2024年高考数学一轮复习54、棱锥

棱锥

知识点归纳8

1.棱籍的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫。其

中有公共顶点的三角形叫棱铢的：多边形叫棱铢的或；各侧面的公共顶点S,叫棱

椎的,顶点到底面所在平面的垂线段SO,叫极锥的（垂线段的长也简称高）.

2.棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示。

3.楂锥的分类：（按底面多边形的边数》

分别称底面是二角形，四边形，五边形……的核锥为，，……

4.棱锥的性质：

定理：如果棱锥被平行于底面的平面所梭，那么所得的截面与底面，截面面积与底面面积比笨于顶

点到的距离与的平方比.

中截面：经过极锥高的且于底面的截面，叫梭•锥的中截面.

5.正棱锥：底面是,顶点在底面上的射影是的棱锥叫正棱锥.

（1）正棱锥的各侧棱,各侧面是全等的,各等腰三角形底边上的高（叫

正棱锥的）。

（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上

的射影也组成一个三角形。

6.有关计算

9.S正粉低！K=>V推=o

题型讲解8

一、棱推的概念及正棱锥的体枳

例1、下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三极锥是止三极锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边一:角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三极锥.

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面可底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

其中，真命题的编号是.（写出所有真命感的编号）

例2、有四个命题

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥

②各侧而是全等的等腰三角形的的四极♦锥是正四棱锥

③棱锥的所有面可能都是直角三角形.

④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形,

其中，其命题的编号是.(写出所令其命题的编号)

二、棱锥的表面积和体积

例3、设三棱柱A8CA向&的体积是V,P,。分别是侧棱AA/、CG上的点，且出=。。，则四棱锥RAP。。

的体积为()

A.-VB、-VC.-VD、9

63

例4、四面体A8C。四个面的重心分别为乐F、G、H,则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的

比值是(

11

A、B、—C、D、

271698

例5、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8,AD=4石，侧面PAD为等边三角形，弁且与

底面所成二面角为60°.

(I)求四棱锥P-ABCD的体积:

(II)证明PA_LBD.

例6、已知正四极柱A8CO—A4GA，点后是棱。。上的点，截面EAC7/48,而且面E4C与底面A8CO

所成的角为45,AB=a,求三极锥片—£4C的体积。

B

三、棱锥中的线面关系

例7、在四校维V-A8CD中，底曲ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,

平面VAD_L底面ABCD.

1)求证AB_L面VAD：

2)求面VAD与面VDB所成的二面比的大小.

例8、如图，四棱锥P-ABCZ)的底面是矩形，侧面以。是正三角形，且侧面底面ABC。，E为侧棱P。

的中点，

⑴求证：4E_L平面PCO；

(2)i^AD=AB,试求二面角A—PC—力的正切值;

例9、四棱锥P—ABCD中，PBJ_底面ABCD,CD1PD.底面ABCD为直角梯形，AD/7BC,AB1BC,

AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.

<I)求异面直线PA与CD所成的角；

(II)求证：PC〃平面EBD；

(III)求二面侑A—BE—D的大小.

5.三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（C）

A、内心B、外心C、垂心1）、.重心

6.三核锥V—A8C中，％=8C,VB=ACWC=4从侧面与底面4BC所成的二面角分别为a、/?、乂都是锐角），

则cosa4-cosfi+cosy=（A）

A、1B、2Cs|!

7.四面体的四个面中，下列说法错误的是（C）

A、可以都是直角三角形8、可以都是等腰三角形

C\不能都是顿角二角形。、可以都是锐角二角形

8.正〃棱锥侧棱与底面所成角为a,侧面与底面所成角为4，则M步=（B）

.丁c7r-.2汗n2产

A、sitrjB、COSTC、siu~。、cos~^

9.已知正四面体ABC。的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F.G、，.设四面体EFG〃的表面积为7,则

’T•等于

S

I4II

A.-B.-C.-D.-

9943

10.若正三棱锥底面边长为4,体积为L则侧面和底面所成二面角的大小等于・（结果用反三角函数值

表示）

解析：取BC的中点D,连结S。、AD,则SO_L.BC,AD1BC.

•••NSOA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为。•在平面SA。中，作S0JLA。与A。交于0,则SO为

极锥的高.

A0=2D0,：.OD=-V3,

3

又Vs-ABC=~•-4fi*BC*sin60°•h=\

32

6

八V5.50T3

h=——...tana===—,

4。。衿8

.3

•・«=arctan-.

8

3

答案；arctan—

8

II.过极锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将极锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为

解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，5MI：5W2：5W3=

I：4：9,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为I：3：1

答案：1：3：5

解析：如图所示，正四面体A4C。四个iff!的中心分别为从卜、G、H,

・•・四面体也是正四面体

连结AE并延长与CD交于点M,

连结AG并延长与BC交于点N.

,:E、G分别为面的中心,

.AEAG_2.GE_2

••而一俞一§・一加一§・

乂，：MN=、BD,

2BD3

T

•・•面积比是相似比的平方，.・・上,1.

S9

答案：A

12.在三楼锥S—A8C中，/AS8=NASC=N8SC=60°,则侧棱S4与侧面S8c所成的角的大小是・

答案：arccos

3

13.三棱锥一条侧棱长是16cm,和这条棱相对的棱长是18cm,其余四条棱长都是17cm,求棱锥的体积.

解：取AD的中点E,连结CE、BE,

V.4C=CD=17,OE=8,CE2=l72-82=225,BE=CE,

又BC的中点凡连结EREF为BC边上的高,EF^CE?-CF?二小5?-92=1/

SMCE=।°&

,.,AC=CD=17cm,E为AO的中点，CE±AD,同理8£J_AD,

，DAJ_平面BCK

.••三棱锥可分为以底面8CE为底，以AE、OE为高的两个三棱锥.

^VA-BCD=VA-BC^VD-BC^•皿•AE=2XX)08X8=576(cm3).

14.正三棱锥S—ABC中，底面的边长是3,棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是8c的中点

(2)二面角S—BC—A的大小；

(3)正三棱锥S-A8C的体积.

解：(I)，：SB=SC,A8=AC,M为8C的中点，：.SMLBC,AMA.BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

3X-BCXSM=2X-BCXAM,得包=3.

22SM2

(2)作正三棱锥的高SG,则G为正三角形人8C的中心，G在八M上，GM=-AM.

3

VW±BC,AMLBC,・•.ZSMA是二面角S—BC—A的平面角.

在RtaSGA/中，

29

S/W=-AM=-X3GM=2GM,/.ZSMA=ZSMG=60°,

33

即二面角S—BC—A的大小为60°.

(3)•:△ABC的边长是3,

....3^3V3心间,oV3A3

..AM=-----，GM=—,SG=GMian6n0=—,v3=—.

2222

.vIQs19639石

•­VSABC=-Sg8c•SG=--—•.

15.已知四边形ABCD中，ZBAD=ZABC=9(f,尸A_L平面ABCD,PA=AD=3BC=3,AB=Z(1)求点