厦大概率论试题及答案

厦大概率论试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列哪个是概率论的基本概念？

A.概率

B.概率空间

C.随机变量

D.期望值

2.设随机变量X服从标准正态分布，则P{X>0}等于：

A.0.5

B.0.3

C.0.7

D.0.2

3.若事件A与事件B互斥，则P{A∪B}等于：

A.P{A}+P{B}

B.P{A}-P{B}

C.P{A}×P{B}

D.1-P{A}×P{B}

4.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X<0}等于：

A.F(0)

B.1-F(0)

C.F(-∞)

D.1-F(-∞)

5.若随机变量X服从二项分布，则P{X=k}的公式为：

A.C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)

B.C(n,k)×p^(n-k)×(1-p)^k

C.C(n,k)×p^k×(1-p)^n

D.C(n,k)×p^(n-k)×(1-p)^n

6.设随机变量X服从泊松分布，则P{X=k}的公式为：

A.e^(-λ)×λ^k/k!

B.e^(-λ)×λ^k/(k-1)!

C.e^(-λ)×λ^k/(k+1)!

D.e^(-λ)×λ^k/(k-2)!

7.设随机变量X服从均匀分布，则P{a<X<b}的公式为：

A.(b-a)/2

B.(b-a)/3

C.(b-a)/4

D.(b-a)/5

8.设随机变量X服从指数分布，则P{X>a}的公式为：

A.e^(-a)

B.e^(a)

C.1-e^(-a)

D.1-e^(a)

9.设随机变量X服从正态分布，则P{μ-σ<X<μ+σ}的值约为：

A.0.68

B.0.95

C.0.99

D.0.997

10.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y服从泊松分布，则X与Y的联合分布为：

A.正态分布

B.泊松分布

C.二项分布

D.指数分布

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设随机变量X服从二项分布，n=5，p=0.3，则P{X=2}的值为______。

2.设随机变量X服从泊松分布，λ=2，则P{X=3}的值为______。

3.设随机变量X服从均匀分布，a=1，b=3，则P{1<X<2}的值为______。

4.设随机变量X服从正态分布，μ=0，σ=1，则P{X<0}的值为______。

5.设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从泊松分布，则P{X>0,Y>0}的值为______。

6.设随机变量X服从二项分布，n=10，p=0.5，则P{X=5}的值为______。

7.设随机变量X服从泊松分布，λ=3，则P{X=2}的值为______。

8.设随机变量X服从均匀分布，a=2，b=4，则P{2<X<3}的值为______。

9.设随机变量X服从正态分布，μ=1，σ=2，则P{1<X<3}的值为______。

10.设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从泊松分布，则P{X≤0,Y≤0}的值为______。

三、计算题（每题5分，共25分）

1.设随机变量X服从二项分布，n=6，p=0.4，求P{X=3}。

2.设随机变量X服从泊松分布，λ=4，求P{X=2}。

3.设随机变量X服从均匀分布，a=1，b=3，求P{1<X<2}。

4.设随机变量X服从正态分布，μ=0，σ=1，求P{X<0}。

5.设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从泊松分布，求P{X>0,Y>0}。

6.设随机变量X服从二项分布，n=10，p=0.5，求P{X=5}。

7.设随机变量X服从泊松分布，λ=3，求P{X=2}。

8.设随机变量X服从均匀分布，a=2，b=4，求P{2<X<3}。

9.设随机变量X服从正态分布，μ=1，σ=2，求P{1<X<3}。

10.设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从泊松分布，求P{X≤0,Y≤0}。

四、简答题（每题5分，共20分）

1.简述概率论的基本概念，包括概率空间、事件、随机变量等。

2.解释概率分布函数的概念，并说明其作用。

3.简述随机变量独立性的概念，并给出两个随机变量相互独立的充分必要条件。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明二项分布的分布函数为：

\[F(x)=\sum_{k=0}^{x}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

其中，n为试验次数，p为每次试验成功的概率，x为成功的次数。

2.证明泊松分布的分布函数为：

\[F(x)=\sum_{k=0}^{x}\frac{e^{-λ}λ^k}{k!}\]

其中，λ为平均发生率，x为发生次数。

六、综合应用题（每题15分，共30分）

1.设随机变量X服从正态分布，已知P{X>μ}=0.2，求P{μ<X<μ+σ}。

2.设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从泊松分布，求X与Y的联合分布函数F(x,y)。

3.设随机变量X服从均匀分布，a=1，b=5，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A（概率是描述随机事件发生可能性的度量，概率空间是包含所有可能结果的集合，随机变量是对随机现象进行数学描述的变量，期望值是随机变量的平均值。）

2.A（标准正态分布是对称的，所以P{X>0}=0.5。）

3.A（互斥事件是指不能同时发生的两个事件，所以P{A∪B}=P{A}+P{B}。）

4.A（分布函数F(x)表示随机变量小于或等于x的概率，所以P{X<0}=F(0)。）

5.A（二项分布的公式为P{X=k}=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。）

6.A（泊松分布的公式为P{X=k}=e^(-λ)×λ^k/k!。）

7.A（均匀分布的区间概率为区间长度除以总体长度，所以P{a<X<b}=(b-a)/2。）

8.C（指数分布的累积分布函数为F(x)=1-e^(-λx)，所以P{X>a}=1-e^(-λa)。）

9.C（正态分布的对称性使得P{μ-σ<X<μ+σ}≈0.997。）

10.D（相互独立的随机变量X和Y的联合分布由各自的分布决定。）

二、填空题答案及解析：

1.0.3456（根据二项分布公式计算。）

2.0.1353（根据泊松分布公式计算。）

3.0.25（根据均匀分布公式计算。）

4.0.5（根据正态分布的对称性。）

5.0.2（根据泊松分布和正态分布的独立性。）

6.0.2461（根据二项分布公式计算。）

7.0.1353（根据泊松分布公式计算。）

8.0.125（根据均匀分布公式计算。）

9.0.4772（根据正态分布的对称性。）

10.0.0062（根据泊松分布和正态分布的独立性。）

三、计算题答案及解析：

1.0.2373（根据二项分布公式计算。）

2.0.2712（根据泊松分布公式计算。）

3.0.5（根据均匀分布公式计算。）

4.0.5（根据正态分布的对称性。）

5.0.0228（根据泊松分布和正态分布的独立性。）

6.0.2461（根据二项分布公式计算。）

7.0.1353（根据泊松分布公式计算。）

8.0.125（根据均匀分布公式计算。）

9.0.4772（根据正态分布的对称性。）

10.0.0062（根据泊松分布和正态分布的独立性。）

四、简答题答案及解析：

1.概率论的基本概念包括概率空间（所有可能结果的集合）、事件（集合的子集）、随机变量（对随机现象进行数学描述的变量）和期望值（随机变量的平均值）。

2.概率分布函数是描述随机变量取值范围的函数，它表示随机变量小于或等于某个值的概率。

3.随机变量独立性的概念是指两个随机变量之间没有关联，即一个变量的取值不会影响另一个变量的取值。两个随机变量相互独立的充分必要条件是它们的联合分布函数等于各自分布函数的乘积。

五、证明题答案及解析：

1.证明过程：

\[F(x)=\sum_{k=0}^{x}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

其中，\(\binom{n}{k}\)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，p为每次试验成功的概率。

根据二项分布的定义，\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)。

因此，分布函数F(x)可以表示为：

\[F(x)=\sum_{k=0}^{x}P(X=k)=\sum_{k=0}^{x}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

证毕。

2.证明过程：

\[F(x)=\sum_{k=0}^{x}\frac{e^{-λ}λ^k}{k!}\]

其中，λ为平均发生率，k为发生次数。

根据泊松分布的定义，\(P(X=k)=\frac{e^{-λ}λ^k}{k!}\)。

因此，分布函数F(x)可以表示为：

\[F(x)=\sum_{k=0}^{x}P(X=k)=\sum_{k=0}^{x}\frac{e^{-λ}λ^k}{k!}\]

证毕。

六、综合应用题答案及解析：

1.解答过程：

已知P{X>μ}=0.2，则P{X≤μ}=1-P{X>μ}=0.8。

根据正态分布的对称性，P{μ-σ<X<μ}=P{μ<X≤μ}=0.5。

因此，P{μ<X<μ+σ}=P{μ-σ<X<μ}+P{μ<X≤μ}=0.5+0.8=1.3-P{X≤μ}=1.3-0.8=0.5。

答案：0.5。

2.解答过程：

X服从标准正态分布，其分布函数为F_X(x)=Φ(x)，其中Φ(x)为标准正态分布的累积分布函数。

Y服从泊松分布，其分布函数为F_Y(y)=\sum_{k=0}^{y}\frac{e^{-λ}λ^k}{k!}。

由于X和Y相互独立，联合分布函数F(x,y)为：

\[F(x,y)=F_X(x)×F_Y(y)=Φ(x)×\sum_{k=0}^{