2024年高考复习数学第6章第5节空间向量及其运算

第五节空间向量及其运算

考试要求：1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简

单应用空间两点间的距离公式.

2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示.

3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表

示.能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

二必备知识-回顾教材重“四基”二

一、教材概念-结论-性质重现

1.空间向量的有关概念

名称概念表示

零向量长度（模）为Q的向量0

单位向量长度（模）为L的向量

相等向量方向粗目且模相差的向量a=b

a的相反向量为一

相反向量方向相反且模相等的向量

a

表示空间向量的有向线段所在的直线

共线向量a//b

互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

定理及推论语言描述

对任意两个空间向量a,b（〃WO）,a〃方0存在

共线向量定理

使〃=幼

如果两个向量。，力不共线，那么向量p与向量

共面向量定理a，b共面o存在唯一的有序实数对（X,刃，使〃

=.m+）力

如果三个向量mb,c不共面，那么对任意一

空间向量基本定理

个空间向量P，存在唯一的有序实数组（X,»

z),使得p=xa+)力+zc

设。，A,B,C是不共面的四点，则对平面

A8C内任一点P,都存在唯一的三个有序实数

推论

x,y,z,使而=八成+)丽+z沆，且x+y+z

=1

微提窿”■・

空间向量基本定理的3点注意

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

(2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零不能作为基

向量.

(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角

①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作57=。，OB=b,则NAO8叫

做向量a,力的夹角，记作(a，b).

②范围：0W<«,b)WTL

(2)两个非零向量a,b的数量积：a•方=|〃|仍|cos〈a,b〉.

4.空间向量的坐标表示

设a—(。1,42,43),力一(〃1,〃2,Z?3).

名称向量表示坐标表示

数量积a•ba山i+“23+a3b3

共线a=»(brO,2WR)〃1=劝1,。2=2历，。3=，>3

垂直a・方=0(oW0,入关0)aibi+"2岳+。3岳=0

,+谖+谄

模lai

cos(a,b)=

夹角(A,b)(aWO,〃W0)。1瓦+Q2b2+Q3b3

y/a1+«2+a3,J*+园+必

5.常用结论

(1)证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P,A,3可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

①丽=2函AGR).

②对空间任一点O,OP=OA+tAB(t^R).

③对空间任一点O,OP=xOA+y^OB(x+y=\].

(2)证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立

来证明共面：

①丽二,而+)丽.

②对空间任一点O,OP=OM+xMA

③两〃而(或刀〃就或而〃府).

二、基本技能•思想-活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“J”，错的画“X”.

(1)空间中任意两个非零向量。，〜共面.(J)

(2)在向量的数量积运算中，(a•力)・•S・c).(X)

(3)对于非零向量5,若a♦b=b♦c,则4=，(X)

(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(X)

⑸若。•加：0,则Q,b＞是钝角.(X)

2.设〃=(—2,2,/),v=(6,—4,4)分别是平面a,万的法向量.若a_L夕，则

/=()

A.3B.4

C.5D.6

C解析：因为a_L4所以〃・y=-2X6+2X(—4)+4/=0,解得1=5.

3.在平行六面体A8CQ-A81aA中，M为4a与乱"的交点.若而=〃，AD

=b,万(尸。，则下列向量中与前相等的向量是()

g.c,

F/B,

AB

A.—%+与+c

22

B.

22

C.--a--ZF+C

22

D.3一g+c

A解析：丽=西+丽=国+工（而一说）=c+X>-a）=—匕+4+c.

2222

4.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点，则EF的长为

V2解析：|而|2=前2=（说+而+而）2=反2+万2+而2十2（说.而+

EC•DF+CD•DF）=1*24-22+12+2（1X2XCOS120°+0+2X1XCOS120°）=2,

所以|而尸所以EF的长为

--------、关键能力•研析考点强“四翼”/---------

考点1空间向量的线性运算一基础性

「多维训练」

1.在空间四边形O/WC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在0A上，且0M=

2MA,N为3c的中点，贝］丽等于（）

A.

B.

C.

D.

32

B解析：¥N=ON-OM=-（OB+OC）--OA=--a-h-b+-c.

2'3322

2.在正方体48CD-481G£>i中，点£为上底面4a的中心.若荏=踞十大而

十）刘，则不），的值分别为（）

A.1,1B.I,

2

C.-,-D.-1

222f

C解析：AE=AA^+A^E=AAi+=AA1++/1D）,故x=g,y=^.

3.如图，在长方体中，。为AC的中点.

⑴化简：项-述—述=；

(2)用荏，AD,丽表示遍，则鬲=

(1)^4(2)-AB+-AD+AA^

22

解析：⑴砧检而=砧-］而+而尸砧一而=初+函=中.

⑵因为沆=3近="而+而)，所以西=沆+鬲="而+而)+瓯=

工而+工而+踞.

221

解题通法

进行向量线性运算时，需注意以下几个问题：一是结合羽象明确图中各线段的几

何关系；二是要准确运用句量加法、减法与数乘运算的几何意义(易出现用错运

算法则)；三是注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则在空间仍然成立.

考点2共线向量定理、共面向量定理及其应用——应用性

「典例引领」

例口.，(1)已知a=q+l,0,2),6=(6,2〃-1,22),若。〃0则2与"的值可

以是()

A，2,\B.W"

C.-3,2D.2,2

A解析：因为a//b,所以。=Wr(A£R),即(6,2//-1,2/l)=k(2+l,0,2),所

仅―，，第=2,3,

(2A=2/c,I"-2^~2­

(2)已知。=(2,-1,3),万=(一1,4,-2),c=(7,5,2),若a,b,c三向量共

面，则实数/等于.

Y解析：由题意，可设。=动+)，％故(2,-1,3)=工(一1,4,-2)+>>(7,5,

(r+7y=2,

即卜x+5y=—1,解得力=攀

\-2x+4y=3,

(3)已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点。，若点M满足丽=

^(0A+O§+0C).

①判断拓5,而，就三个向量是否共面，并说明理由；

②判断点M是否在平面ABC内，并说明理由.

解：①由已知得耐+砺+沆=3旃，所以雨一丽=(丽一砺)+(丽一炉),

即为5=而7+=-MC,

所以而L砒,而共面.

②由①知为J,MB,就其而且过同一点M,所以M,八，B,C四点共而，从而

点M在平面48c内.

解联通法

证明点共线、点共面的方法

(1)，正明点共线的方法

证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,8,。三点共线，

即证明四，前共线，即证明方=).而(扭0).

(2)证明点共面的方法

证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,。四点共面，

只要能证明方=不而+)，玩或对空间任一点。，有57=丽+工丽或而=

工雨+)万石+2小。+)，+2=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在

直线共面的充要条件.

多维训练」

如图，在三棱柱中，。为8c边上的中点，求证：Ai8〃平面4Go.

A

证明：设瓦?=%^C=b,BB；=c,则B4；=而+44；=而+BB；=c+c,彳5=

AB+BD=AB+逆=一叫从AC^=AC+CC^=BC-~BA+丽』-”+c,

所以西=福一2而.

因为4阳平面AGO,所以4出〃平面AGD.

考点3空间向量的数量积及其应用——应用性

典例引领」

考向1空间数量积的运算

例❷，已知点。为空间直角坐标系的原点，向量万?=(1,2,3),丽=(2,1,2),

0P=(\,1,2),且点。在直线。户上运动.当彼•丽取得最小值时，曲的坐

标是•

G，rI)解析：因为点Q在直线OP上，所以设点QG,2,2x),则西=(1

—A,2T,3—22),QB=(2T,IT,2—22),QA,QS=(1—A)(2—z)+(2—A)(l

2

一2)+(3—22)(2—22)=6/—⑹+10=6。-J一3当时，口？•丽取得最

小值一；.此时的=行，：，!).

解联通法

空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接

计算；二是利用坐标运算.

考向2空间数量积的应用

例❸，如图，已知平行六面体A8CD-48IGOI中，底面A8CO是边长为1的正方

形，AA}=2,ZAiAB=ZA\AD=\20°.

⑴求线段AG的长；

(2)求异面直线AG与4。所成角的余弦值；

(3)求证：A4_LBO.

C.

B

(1)解：设而=%AD=b,AA^=c,则同=步|=1,|c|=2,a•^=0,c•a=c•h

=2XlXcos120°=-!.

因为福=尼+西=而+而+曲=。+6+。，

所以|AC^|=|。+力+c|=J(a+b+c-=

y/\a\2+\b\24-\c\24-2(ab+b•c+c-a)=J/+/+22+2x(0-1-1)

=V2.

所以线段4G的长为

(2)解：设异面直线ACi与AiD所成的角为仇则cos^=|cos〈宿.乖〉|=

AC^A^DI

|福1怀叫卜

因为4c；=a+l+c,A1D=b—c,

所以4cl•4]D=3+b+c)•(b~c)=a,b~a•c+^2—c2=0+14-12-22=-2,

O=V(b-cy=yj\b\2-2b-c+|c|2=Vl2-2x(-1)+22=V7,

所以cosH==I二2I=—,

故异面直线AC\与MD所成角的余弦值为手.

(3)证明：因为Bi4；=c,前=〃一a,所以彳否•丽=c•俗一a)=c•b—c•a=(一

1)-(-1)=0,

所以丽*_L而，所以

解题通法

空间向量数量积的两个应用

设向量明6所成的角为仇则cosg脸进而可求两异

求夹角同向

面直线所成的南

求长度（距离）运用公式⑷2=。・%可使线段长度的计算问题转化为向量

数量积的计算问题

「多维训练」

在空间四边形A8CD中，AB*CD+AC-DB+AD-~BC=()

A.-1B.0

C.1D.不确定

B解析：如图，令而=a,AC=b,AD=cf则而•丽+而•'DB+AD-BC=

a,(c-。)十。•(a—c)+c,[b-a)=a•c~a,b~\~b•a~b,c~\-c,b~c•a=().

课时质量评价(三十六)

A组全考点巩固练

1.(2022•青岛质检)已知向量。=(1,1,0),/>=(-!,0,2),且妨+》与%一

力互相垂直，则k的值是()

A.-B.2

5

C.-D.I

3

A解析：因为a=(l,1,0),£>=(-1,0,2),所以。•力=一1,|。|=四，|例=

V5,又履十方与2。一方互相垂宜，所以伏。+6)•(2。-6)=0,PfJ2k\a\2—ka•b~\r

2。•力一|加2=0,即4k+A—2—5=0,所以k=：.

2.(2022•江西新余月考)己知。=(312,—3),力=(2,/+2,1),若。〃4则

实数t的值为()

A.15B.—6

C.-4D.-3

B解析：因为。=(/,12,—3),力=(2,l+2,1),且。〃从所以存在实数九

t=22,

使得。=助，即Q,12,一3)=2(2,f+2,1),所以12=X(t+2),解得

-3=A,

故选B.

3.如图，在三棱锥0-A3C中，点P,Q分别是04BC的中点，点。为线段

PQ上一点,且而=2丽.若记0B=b,0C=c,则丽=（）

。？+/+产D-乎+#+萨

A解析：0D=0P+~PD=-0A+-PQ=-0A-{--(0Q-0P)=-0A+-0Q-

232323

2而=工科+(而+玩)—?xL画=工郎+工赤+工沆=%+4+二.故选

3232、'32633633

A.

4.已知平面。内有一点M(l,-1,2),平面a的一个法向量为〃=(6,-3,6),

则下列点P中，在平曲a内的是()

A.P[2,3,3)B.P(-2,0,1)

C.尸(一4,4,0)D.P(3,-3,4)

A解析：对于选项A,丽=(1,4,1),所以而・〃=6—12+6=0,所以而_L

所以点P在平面a内，同理可险证其他三个点不在平面a内.故选A.

5.如图，在大小为45。的二面角小月£。中，四边形人《尸氏CQEb都是边长为

1的正方形，则8,。两点间的距离是（）

A.V3B.V2

D.V3-V2

2

D解析：因为前=前十屈十前，所以|前|2=|百7|4-|FE|2+|FD|2+2FF-FE

+2FE•~ED+2BF•丽=1+1+1一&=3一加,故|丽|=13-VI

6.（多选题）设儿何体ABCD-Ai8cMi是棱长为。的正方体，4C与相交于

点O,则下列结论正确的是（）

A.AyBi•AC=crB.AB-AYC=>j2cr

C.CD-AB{=-(rD.AB•A^0=^2

ACD解析：如图，建立空间直角坐标系，则AQ0,0),B(a,a,0),C(0,a,

0),D(0,0,0),OiQ0,a),Bi(ata,a)tO住,1),所以石京=(0,a,

0),AC=(—ata,0),JS=(O,a,0),AxC=(—a,a,—«),而=(0,-a,0),

而i=((),〃，a),初=(一??一3.所以•尼=/,故A对；丽•中

2

=R故B错；而・ABi=~af故C对；祠・硒=夕2,故D对.故选ACD.

——f.

7.己知V为矩形A8C。所在平面外一点，且％=WB=VC=VQ,VP=^VC,

VM=^VB,两=：7S.则U4与平面PMN的位置关系是.

平行解析：如图，设记?=%VB=b,VC=c,则而=Q+C—万，

由题意知前二|一孑,而=|而一通因此谓咛前盛丽，所

以西，PM,丽共面.

又以Q平面PMN,所以13〃平面PMN.

8.已知。=(1,一3,2),力=(-2,1,1),点4一3,—1,4),8(—2,-2,2).

⑴求|2a+5|.

(2)在直线A8上，是否存在一点E,使得屈J_b?若存在，求出点E的坐标；若

不存在，请说明理由.(O为原点)

解：(l)2a+Z>=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),^|2a+^|=>/O2+(-5)24-52

=5企.

(2)令荏=/彳§(f£R),所以痈=而+荏=雨+济石=(-3,-1,4)4-z(l,一

1,-2)=(-3+r,-\-t,4-2r).若。£_Lb,则。炉・b=0,所以一2(—3+。+

(一1一。+(4—21)=0,解得/=，

因此存在点E,使得屈_1_从此时点£的坐标为(一,,-I).

B组新高考培优练

9.(多选题)已知向量。•方=力•c=a•c,b=(3,0,—1),c=(—1,5,—3),

下列等式中正确的是()

A.(a•b)c=b•c

B.(〃+5)•c=a•(b+c)

C.(。+8+。)2="2+%2+。2

D.\a-Vb^c\=\a-b-c\

BCD角?析：由题意知力・c=-3+0+3=0,所以a・b=b,c=a,c=0,(a,h)c

=0,b•c=0,不相等，所以A选项错误；(a+b)•c~a•(b+c)=a•c+力•c~

a•h—a•c=O,所以(〃+b)・c.=a•(方+c),所以R选项正确：(/z+h+r)2=/z2+

b2+c2-\~2a•b~\~2b•c+2a•c=a2+Z>2+c2,所以C选项正确；(a—ft—c)2=a2+

b2-\~c2-2a,b-\-2b•c-2。-c=a24-ZF2+c2,即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+5+

c\=\a-b-c\,所以D选项正确.

10.(2023•滨州模拟)在四面体ABC。中，P在面A8C内，。在面8CO内，口

满足而=工荏+.V而，AQ=sAB-\-tAC+/iAD,若］二：则下面表述中，线段AQ

与DP的关系是()

A.A。与。P所在直线是异面直线

B.AQ与。p所在的直线平行

C.线段AQ与。P必相交

D.线段AQ与。尸延长后相交

C解析：若x=s=0,则而=/正+〃；诟，所以而=：而+"；而，所

以A,P,D,。四点共面；

若—则#0,则三=£,设三=工=攵，所以s=Ax,t=ky,

xyxy

所以而=s荏+/而+//AD=ksAB+kyAC+〃而=kAP+,〃而，

所以A,P,D,Q四点共面；

又4Q,DP不平行，

综合以上有，线段AQ与DP必相交.

11.（多选题）已知空间向量。=（一2,-1,1）,1=（3,4,5）,则下列结论正确的

是（）

A.（加+力〃。

B.5同=加|

C.皿5。+6»

D.。与》夹角的余弦值为一手

BCD解析：对于A,因为%+力=（-1,2,7）,所以三户£,A错误；对于

B,因为同=44+1+1=乃,B=V9+16+25=5四,所以5同=8|臼=5遍，

B正确；对于C,因为a•]5。+65）=5。2+6。•〃=30+6X（—6—4+5）=0,所以

。_1_（5。+6力），C正确；对于D,因为。•力=-6—4+5=—5,所以cos〈a,b）

=黑=—=一叵D正确.故选BCD.

|a||b|V6x5x/26'

12.（多选题）如图，在正方体A8CD-4叫GG中，A4=3,点M,N分别在棱48

和上运动（不含端点）.若DQMN,则下列命题正确的是（）

A.MN1A\M

B.MN_L平面。iMC

C.线段BN长度的最大值为:

4

D.三棱锥G-AIOIM体积不变

ACD解析：在正方体ABCD-AiBiGn中，以点。为原点，射线DA,DC,DD\

分别为T,y,z轴非负半轴建立农间百南坐标系，如图，

则4(3,0,3),Oi(0,0,3),C(0,3,0),B(3,3,0).设M(3,y,0),N(3,

3,z),y,zG(0,3),D^M=(3,yf-3),MN=(0,3—)，，z),而。则

方源♦丽?=y(3—y)—3z=0=z=/y(3—y).对于A选项，A1M=(0,y,—3),则

A^M•MN=y(3-)9-3z=O=>^M-LA^V»MN_L4M,A正确；

对于B选项，CM=(3,y-3,0),而•丽=。-3)(3—)，)=一(3—)，)2<0,即CM

与MN不垂直，从而MN与平面。iMC不垂直，B不正确；

对于C选项：丽=(0,0,z),则线段8N长度|丽|=z="一(y+?<-,

当且仅当时等号成立.C正确：

对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面AiDCi的距离均为3,而%厂必小河

19

=%-A必q=3.3•SfM1C1=2»

三棱维G-AQ1M体积为定值，即D正确.故选ACD.

13.(2022•河南濮阳一模)如图所示，正方体ABC。-48clG的棱长为4,MN

是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方

体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，西-丽取值范围是

(0,8］解析：当弦MN的长度最大时，弦过球心。，如图，建立空间直角坐标

系，不妨设M,N是上下底面的中心，

则颂2,2,4),M2,2,0),P(xtyfz)tPM'=(2—x,2-y,4-z),PN=(2~

x,2-yf-z),则由・丽=(2-x>+(2-y)2-z(4—Z)=(X-2)2+GL2)2+(Z-

2户一4,而(x—2)2+。-2)?+(z—2>表示点P(x,y,z)和定点(2,2,2)距离的平

方，很显然正方体的顶点到定点(2,2,2)距