立方程求解，（2）联立直线与抛物线的方程，根据向量垂直的坐标运算即可求解，进而根据焦点弦公式求解（ⅰ），根据中点坐标求解直线的方程，即可直线与轴的交点，根据三角形面积公式，结合基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意可得，解得或（舍）.所以的方程为（2）（ⅰ）由（1）可得.设直线的方程为，，.由方程组，消去，得，则，所以，.由可得解得或（舍）.所以直线的方程为.；（ⅱ）由（ⅰ）可得，故故，将换成可得，当时，或，故直线的方程为，当时，，故直线的方程为，令，得，，当且仅当时等号成立，所以面积的取值范围为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用表示出来，然后再利用基本不等式长最值．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式；（2）（ⅰ），令，，构造函数并求导，即可求解函数的单调性，从而得到数列的单调性，即可得证.（ⅱ）由题意