2024年高考复习数学第2章第7节函数的图象

第七节函数的图象

考试要求：1.会画一些函数的图象，理解图象的作用.

2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不

等式解的问题.

-------.必备知识・回顾教材重“四基7------------

一、教材概念-结论-性质重现

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单

调性、周期性、对称性等).

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等).

最后：描点，连线.

2.函数图象的变换

(1)函数图象平移变换八字方针

①“左加右减”，要注意加减指的是白变量.

②“上加下减”，要注意加减指的是函数值.

(2)对称变换

①/U)与八一x)的图象关于y轴对称.

②/U)与一/U)的图象关于戈轴对称.

(3)翻折变换

①|/U)I的图象是将凡0的图象中X轴下方的图象对称翻折到X轴上方,X轴上方的

图象不变.

②A国)的图象是将'/U)的图象中X轴右侧的图象不变,再对称翻折到y轴的左侧.

(4)关于两个函数图象对称的三个重要结论

①函数尸危)与y=«2ar)的图象关于直线x=a对称.

②函数与v=2〃一八2〃一x)的图象关于点(a,/?)中心对称.

③若函数y=/U)的定义域内任意白变量x满足_/(a+x)=/(a—x),则函数y=J(x)

的图象关于直线尸。对称.

(5)函数图象自身的轴对称

①/(一1)=火用=函数)，=/(/)的图象关于y轴对称.

②函数)，=")的图象关于对称钝A〃+x)=A〃一幻笆/(幻=/(2〃一幻=7(一汇)=

/(2a+x).

③若函数y="r)的定义域为R,且有/(a+x)=A〃-x),则函数.y=/&)的图象关

于直线左兰对称.

(6)函数图象自身的中心对称

0/l-x)=一人工)=函数)，=/(幻的图象关于星臣对称.

②函数y=/(x)的图象关于(m0)对称钝/(。+幻=一八。一/)e")=一八2〃一外的八一

x)="7(2a+x).

③函数yfx)的图象关于点(a,8)成中心对称o艮a+x)=2Z?—/(a—x)=/(x)=2b—

fl2a-x).

二、基本技能•思想-活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“J”，错的画“义”.

(1)当x£(0,+8)时，函数)=[/W|与丁=/(因)的图象相同.(X)

(2)函数产0U)与｝，=/(斓3>()且。W1)的图象相同.(X)

(3)函数)，=凡¥)与y=-/U)的图象关于原点对称.(X)

(4)若函数y=/u)满足#1+外=人1一幻，则函数./U)的图象关于直线X=1对称.

(J)

2.函数J(x)=x+；的图象关于•()

A.y轴对称

B.x轴对称

C.原点对称

D.直线y=x对称

C解析：因为火幻是奇函数，所以该函数的图象关于原点对称.

3.函数)，=一厘的图象()

A.与)，=e'的图象关于)，轴对称

B.与)，=匕，的图象关于坐标原点对称

C.与)的图象关于)，轴对称

D.与）=er的图象关于M标原点对称

D解析：由点（x,y）关于原点的对称点是（一工，一y）,可知D正确.

4.若图中阴影部分的面积S是关于/?的函数（（）</?<，），则该函数的大致图象是

（）

B解析：由题图知，随着/?的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越

来越慢，结合选项可知选B.

廿03c（fl%+6,%<-1,4e幺'eul—me

5.若函数的图象如图所小，则大一3）等于（）

.ln（x+a）,x>-1

A.--B.—-

24

C.11D.-2

C解析：由图象可得—a+b=3,ln(—l+a)=O,得a=2,8=5,所以/U)=

2%+5,x<-1,

故式-3)=2乂(-3)+5=-1.故选C.

Jn(x+2),x>-1,

、关键能力-研析考点强“四翼”/---------

考点1作函数的图象----基砒性

多维训练

分别作出下列函数的图象：

⑴y=|igM；

⑵尸24

（3）y=^-21x1-1.

解：（1）,，=［也"'X-lf图象如图⑴所示.

l-lgx,0<%<1.

染

图⑴

（2）将），=2'的图象向左平移2个单位长度.图象如图⑵所示.

图Q)

(X2—2x—1,XNO,小人，小”一

(3)y=[°图象如图(3)所示.

,x2+2%-1,x<0.

解题通法

解决这类问题要优先考虑直接法，以及由函数解析式直接得出函数图象（一般都

是我们熟悉的基本初等函教），或者利用图象变换（如平移、翻折、对称）得出函数

图象的方法.

考点2判断函数的图象——综合性

「典例引领」

考向1由函数的解析式判断图象

例⑴函数,/U）=2C；：—M在［_兀,兀］上的图象大致为］）

所以7U)为偶函数，排除c.

又因为鳍)=一喘＜。，加)=_誓＞一誓＞7,

所以排除BD.故选A.

(2)设函数jtx)=xcosx—sinx的图象上的点(xo,yo)处的切线的斜率为k若k=

g(xo),则函数g(x)的大致图象为()

B解析：由J(x)=xcosx-sinx求导得f(x)=cosx-xsin%—cosx=—xsinx,

于是得g(x)=—xsinx,显然g(—x)=—(—x)sin(—x)=g(x),即函数&=g(i)是偶

函数，A,D选项不满足；

当xo=E时，k=一」Y(),显然C不正确，B正确.故选B.

612

解题通法

由函数的解析式判断函数图象的技巧

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函缴的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.

(5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象.

考向2由动点探究函数图象

例❷，，在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含

量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中

药物含量Q随时间/变化的图象是()

B解析：依题意，在2h内血液中药物含量。持续增加，停止注射后，。呈指

数衰减，图象B适合.

解题通法

借助动点探究函数图象的两种方法

(1)根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图象.

⑵采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置考查图象的变化特征，从而

作出选择.

多维训练

I.己知图⑴中的图象是函数y=/U)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是

()

A.B.y=|/WI

C.y=J(-\x\)D.

C解析：对于选项A,x>()时，图象应与图①中x>0时的图象一致，所以选

项A错误：因为图(2)是一个偶函数的图象，因此排除选项B:对于选项C,

0时，图象应与图①中xVO时的图象一致，又因为)，=/一|川)是偶函数，所以该

选项正确；对于选项D,由），=一八一|川）可知，该函数的图象应将选项C中的函

数图象沿工轴旋转180。得到，所以选项D错误.

B解析：设丁=<幻=舞，则函数KO的定义域为3"0},关于原点对称，

又大一1）=会展=*幻，所以函数/U）为偶函数，排除AC;

当x£（0,1）0+,ln|x|<0,?+2>0,所以风。<0,排除D.故选B.

3.（2022•河北高三模拟）为了得到函数），=log24=I的图象，可将函数y=log以

的图象上所有的点（）

A.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B.横坐标缩短到原来的:纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

1

A解析：y=logaVx-1=log2（x—1）2=1log2（.r—1）,由y=】og2x图象的纵坐标

缩短到原来的右横坐标不变，可得），=卞og”的图象，再句右平移1个单位长度，

可得.y=mog2（x—1）的图象，也即N=log2Vx-1的图象.故选A.

考点3函数图象的应用——应用性

典例引领

考向1研究函数的性质

例©，己知函数./U）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）

A../U）是偶函数，在区间（0,+8）上单调递增

B.火x）是偶函数，在区间（-8,1）上单调递减

C./U）是奇函数，在区间（一1,1）上单调递减

D./U）是奇函数，在区间（一8,0）上单调递增

「一’画出函数/㈤的图象，如图.

-X2-2工，x＜0,

解题通法

利用函数的图象研究函数的性质

（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值.

（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性.

（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

考向2解不等式

例。*已知函数段）在R上单调且其部分图象如图所示.若不等式一2矶r+f）＜4

的解集为（一1,2）,则实数，的值为_________.

1解析：由图象可知不等式-2勺&+/）＜4即为人3）勺U+z）＜7（0）,故x+/£（0,

3）,即不等式的解集为（一/,3-/）.依题意可得/=1.

解题通法

当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象

可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结

合思想求解.

考向3求参数的取值范围

例©♦设函数/U)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x£R,小等式7U)1ga)恒成

立，则实数。的取值范围是.

[―1,4-°°)解析：作出函数/U)=|x+a|与g(x)=x—1的图象，观察图象可知，

当且仅当一即〃2—1时，不等式人工)2g(x)恒成立，因此〃的取值范围是

[-1,+刃).

同源异考/

在本例中，若将“g(X)=X-l”改为“g(x)=x+l"，结果如何？

[1,+8)解析：作出函数y(x)=|x+a|与g(x)=x+l的图象，如图，观察图象可

知，当且仅当一4<一1,即时，不等式J(x)2g(x)恒成立，因此々的取值范

围是[1,+oo).

解题通法

与函数相关的不等式问题的求解方法

当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下

位置关系问题，从而利用教形结合法求解.

「多维训练」

1.下列函数)，=凡0的图象中，满足;0)>人3)>42)的只可能是()

D解析：因为/(：)>43)>42),所以函数人t)有增有减，排除AB.在C中，人3)

>/2)=/(0)>/(0,即店)<次3),排除C.故选D.

2.已知函数=1].若0V且&7)=力力，则〃的取值范围是()

A.(0,+°°)B.(1,+8)

C.(1,V2)D.(1,2)

C解析：作出函数大幻=|『一1|在区间（0,+8）上的图象，如图所示.作出直线

y=1,交八彳）的图象于点8.由X2—1=1可得内?=企，结合函数图象可得力的取

值范围是（1,V2）.

3.使log2（-x）<r+1成立的%的取值范围是.

（―1»0）解析：在同一直角坐标系内作出y=log2（一工），y=x+l的图象，知满

足条件的工£（一1,0）.

4.对记max{a"}=『‘"'则函数JU)=max{b+1|,|x—2|}(x£R)

力,a<b,

的最小值是

|解析：函数兀r）=max{|;r+l|,|x—2|}（x£R）的图象如图所示.由图象可得，其

最小值为|.

厂厂2|'JHX+1|

/犷

课时质量评价（十二）

A组全考点巩固练

1.（2023・威海月考）已知函数>=以）的部分图象如图所示，则该函数的解析式

可能为（）

y

一二二一

-101x

八0、sinx

A./x)=—

ex-e

B.於尸

C./(x)=|sinx|cosx

D.J(x)=In(V%2+1—x)+sinx

A解析：函数的定义域为3/0},故排除选项CD;

又当x>0时，眇>广》,则竺E>0,故排除选项B.故选A.

X

2.(2022•全国甲卷)函数y=(3』3r)cosx在区间［4，外的图象大致为()

AB

CD

A解析：令段)=(3J3-x)cosx,,，

则式—x)=(3~r—3v)cos(—x)=­(3V-3-r)cosx=­/(x),

所以/U)为奇函数，排除BD;

又当x£(0,以时，3、一3r>0,cosx>0,所以./U)>0,排除C.故选A.

3.已知.*公+1)是奇函数，则函数)，=«2x)的图象关于下列哪个点中心对称()

A.(1,0)B.(-1,0)

C.“0)D.(-1,0)

C解析：因为八2r+l)是奇函数，所以,/(2x+l)的图象关于原点成中心对称.而

的图象是由y(2x+l)的图象向右平移3个单位长度得到的，故y=/(2r)的图象

关于点G，0)中心对称.

4.(多选题)几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换.在平

面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换.以下两个函数人》)与g(x),其

中g(x)能由/U)通过平移刚体变换得到的是()

A.J(x)=sinx,g(x)=cosx

B./(x)=x2,^(^)=.r+2¥

C.於)=2,g(x)=2x+1

D./(x)=logxr,g(x)=log。

ABC解析：根据题意，，衣次分析选项：

对于A,Xx)=sinx,g(x)=cosx=sin(%+：),即g(x)=7(x+g(x)可以由於)

通过平移刚体变换得到；

对于B,yU)=f,g(x)=f+2x=(x+1)2—1,即g(x)=«r+l)—I,g(x)可以由/U)

通迂可移刚体变换得到；

对于C,yu)=2，，g(x)=2*+l,即g(x)=/u)+l,g(x)可以由J(x)通过平移刚体变

换得到；对于D,於)=log2X,g(x)=log4X=扣g以，g(万不能由危)通过平移刚体

变换得到.故选ABC.

5.已知函数,/U)的图象如图所示，则函数式i)=log々/Xx)的定义域是.

(2,8]解析：当火#>0时，函数g(x)=loge/(x)有意义，由函数火幻的图象知

满足危)>0的x£(2,8].

6.设/U)=2F,g(x)的图象与7U)的图象关于直线y=x对称，力。)的图象由g(.t)

的图象向右平移I个单位长度得到，贝iJMx)=.

log2(K—I)解析；与«v)的图象关于直线y=x对称的图象所对应的函数为g(K)

=-logxr,再将其图象右移I个单位长度得到h[x}=-log2(x—1)的图象.

]nxx1

7.设函数yu)='_'则欧o))=________；若川〃)>1,则实数机的

,1-X,无<1,

取值范围是.

0(-8,0)U(e,+8)解析：4(0))=/⑴=In1=0.如图所示，可得儿t)=

Inx%>1

'一'的图象与直线y=l的交点分别为(0,I),(e,1).若则

,1-%,%<1

实数〃？的取值范围是(一8,0)U(e,+oo).

123456x

8.(2022•许昌模拟)已知函数/U)=

(1)在如图所示的直角坐标系内画出人¥)的图象;

(2)写出凡K)的单调递增区间；

(3)由图象指出当x取什么值时«r)有最值.

-I一|.0I2345*

解：(1)函数式外的图象如图所示.

\O\52/545X

(2)由图象可知，函数兀。的单调递增区间为[-1,0],[2,5].

(3)由图象知当工=2时，/Wmin=A2)=-l,

当X=0时，,/U)max=y(0)=3.

B组新高考培优练

9.(2021•浙江卷)已知函数g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能

是()

7

A.y=/U)+g(x)—:B.y=/U)_glt)一：

C.y=J(x)g(x)

D解析：对于A,y=/(x)+g(x)—：=f+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数

图象不符，排除A;

对于B,y=/（x）—^（x）——sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符,

排除B;

对于C,y=./U）g（x）=（%2+：）sinx,则y,=2xsinx+（x2+3cosx,

当时，）"=/x曰+（卷+：）x¥>0,与图象不符,排除C.故选D.

io.将函数凡丫）的图象沿/轴向左平移i个单位长度，得到奇函数g（x）的图象,

则下列函数7U）能满足条件的是（B）

A./U）=WB.Av）=e",-c,-

c.yu）=x+：D.y（A）=iog2（x+i）4-i

u.（多选题）函数儿v）=妥的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A.«>()B.c<()

C.b>0D.a<()

BCD解析：由函数图象可知，当x=0时，10）=*>0,所以比>0;渐近