2024年高考数学高频考点题型精讲+精练【艺体生专供】(新高考)专题24空间几何体的表面积与体积解析版

专题24空间几何体的表面积和体积

一、考向解读

考向：通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特

征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养

考点：空间几何体的表面积和体积

导师建议：难点是组合体的表面积，需要对基本的立体图形非常熟悉！

二、知识点汇总

1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不再直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体

叫做棱锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥

截得的棱台叫做正棱台.

4.圆柱：以矩形的•边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

5.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几

何体叫做圆锥.

6.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

7.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球

表面积公式

+2s蜕

柱

=c'l+2几(c’为直截面周长)

体

5=2乃，+2/rrl=2/rr(r+/)2itr

MWME

S/=gw?'+S艇

锥

体2

SMm=Trr+冗rl=7rr{r+/)

表

面d

S正椅台=g〃(a+〃')〃+S七+S尸

积台

体

儿笈=成+r+r'[+d)

球S=4TTK

体积公式

柱体匕=Sh

体

匕=、Sh

锥体

**3

积

Q

匕=4(S+病+SM

台体A

目录一览

①柱、锥、台的表面积

②柱、锥、台的体积

③球的表面积和体积

④组合体的表面积和体积

⑤多选题与填空题

高考题精选

题型精练，巩固基础

①柱、锥、台的表面积

一、单选题

I.在《九章克术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，己知某“堑堵”的底面是斜边长为2的

等腰直角三角形，高为2,则该“堑堵”的表面积为（）

A.2&+2B.2&+3C.4拒+4D.4忘+6

【答案】D

【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果.

【详解】由题意可知，该“堑堵”的表面积为S&=（2&+2）x2+2xgxV5x啦=4及+6.

故选：D.

2.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4,则其侧面积等于（）

A.12B.48C.64D.72

【答案】D

【分析】由六棱柱的底面是边长为3的正六边形，求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高为4,代入棱柱

侧面积公式，可得答案.

【详解】解：,,六棱柱的底面是边长为3的正六边形，

故底面周长0=6x3=18,

又侧面是矩形，侧棱长为4,

故棱柱的高〃=4,

•••棱柱的侧面积S=C/?=72,

故选：D

3.某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径「=&，中间可视为圆柱，若该种胶

囊的表面积为16万，则该种胶囊的体积为（）

【分析】设圆柱高为/,左、右两端半球形半径为「，其表面积为S,胶囊的体积为Hr），由圆柱侧面积和

球的表面积公式列出等式，用S,表示出/,然后由圆柱与球体积公式求得Mr）并代入己知可得.

【详解】设圆柱高为/,左、右两端半球形半径为「，其表面积为S,胶囊的体积为V,依题意，

4/rr2+2jrrl=S=>I=—~~,故;/（广）=2万厂'+万广/=曰一］乃，，将S=16万,r=&代入可得

2兀T323

V（rl=-y\/2^,

故选：A

4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.

已知半球的半径为R，酒杯内壁表面积为6n2，则圆柱的高和球的半径之比为（）

甲乙

A.2:3B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【分析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解.

【详解】设圆柱的高为力，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和,

即兀肥+2次/=6兀解得〃=2R,所以圆柱的高和球的半径的比为2:1.

故选：B

5.棱长都是I的三棱锥的表面积为（）

A.石B.2GC.3GD.4x/3

【答案】A

【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果.

【详解】因为四个面是全等的正三角形，

c_1..&

则表面积S=4x^=6

4

故选：A.

6.已知正四棱锥P-A8CQ的底面正方形的中心为0,若高PO=&,ZE4O=45°,则该四棱锥的表面积

是（）

A.4+2x/2B.4+4&C.4+26D.4+473

【答案】D

【分析】先在正四棱锥中由高产。=拉，Z/W7=450,求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.

【详解】依题意，正四棱锥的高尸。」底面A8CD,且NE4O=45。，知为等腰直角三角形，则侧棱

PO41

PA=且AO="0=&,

sinZPAO-sin45°

则底面正方形ABCD的对角线AC=2AO=2&=aB，得正方形的边长A3=2,

从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形;

所以底面积为：卜3『-4；侧面积为：PAB4"2入2八2Ksin604“3

故正四棱锥的表面积为：4+46.故选：D

7.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为兀，则该圆锯的表面积为（）

A.27乃B.20x/3nC.18上nD.16乃

【答案】A

【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.

【详解】设圆锥底面半径为r,母线长为1,贝）2"=兀/,所以/=2八所以圆锥的高为庐：=&「，

所以;x",百r=96冗,解得「=3,故其表面积5=%，+乃"=9兀+18用=27用；故选：A.

8.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m,

底面直径和球的直径都是0.6m,现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）

克（精确到个位数）

A.176B.207C.239D.270

【答案】B

【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积5=仃/+2m2的值,

进而求得涂胶的克数.

【详解】由已知得圆锥的母线长/=4）.32+0.42=05,

所以台灯表面积为S=nrl+2冗产=兀x。.3x0.5+2兀x0.32=0.33兀，

需要涂胶的重量为0.337rx2（X）=66Tt=66x3.l4=2（）7.24=207（克）・

故选：B.

9.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为（）

A.90+725/3B.90+27x/3C.90+72。D.90+276

【答案】A

【分析】利用正棱台的侧面是等腰梯形，根据已知条件计算斜高，然后根据梯形的面积公式计算侧面积,

进而求得表面积.

【详解】由题意可得，上底面的面积为%下底面的面积为81,

侧面的高为后K=3\/5，

所以该正四棱台的表面积为9+81+4、”上至=90+72右.

2

故选：A

【点睛】本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰梯形，根据已知条件，利用等

腰梯形的性质计算斜高，属于基础题.

10.正四校•台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧楂长为2cm,则楼台的侧面积为（）

A.4cm?B.8cnr

C.4>/3cm:D.875cm?

【答案】D

【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.

【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧棱长为2cm,

所以棱台的斜高为：,（?）2=技

所以棱台的侧面积是：4X=XG=8。.

故选：D.

II.己知圆台的上、下底面的半径分别为7?,〃，若R=2r=2,高力=6，则该圆台的侧面积为（）

A.9兀B.11乃C.6兀D.3乃

【答案】C

【分析】构造三角形求出母线氏，再代入与附侧一近4+々)/可得结果.

【详解】如图所示，过A作AC垂直于。28于点C,则成?=1,AC=6

二在直角AACB中，/=|A3M2+(,")2=2/.S[nlz?R=^(/?+r)/=^x(2+l)x2=6^

故选：C.

12.巳知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面,

圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的()

A.gB.-C.-D.一

2346

【答案】B

【详解】设圆台上底面半径为r,则圆台下底面半径为2r,圆锥的底面半径为r,

设圆台的高为h,则圆锥的的高为h

则圆台母线长为J川+(2一「尸二〃7〒,圆锥的母线长为庐了

则圆锥的侧面积为nrxl^+r2

圆台侧面积为+”庐则圆锥的侧面积是圆台侧面积的g

故选：B

②柱、锥、台的体积

13.《九章算术・商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖膈，不易之率也.“我

们可以翻译为：取•长方体，分成两个•模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的•顶点与相对的核剂开，

得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖膈.现已知某个鳖瞒的体积是1,则

原长方体的体积是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.

【详解】如图所示，原长方体

设矩形的面积为S,CR=h,

鳖膈R-ACG的体积为1,

即；＜（gs）x/?=l,所以9=6,

即原长方体的体积是6.

故选：B

14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个

圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B.C分别是上、下底面圆的圆心，且人。=3八8=6,底面圆的半

径为2,则该陀螺的体积是（）

图I图2

A.小B.&C.20乃D.

33

【答案】D

【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.

【详解】已知底面圆的半径/=2,由4c=3A8=6,则AB=2,8C=4,

故该陀螺的体积V=8C廿+g.AB.4=等.

故选：D.

15.已知正三棱柱ABC-A"G的底面边长为2,侧极长为6,则三极锥A-48c的体积为（）

A.vB.—C.1D.73

22

【答案】C

【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解.

【详解】正三棱柱ABC-44G的底面边长为2,侧棱长为75,

棱柱的底面面积为：1X2X>/22-12=73.

棱柱的体积为：S〃=6x△=3.

由三棱锥的体积的推导过程可知：

三棱锥4一8用。的体积为：凝柱=；x3=l.

故选：C.

16.已知正四棱锥的高为3,底面边长为正,则该棱锥的体积为（）

A.6B.3五C.2D.42

【答案】C

【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.

【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为gx血x走x3=2

故选：C.

17.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为【的半圆，则该圆锥的体枳为（）

A.2B.皂nC.呈兀D.且乃

241262

【答案】A

【分析】根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，求得底面圆半径，根据勾股定理求出圆锥的高，结

合圆锥体积公式计算即可求解.

【详解】母线长为1,设底面圆半径为「，

则2〃=乃，・•・「=；,・・・力=/一（；）2=冬

故圆锥的体积为V•也=叵，

332224

故选：A.

18.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2冗倍的正四棱椎，现

将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造•些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该

金字塔模型（不计损耗）？

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】在正四棱锥P-ABCQ中，令ACBD=O,连接PO,则正四棱锥P-43CQ的高为|尸。=4

设正四棱锥P-ABC。的底面边长为a,贝IJ加=2兀|叫=8兀，即〃=2兀

・・・正四棱锥P-ABCD的体积为=gx(2R)2x4=等

则可得攵、叵W61贝2=4.1

327r

该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型

故选：B.

19.圆台上、下底面半径分别是1、2,高为这个圆台的体积是（

A,也D.”

B.2后C.7后

33

【答案】A

【分析】运用圆台体积公式直接计算.

2222

【详解】由圆台体积公式知：V=\//(/?+r+/?r)=^xV3x(l+2+lx2)=^

故选：A.

20.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的

体积为（）

A.617tB.627tC.63兀D.64;:

【答案】A

【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.

【详解】求得直径为10,半径为5,

圆台的下底面半径为5,所以圆台的高为必不=3,

所以圆台的体积为：兀K（4?-t-4x5+52）x3-61n.

故选：A

21.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm,24cm的

正四棱台，若棱台的高为女m,忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）

图1图2

148

A.-cm'B.74cm5C.148cm'D.298cm'

【答案】C

【分析】利用台体的体积公式直接计算即可.

【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm,6cm,

故该香料收纳罐的容积为:x3x（8?+6?+8x6）=148cm3.故选：C.

22.如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半

径为R，圆柱体的高为人若要保持圆柱体的容积为定值V=3几立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最

D

省（温馨提示:即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时厂＜）

*

11

A.—B.1C.-D.-

2234

【答案】C

【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用卜=3瓦为定值求出/，与R的关系，再利用基本不等式求解

即可.

【详解】依题意，

itR2h=3%R,=3,所以S=2兀片+TIR2+2nRh=瓦（3店+2Rh）

当3*4时取等，所以一43,故小最

23.圆柱的高等于球的直径，圆柱的斜面积等于球的表面积，设球的体枳为V,则圆柱的体积为（）

3314

A.-VB.-VC.-VD.-V

2423

【答案】A

【分析】根据题意，结合球与圆柱的体积和表面积公式计算即可求解.

【详解】由题意知，设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,

4

对于球，表面积s球=47r*，L=-rf,

对于圆柱，侧面积与柱=2nr-2R=4mR,V柱=兀产2R=2乃，R,

因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以4万正=44左，

得厂=R,贝lj%柱=2汗足,

又/rR3=：V•球，所以％w=2—匕,==

故选：A.

③球的表面积和体积

24.在正四极台ABC。-ABC。中，AB=2AAi=2AiBi=2>/2,且各顶点都在同一球面上，则该球体的表

面枳为（）

A.207rB.5^5itC.10KD.5n

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得代，由求得表面积公式求得球体的表面积.

【详解】如图所示的正四棱台ABC。-ABC。，A8=2A4,=2A修=2应，取上下两个底面的中心M,N,

连接MN,AM・AN,过点A作底面的垂线与AN相交于点田.

因为四棱台48CO-A8CR为正四棱台，所以外接球的球心一定在MN上，在MN上取一点。为球心，连

接O&OA，则OA=OA=R,设ON=h,

MN=]E=JW-AE?=巧：_网_£秒=,困一伊"4附『=1,

在R/ZMN中，OA2=AN2+ON2,BP/?2=22+/?2,

在中，0叶=。/+4"2,即店=(l—/?)2+F,

解得汽=5,所以S球=47i*=207r,

故选：A.

25.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被

一个棱长为4G的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的

周长为4兀，则该球的体积是（）

n32兀

A.一B.64nC.16nD.一

33

【答案】A

【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球

的体积公式即可求得结果.

【详解】由题意可得'球心到截面圆所在的平面的距离〃=苧=2右

设截面圆的半径为广，球的半径为心贝IJ2口=4冗，解得”2,

所以R=J产+d。=4,

所以该球的体积为g%N=竽,

故选：A

26.用与球心距离为后的平面去截球，截面面积为兀，则球的体积为（）

A.与B.与C.8向D.警

【答案】A

【分析】根据截面面积求得截面半径r,进而求得球的半径R,再利用球的体积公式求解即可.

【详解】设截面半径r,球的半径R,截面与球心距离为4=6，

由题意得，截面面积5=兀产=冗，解得r=1,

因为R?=/+d?=1+3=4,所以R=2,

所以球的体积V三或二寺.故选：A.

27.已知圆锥的底面半径为2,高为4右，则该圆锥内切球的体积为（）

A.疏B.16兀C.—D.见红

33

【答案】D

【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.

【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点。为球心，内切球的半径为「，DE为切点，设8=OE=r,

即8E=8D=2,

由条件可知，AB=J（46/+22=6,

222

在A4D0中，AO=AD+DOt即：4啦一=（6-2）?+产，解得：r=&.

故选：D

④多面体的表面积和体积

28.如图，“落菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高

为3,则该几何体的表面积为（）

【答案】D

【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.

【详解】解：由题意得，球的半径R=2,圆柱的底面半径/•=1，高介=3,

贝I该几何体的表面积为SuZ/rR?+4犬+24〃？=8乃+4乃+2;rxlx3=18;r.

故选：D.

29.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的垢构是由8个等边三角形组成的如图

所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的表面积为（）

【答案】C

【分析】求出一个等边三角形的面积求解即可.

【详解】根据题意，设等边三角形的高为3所以〃二在万=百，

所以每个边长为2等边三角形的面积为：1x2x73=73,

所以正八面体的表面积为：

故答案为：C.

30.如图，在多面体ABCD由中，己知A3CD是边长为1的正方形，且.8b均为正三角形,

EF/iAB.EF=2,则该多而体的表面积为（）

A.1+2N/3B.2GC.I+—D.1+G

3

【答案】A

【分析】先证明瓦7/C。，结合梯形面积公式求得正确答案.

【详解】由于EF〃AB、AB〃CD,所以EFI/CD.

依题意，ADE,BCF均为正三角形,

所以四边形石和四边形C0正是等腰梯形，

两个等腰梯形的高为，2-（?j=*.

所以多面体的表面积为：『十无X-X2+9X立X2=1+2G.

422

故选：A

31.何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国''为"中国”一词

的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm,上口直径约为28cm,

下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何煤可以装酒（不计何尊的厚度，

403兀之1266,194471»6107）（）

A.12750cm3B.12800cm3

C.12850cm3D.12900cm'

【答案】C

【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.

【详解】下端圆柱的体积为124TT-92=1944K«6107cm'.

上端圆台的体积为：1xl6n（142+14x9+92）=^x403X1266=6752cm3,

所以该何尊的体积估计为6107+6752=12859cm\

因为12850最接近12859,

所以估计该何尊可以装酒12850cm\

故选：C

32.如图.该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的,若正方体的棱长为L则该几何体的体积为

（）

【答案】D

【分析】由己知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案.

【详解】由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是8X9；X；X；X；=：；

322Z2o

正方体的体积为lxlxl=l;

则所求体积是

o6

故选：D.

33.西施苑是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）.西施壶的壶

身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体.球缺的体积刊=63〉］。*（夫为球缺所在球

的半径，力为球缺的高）.若一个西施壶的壶身高为8cm,壶口直径为6cm（如图2）,则该壶壶身的容积

约为（不考虑壶壁厚度，不取3.14）•）

图1图2

A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml

【答案】A

【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据

球的体积公式和球缺的体积求解即可.

【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，

依题意，48=6cm,。为球心，。为壶口所在圆的圆心，所以人O=O8=3cm,

因为OE=8cm,所以QQ=OE=4,且。D_LA3,OB=y]32+42=5»

所以球的半径R=5cm,所以球缺的高〃=5-l=4cm.

所以球缺的体积二•电=冗Ml"=14n,

333

所以该壶壶身的容积约为：V=：兀夕-2乂号=苧。494ml.

34.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲

盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

A64&3口128723厂256近512&

A.-------cmB.---------cmC.---------cm3Dn.---------cm3

3333

【答案】C

【分析】棱长为8的正四面体放入正方体，使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.

【详解】依题意，要使楼长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，

则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，

如图，正四面体48CO的棱长为8cm,该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线,

所以该正方体棱长为4缶m，盲盒内剩余空间的体积为4x|x』x4夜:<4忘x4&=£6&cn?）.

故选：c

⑤多选题和填空题

二、多选题

35.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

8

A.Sncm'B.—cm'

兀

―16343

C.—cmD.—cm

7171

【答案】BD

【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm,高为

2cm的和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

【详解】侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，

2

若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径五=二51,〃=2cm,

JI

此时圆柱的体积V=兀",力=

若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径R=2cm,h=4cm,

n

A

此时圆柱的体积V=71Kh=-cin3

n

故选：BD

36.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为布肥B.圆锥的侧面积为石兀川

C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

【答案】ABC

【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；

【详解】解：依题意球的表面积为4冗内，

圆柱的侧面积为2;txRx2R=4;iR',所以AC选项正确.

圆锥的侧面积为兀xRx+（2咫=底TR2,所以B选项正确.

圆锥的表面积为江网।x/5n/?:=（lIJs）nR2<4兀炉,

圆柱的表面积为4M2+2工序=6几六，所以D选项不正确.

故选：ABC

37.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2右，则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥高为3B.正三棱锥的斜高为叵

2

C.正三棱锥的体积为2D.正三棱锥的侧面积为返

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD

的正误.

【详解】

设E为等边三角形AZX?的中心，尸为C。的中点，连接PREEPE,

则PE为正三棱锥的高，P”为斜高，

又PF=M1=^，E-号冬冬故*府=3,

故AB正确.

而正三棱锥的体积为gx3x^x9=—,侧面积为3x［小叵=逅，

344224

故C错误，D正确.

故选；ABD.

38.有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个而为笔腰直角三角形，则该几何体的体枳

可能是（）

A.巫B.也C.述D.亚

3333

【答案】BCD

【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.

【详解】如图所示：

①若A3工平面BCQ,△8CQ为边长为2的正三角形，AB=2,△AB。，A8C都是等腰直角三角形，满

足题目条件，故其体积V=ix2xix2x2xsin60°=;

323

②若四_£平面3CQ,ACO为边长为2的正三角形，AB=6,AABD,A8C都是等腰直角三角形，满

足题目条件，故其体积丫=』、血x』x&x应=立；

323

③若△山＜£＞为边长为2的正三角形，AABD,48C都是等腰直角三角形，AB=BC=CD=AD=2,

AC=2拉，满足题目条件，取AC中点£,因为8E_LAC,而BE?+DE?=BD?，所以BEJ.DE,即有8EJ_

平面AS,故其体积为V=1xVix』x2x2=辿；

323

故选：BCD

39.“堑堵”“阳马”和“鳖就是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立

方，得两堑堵，斜解矩楮.其一为阳马，其一为鳖嚅”.意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1）,

得到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2）,得一个四棱锥称为

若长方体的体积为匕由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖嚅的体积分别为％匕,匕，则下列选项下里

砸的是（）

V

A.匕+匕+匕=丫B.乂=2匕C.匕=2匕D.匕==

6

【答案】ACD

【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臊的体积与长方体的体积V的数量关系，即可得答案.

VViv

【详解】解：由题意，堑培的体积阳马的体积匕鳖腑的体积匕匕-2，

2336

所以匕+匕+匕=丫，2匕=3%,6匕=3匕=丫，即匕=2匕，

V

所以X—K=K="，

O

所以，ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

40.已知圆锥的表面积等于12兀cm?,其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（）

A.圆锥底面圆的半径为2cm

B.该圆锥的内接圆柱（圆柱的卜底面在圆锥的底面上，上底而在圆锥的侧面上）的侧面枳的最大值为2后乃

C.该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为卡

D,该圆锥的内切球的表面积为手

【答案】ABC

【分析】利用圆锥的轴截面结合图形可求解.

【详解】设圆锥底面圆的半径为L母线长为/,

依题意得2w=；x2兀/,所以/=2/，

根据圆锥的表面积为“'+!x27tH=l2n,解得,=2cm,

所以A正确；

如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知,

A〃=2r=4,CA=C4=/=4,CO=2G

设即=2乂0<X<2

由相似关系得禁=鸟，即?=兴，解得DE=26-瓜,

AOCO22V3

则内接圆柱的侧面积等于2兀rx（2/-6，=2MM+2”），

当x=l时侧面积最大，等于2出兀，所以B正确；

内接圆柱的体积等于丫(*)=»~卜>/5辰)=百冗(.?I2x2),

VX(A)=V3n(-3x2+4x)=-V3jtv(3x-^),

44

令V'(x)>0,解得0<x<],令V'(x)<0,解得;<x<2,

所以V(x)在(0,f；单调递增，单调递减，

所以当x时圆柱体积最大，此时圆柱的高为=

33

4

32

圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为赤=耳，

~T~

所以c正确；

设内切圆的圆心为。1半径为4，

因为SABC=S0/8+SQBC+Sq.c,

即5小=犷法+畀5+*

所以r=2sABC_A8,℃_2G

1-AB+BC+AC~AB+BC+AC~~

因为圆锥的内切球的半径等于5,

所以内切球的体积等于4/2=卑，所以D错误.

故选:ABC.

三、填空题

41.已知某一个圆锥的侧面积为20兀，底面积为16兀，则这个圆锥的体积为.

【答案】167r

【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理

求出圆锥的高，得到圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为广，贝卜户=16亢，解得：r=4,

则圆锥底面周长为2口=8冗，设圆锥的母线长为,,

则g!x8m20%解得：1=5,

由勾股定理得：〃=，尸一尸=,25-16=3,

故圆锥的体积为丁16"3=16n.

B

故答案为：16兀.

42.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的倍.

【答案】2

【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.

【详解】设圆柱的高为〃，底面半径为「，则体积为“％,体积扩大为原来的4倍,则扩大后的体积为4冗/人，

因为高不变，故体积4"%=九(2r)%,即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2方力，扩大后的圆柱

侧面积为2九-2”i=4兀汕,故侧面积扩大为原来的2倍.

故答案为：2

43.市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合

体进行测量，圆台下底面半径为4cm,上底面半径为2cm,高为6cm,上方的圆锥高为8cm,则此冰激凌

的体积为cm5.

【分析】先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.

【详解】圆台的体积7；=；；rx6x(42+2x4+22)=56不，

132

圆锥的体积(=3x22x；rx8=半;r,

总体积为7=工+4=竽，

200万

故答案为:

44.一个正四棱锥的高为7,底面边长为10,若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球而上，则该球的半径为

【答案】架#73

【分析】根据正四棱锥的性质，结合球的性质进行求解即可.

【详解】设该正四棱锥为尸-A8CO,

由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为。，底面中心为E,

因为底面是正方形，所以。E=g洞前=5&,

222

在直角三角形or陀中，OD=OE+DE,设球的半径为「，

QQ

所以有r2=(7-r)2+50=>r=—,

14

故答案为：

14

45.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2,3,体枳分别为匕，匕，若它们的侧面枳相等，则才的值是____.

V2

2

【答案】-##2:3

【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.

【详解】设甲的高为九，乙的高为色，

It3

由题意可得2兀x2x4=2»3*他，所以六二5,

«*22

所以并4

匕71x(3)x/z,3

故答案为：I

46.如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm,高为20cm,则这个茶叶盒的表面积约为cn?.(精

确到0.1,621732)

【答案】1719.6

【分析】根据所给数据算出答案即可.

［详解】边长为10cm的正六边形的面积为6xlx!0xl0xsin600=l50百cm2

所以表面积为2x150G+6x10x20=1200+3(X)73=1200+300x1.732=1719.6cm2

故答案为：1719.6

47.如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复

合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所

示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体的体积为.

【答案】V2

【分析】由题